數(shù)學(xué)教學(xué)中思維能力的培養(yǎng)

【摘 要】本文寫(xiě)我們數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，不僅要教學(xué)生的知識(shí)，而且要注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，即思維的積極性，思維的逆向性，思維的橫向性。

【關(guān)鍵詞】思維能力；培養(yǎng)；知識(shí)；化難為易

俗話說(shuō)“刀不磨不利，腦不用不靈。”教師著眼點(diǎn)不要只放在知識(shí)本身，而是要通過(guò)知識(shí)發(fā)展思維，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，使學(xué)生養(yǎng)成動(dòng)腦筋習(xí)慣，提高學(xué)生的自學(xué)能力。下面結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)怎樣培養(yǎng)學(xué)生思維能力淺談幾點(diǎn)做法。

一、培養(yǎng)學(xué)生思維的積極性

1.引趣

在組織教學(xué)活動(dòng)時(shí)，我把教材變成切合學(xué)生心理水平的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為學(xué)生的欲望需要，使學(xué)生急切地想要知道而以前不知道的東西，使他們?cè)谂d奮的狀態(tài)下投入對(duì)知識(shí)的探求。

案例：在講虛數(shù)單位“i”的引入時(shí)，提問(wèn)學(xué)生方程x2=1的解是什么？學(xué)生很快回答出來(lái)，接著再問(wèn)他們議程x2=-1的解是什么？學(xué)生回答沒(méi)有解，我反駁他們說(shuō)這個(gè)方程有解，學(xué)生愕然，怎么會(huì)呢？趁學(xué)生的注意力高度集中這一刻，告訴他們?cè)趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)確實(shí)沒(méi)有解，但是如果把數(shù)的范圍再擴(kuò)大一些，引入一個(gè)新數(shù)——虛數(shù)i就會(huì)有解，這時(shí)學(xué)生自然會(huì)想：虛數(shù)i是什么呢？此時(shí)抓住他們想知道這個(gè)新數(shù)的時(shí)機(jī)講清有關(guān)虛數(shù)單位“i”的一切，使學(xué)生很深刻地掌握了這個(gè)新知識(shí)。

2.設(shè)疑、設(shè)問(wèn)

設(shè)疑、設(shè)問(wèn)是思維的起點(diǎn)，是思維的啟發(fā)劑，所以在教學(xué)中要善于創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使學(xué)生對(duì)知識(shí)處于“心欲求而未得，口欲言而不能”的進(jìn)取狀態(tài)，大腦皮層鎖上一連串的扣，使學(xué)生求知欲進(jìn)入活躍狀態(tài)。

（1）概念教學(xué)時(shí)，要在概念形成的關(guān)鍵處設(shè)疑

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，通過(guò)設(shè)疑，創(chuàng)設(shè)一個(gè)引出概念、定理、法則的問(wèn)題情境，啟發(fā)學(xué)生積極思維。

案例1：在講“平面的基本性質(zhì)”時(shí)，講到“如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直線”。我邊說(shuō)邊演示，有意識(shí)在把表示一個(gè)平面的三角形模型的一個(gè)端點(diǎn)和另一個(gè)平面接觸，接著提出疑問(wèn)：“你們看，這兩個(gè)平面不是只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？”乍一看，似覺(jué)真實(shí)，學(xué)生頓時(shí)議論起來(lái)，當(dāng)有學(xué)生議論“平面是無(wú)限延展的”時(shí)，我將一個(gè)平面模型壓入事先做好的帶有孔隙的平面模型里，形象地說(shuō)明了兩個(gè)平面不可能只有一公共點(diǎn)的結(jié)論。同學(xué)們印象深刻，不感到抽象難懂，大腦處于積極思維狀態(tài)，學(xué)習(xí)興趣提高。

（2）解題教學(xué)時(shí)，要在解題思路形成的關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)

①設(shè)置“階梯”，促使學(xué)生思維的深入性

案例2：設(shè)f（x）=x2+bx+c（b、cR），已知不論α，β為何實(shí)數(shù)，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0.

（1）求證：b+c=-1；（2）求證：c≥3.

第（1）題的設(shè)計(jì)是第（2）題的“階梯”，如果沒(méi)有第（1）題，直接做第（2）題，那就比較難。同時(shí)，學(xué)生也學(xué)到了怎樣由不等式證明等式的方法，即由已知條件得f（1）≥0且f（1）≤0，從而可得f（1）=0，也就得到b+c=-1.

