中職數學立體幾何的證明

【摘 要】以中職數學立體幾何的知識為例闡述定理，命題的證明方法，培養學生的邏輯推理能力。

【關鍵詞】立體幾何；定理；命題；邏輯推理能力

數學具有邏輯嚴謹性的特點，數學中的定理，命題，常以邏輯推理作保證，要求言必有證。目前初中平面幾何教學要求降低，中職學生生源又受到“普高熱”的沖擊，學生往往以較低成績進入中職學校學習。這些客觀原因使得中職學校的學生認知前提差，思維能力較差。他們覺得立體幾何的證明抽象，嚴謹，大部分學生不會進行具體的證明。立體幾何題目繁多，就其類型來講，一般有證明空間中等直線、平面的垂直與平行，角的相等與不等，線段的相等與不等。雖然證明題目千變萬化，但其規律和類型都是有限的，因此要注意引導，培養學生發現解題規律，掌握學習方法和思維方法。

一、培養學生觀察、分析定理，命題的內容

在立體幾何中當命題引出后，要引導學生切實分清命題的條件和結論，將文字敘述的命題改用數學語言來表示。例兩平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。可以用數學語言描述：已知平面α，β，有兩條相交直線a，b交于點P，若a∥β，b∥β，則α∥β。（如圖1）

將文字語言，符號語言和圖形語言配合使用，有助于讓學生讀懂，看懂題目，理解題意。

二、培養學生對定理進行歸納總結，使之系統化

“中等職業教育課程改革國家規劃新教材”數學下冊基礎模塊中涉及的主要定理是判定垂直與平行，可按其邏輯關系進行縱向整理。如判定定理的構成遵循線線?線面?面面的原則，逐步從簡到繁；而性質定理的構成，則遵循面面?線面?線線的原則。

不妨設直線為a，b，c，平面為α，β。（如圖2）

只有將定理組成一個網絡，使知識系統化、條理化，才能進一步深刻的掌握定理，以便能熟練地應用定理為依據來證明立體幾何題。

三、培養學生掌握定理，命題的證明方法

給出一道立體幾何題，它的證明方法是多種多樣的，而掌握證明方法，關鍵在于摸清它的解題思路，當確定了正確的解題思路后，才能給出證明的步驟。在證明定理，命題時，對推理的每一步都要寫出確切的依據。

1.綜合法

在證明中，從已知條件出發到求證，或者從已知到未知，這種方法叫做綜合法。

例：四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1，證明：SD⊥平面SAB。（如圖3）

分析：證明SD⊥平面SAB關鍵是找到SD與平面SAB內兩條相交直線都垂直。通過勾股定理，可得到AB⊥DE，AB⊥SE，命題可得證。

證明：取AB中點E，連接DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2，連接SE，則SE⊥AB，SE=，∵SD=1，∴DE2=SE2+SD2，∴∠DSE為直角。又∵AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E.

∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥SD。

∵SD與兩條相交直線AB，SE都垂直，故SD⊥平面SAB。

從分析中可以看出命題從已知條件出發，根據相應的定義、定理、公式及法則等，初步向欲證的結論推進，從而導出命題的結論。

2.分析法

在證明中，從求證追溯到已知，或者是從未知到已知，這種方法叫分析法。

例：數學下冊基礎模塊第127頁練習3，P是平行四邊形ABCD外一點，O為AC和BD的交點，E是PC的中點，求證：OE∥平面PAD。（如圖4）

分析：要證明OE∥平面PAD，只要在平面PAD中找到一條直線與OE平行，利用分析法，可以將OE∥平面PAD看成已知條件，根據線面平行的性質定理，過OE的平面只要與平面PAD相交，則OE與交線平行。題目中包含OE的平面PAC與平面PAD的交線為PA，則只需證OE∥PA，從而OE∥平面PAD。

證明：∵O為AC和BD的交點，∴O是AC的中點。

又∵E是PC的中點，∴OE∥PA。

又∵OE?平面PAD，PA?平面PAD。∴OE∥平面PAD。

分析法是從證題的結論出發推出所需條件為已知條件，再予以證明，這種方法只是一種解題思路，解題時要把解題思路用倒敘的形式寫出。

3.反證法

反證法是通過否定定理、命題的結論，然后從這個假定中得出和已知條件相矛盾的結果來。在數學下冊基礎模塊中，證明兩條直線是異面直線，有關“惟一性”的命題，直線在平面內，直線與平面的位置關系等問題，都可應用反證法。反證法包括歸謬法與窮舉法。

