向量加減法的幾何性質在解題中的應用舉例

向量是既有大小又有方向的量，它同時具有代數形式與幾何形式的“雙重身份”。因此在學習向量的加減法時，我們通過“三角形法則”和“平行四邊形法則”對向量的加減法作解釋和理解。在解決平面向量的某些問題時，如果我們可以主動運用向量加減法的幾何性質，構建圖形運用數形結合的方法，借助幾何圖形直觀地反映出向量的代數關系來解決問題，以“形”助“數”可以使向量問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到事半功倍的效果。下面列舉相關例題用以說明。

例1.（蘇、錫、常、鎮四市2011屆高三聯考調研測試二）

平面內兩個非零向量α，β，滿足|β|=1， 且α與β-α的夾角為135°，求|α|的取值范圍。

分析：可令α= ，β= ，則β-α= （如圖①）

在ΔOBA中，設∠OAB =θ，

點評：如果這道題目只是單純地利用代數的方法進行運算，問題的解決將會比較困難。如果我們利用減法的三角形法則來表示α，β，β-α，三者之間的關系。那么題中的代數量就全部可以通過三角形的邊、角等幾何量來表示，這樣就可以把問題轉換解三角形的問題。

例2.（2013年高考湖南文科卷）已知a，b是單位向量，a-b=0，若c滿足|c-a-b|=1，求|c|的最大值。

分析：注意到|c-a-b|=1，即|c-（a+b）|=1

令a= ，b= （如圖②）

∴a+b= ∵a，b是單位向量且a·b=0，

∴四邊形ABCD為正方形，其中| |=

設c= ，則∵c-（a+b）=

由題意∵|c-（a+b）|=1 ∴| |=1

∴C在以D為圓心，1為半徑的圓上，∴|c|的最大值為 +1

點評：作為一道高考題，這道題目的解決方案不止這一種。在題中因為a與b是相互垂直的單位向量，我們同樣可以設a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），這樣條件|c-a-b|=1可以轉化為 =1，求|c|的最大值也可以轉化為求的最大值，這時同樣可以以O點為原點，建立直角坐標系，利用圓上點的幾何性質來解決問題（如圖②）。通過這一道題我們可以發現同一道題的“數”與“形”是可以相互轉化的，它們可以互為補充，各取其長。

例3.（徐州市2013屆高三第三次質量檢測）

已知O為ΔABC的外心，若5 +12 -13 =0，求

分析： ∵O為ΔABC的外心，∴|OA|=|OB|=|OC|

∴5| |：12| |：13| |=5：12：13

又∵5 +12 ？13 =0

∴5 +12 =13 （如圖③）

∵132=122+52 ∴OA⊥OB，

∴弧AMB所對的圓心角為270°

∴弧AMB所對的圓周角∠C=135°

點評：這道題目的難點在于（1）O為ΔABC的外心這一個條件怎么用？（2）以5，12，13為長度的三條邊所構成的三角形是一個直角三角形，那么怎么樣可以用好這個隱藏的幾何條件？這兩個難點都與“幾何性質”相關。在這個時候如果可以運用向量加法的平行四邊形法則，將三個向量的代數關系用平行四邊形法則來進行幾何描述，就可以很好地將“外心”以及直角三角形的幾何性質性質用好，從而順利地將問題解決。

對于上述例題的分析，我們發現在解決部分向量問題時如果熟練地運用向量的幾何性質?？梢宰寙栴}的解決顯得舉重若輕。當然這并不是說向量的幾何性質要比代數運算重要，靈活地運用代數性質在解決問題的過程中也是必不可少的。事實上數學是提示客觀事物數量和形體本質關系的科學，“數”與“形”是事物的兩個側面。在解決具體問題時即不可以重“數”輕“形”，也不可以重“形”輕“數”。

（作者單位：江蘇省無錫市湖濱中學）