案例3：（1）已知a、b是正常數(shù)，a≠b，x，y·（0，+∞），求證： ，指出等號(hào)成立的條件；

（2）利用（1）的結(jié)論求函數(shù)f（x）= 的最小值，并指出取最小值時(shí)x的值。

第（1）題關(guān)鍵先要證 成立。第（2）題結(jié)論由第（1）題的結(jié)論很快得出。

②重視問(wèn)題的變式設(shè)計(jì)，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性

案例4：（1）已知x>0，y>0，且x+2y=1，求 的最小值。

（2）如果x，y都是正數(shù)，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。

（3）函數(shù)y=loga（2-x）+1（a>0且a≠0）的圖像恒過(guò)點(diǎn)A，此點(diǎn)在直線mx+ny-2=0（mn>0）上，求 的最小值。

第（1）題 ，接著利用基本不等式便能求出最小值；第（2）題只要將2x+8y-xy=0化為 ，下面按第（1）題的方法即可；第（3）題先由題意求出點(diǎn)A（1，1），再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，然后按照第（2）的做法便可得出答案。

在設(shè)計(jì)變式題時(shí)，教師要注意“度”。這就要對(duì)自己所教的學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平充分了解，既不能過(guò)難，也不能過(guò)易。總之，題目的難易，要為學(xué)生的思維發(fā)展起著恰到好處的作用。

二、培養(yǎng)學(xué)生思維的逆向性

“正難相反”是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的方法，“反”是指把思維向習(xí)慣思維的反面。運(yùn)用逆向思維化難為易。

案例1：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=A1B1，AC1⊥平面A1BD，D為AC上的點(diǎn).求證：B1C1⊥B1A.

若按正向思維，利用諸多已知條件證明結(jié)論，有的同學(xué)感到無(wú)從下手，既然要求證明B1C1⊥B1A這個(gè)結(jié)論，它一定是正確的，再結(jié)合已知的條件就可推測(cè)出B1C1⊥平面ABB1A1。有了這一推測(cè)我們就有了解決問(wèn)題的著手點(diǎn)，即只需證明B1C1⊥平面ABB1A1，就能證出題中要求的結(jié)論。

案例2：下面三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（1）x2+4ax+3-4a=0；（2）x2+（a-1）x+a2=0；（3）x2+2ax-2a=0.

若按常規(guī)想法，則需考慮三個(gè)方程中僅有一個(gè)方程或兩方程或三個(gè)方程有實(shí)數(shù)解三種情況，非常繁瑣，但考慮其反面，三個(gè)方程沒(méi)實(shí)數(shù)解，則使問(wèn)題大為簡(jiǎn)化：令Δ1<0，Δ2<0，Δ3<0，聯(lián)立三個(gè)不等式，其解為A={a|-

三、培養(yǎng)學(xué)生思維的橫向性

在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的同時(shí)也要重視橫向思維的培養(yǎng)，這樣可以打破思維的局限性，培養(yǎng)思維靈活性。“橫向”就是指發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象后立即聯(lián)想到與它相似的其他現(xiàn)象。

案例1：求函數(shù)：y= + 的最小值。

看到函數(shù)是兩個(gè)算術(shù)根之和，聯(lián)想到復(fù)數(shù)模公式及關(guān)于模的不等式，用下面方法完成這道題。設(shè)z1=5-x+5i，z2=x+5i，則y= + =|z1|+|z2|？叟|z1+z2|=|5+10i|=5 。

案例2：已知實(shí)數(shù)x，y滿足圓方程。

（1）求 的最大值和最小值；

（2）求x+y的最大值和最小值；

（3）求x2+y2的最大值和最小值。

對(duì)于（1）， 即為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 取值范圍就是過(guò)原點(diǎn)向圓引兩條切線的斜率之間的范圍，從而求 的最大值和最小值。

對(duì)于（2），可設(shè)y+x=m，直線y=-x+m與圓有公共點(diǎn)時(shí)，y+x的取值范圍就是直線系y=-x+m中與圓兩條切線位置對(duì)應(yīng)的縱截距之間的取值范圍；也可以將y=-x+m代入圓的方程，由可得m的取值范圍，即得y+x的最大值和最小值。

對(duì)于（3），可聯(lián)想 表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。先求出 的最大值和最小值，再求出x2+y2的最大值和最小值。

教學(xué)中，我們要向?qū)W生指出，變?cè)D(zhuǎn)換、構(gòu)造方程與數(shù)形結(jié)合是處理二元條件最值的常用方法。

通過(guò)這個(gè)橫向性聯(lián)想把問(wèn)題化難為易，活躍了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活恬和廣泛性，增強(qiáng)了學(xué)生發(fā)散思維能力，有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)造能力。

教學(xué)中，通過(guò)對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，提高了他們獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力，使他們能在獨(dú)立學(xué)習(xí)中獲取新知，這是素質(zhì)教育的需要。而思維能力的獲得與提高，必須通過(guò)自己的思維活動(dòng)，所以思維能力的培養(yǎng)要納入課堂教學(xué)計(jì)劃中，備課時(shí)不但要明確教給學(xué)生什么知識(shí)，而且要站在學(xué)生角度設(shè)想什么是學(xué)生接受知識(shí)的最佳途徑。不僅通過(guò)教師講，更要通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄗ寣W(xué)生自己去思考、去探索，并且用準(zhǔn)確的語(yǔ)言或適當(dāng)方式表達(dá)出來(lái)，這樣就可使學(xué)生的思維能力和知識(shí)同時(shí)得到增長(zhǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團(tuán)四中校區(qū)）