例：已知直線a?平面α，點A∈平面α，直線AB∥a，求證：AB?α。

分析：應用反證法，假設AB不在平面α，則AB與a不相交，根據異面直線判定定理，知AB與a是異面直線。

證明：假設AB不在平面α，∵點A∈平面α，∴AB∩α=A.又∵a?α，∴AB與a是異面直線（異面直線判定定理），這與AB∥a矛盾。故假設不成立。∴AB?α。

在此例中，使用歸謬法，是命題結論的否定方面只有一種可能性，那么，只要把這一種情況推翻，就能肯定結論成立。

例：證明：兩條平行線中一條與一個平面相交，那么另一條也與這個平面相交。

已知：a∥b，a∩α=A，證明：直線b與平面α相交。（如圖5）

分析：應用反證法，假設直線b與平面α不相交，則有兩種情況：b?α或b∥α，針對這兩種情況我們找出與條件矛盾的結論。

證明：假設直線b與平面α不相交，即b?α或b∥α。

（1）若b?α，∵a∥b，a?α，∴a∥α，與a∩α=A相矛盾。

（2）b∥α，∵a∥b，∴a與b確定一個平面β，則平面α和β相交。設α∩β=c，∵b∥α，∴b∥c。

又∵a∥b，∴a∥c且a?α，c?α，故a∥α，與a∩α=A相矛盾。

在此例中，使用窮舉法，這是因為命題的結論的否定方面不止一種情況，那就必須把否定方面所有的可能情況一一駁倒，才能肯定結論成立。

4.同一法

一個命題，如果它的題設和結論所指的事物都是唯一的，那么原命題和它的逆否命題中只要有一個成立，另一個就一定成立，這個原理叫做同一原理。對于符合同一原理的命題，當直接證明有困難時，可以改證與它等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法。同一法是立體幾何證明題常用的一種方法。

例數學下冊基礎模塊第127頁練習3，P是平行四邊形ABCD外一點，O為AC和BD的交點，E是PC的中點，求證：OE∥平面PAD。（如圖6）

分析：由已知可得，滿足條件的E是唯一的，若做出符合結論要求的OE′∥平面PAD。點E′也是唯一的。

那么根據圖形的唯一性即可知E′就是E，命題就可獲證。

證明：設E′是PC上的點且OE′∥平面PAD，

∵OE'?平面PAD，PA?平面PAD。∴OE′∥PA。

∵O為AC和BD的交點，∴O是AC的中點。

∴E′是PC的中點。∴E′與E重合。

故OE∥平面PAD。

在運用同一法時，要注意把題設、題斷分為若干單一的事項，然后再將決定圖形唯一性的條件和結論進行同質的交換。

5.向量法

向量同時具有形與數的特征，是溝通代數與幾何的橋梁，數學下冊基礎模塊第七單元平面向量的學習，有助于中職學生進一步體會數學運算的意義，有助于學生掌握處理立體幾何問題的代數方法。

例數學下冊基礎模塊第121頁例1，空間四邊形ABCD，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，則：四邊形EFGH是平行四邊形。（如圖7）

分析：要證四邊形EFGH是平行四邊形。只需證=。

證明：連接BD，∵EH是ΔABD的中位線

∴=，同理=

∴=，故四邊形EFGH是平行四邊形。

運用向量解決立體幾何問題都是通過向量的代數運算來實現的。向量提供了一種通過代數運算解決立體幾何的工具。向量的學習，有助于學生掌握處理立體幾何平行，垂直，線段相等等問題的代數方法。體會數形結合的思想。

立體幾何的證明，不同的思路往往會有不同的證法。若能掌握以上的幾種證明方法，解題時可采用比較簡潔的方法，就能快速的解題。立體幾何的證明，要注意證明格式的書寫，對于中職學生，通常采用推進式的寫法。可保證因果分明，推理連貫。條理清晰，培養中職學生的邏輯表達能力。

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