例談“數”、“形”求最值問題

初中數學中的求最大（小）值是一類較為常見的問題，是重要的內容之一，這類問題所涉及的知識面非常寬，并且它的題型也是靈活多變，要求同學們有較強的數學轉化思想和創新意識。這些問題不但在生活實踐中有一定的實用意義，也是歷年來數學競賽和各類考試中經常出現的。而對于最值問題的求解，方法多種多樣，它沒有通用的方法，隨著題型的不同，求最值的方法也有一些差異，這些方法主要通過例題去領悟。

最值問題可以分為兩大類：一大類是代數中某些量、式子的最大值或最小值；在現實生活中，我們經常碰到帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等。我們可把這一大類統稱為代數類最值問題，它可分為代數式的最值、有關數論的最值、有關方程未知數與函數變量的最值等三小類，一大類是幾何圖形中按一定規律運動的元素，在一定的范圍內變化而與它有關的某個量也隨之變化，有時，這個變化的量存在最大值或最小值。我們可把這一大類統稱為幾何類最值問題，它可分為有關角度的最值、有關線段（距離）的最值、有關面積的最值、某些幾何量的統計最值等四小類。

數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素。數形結合能力的提高，有利于從形與數的結合上深刻認識數學問題的實質，有利于扎實的打好數學基礎，有利于數學素質的提高，同時必然促進數學能力的發展。本文對“數”、“形”以及數形結合等方法在中學數學的教學中的應用作一些探討。

一、用“數”的方法求最值問題

用配方法求代數式的最值，通常是對一個一元二次多項式而言的，即滿足ax2+bx+c（a、b≠0）的形式。基本思路就是根據完全平方公式用配方法配成一個完全平方式，然后根據任何一個數的平方是非負數0來求它的最值。舉一個簡單的例子說明：

例1：求代數式x2-4x+5的最小值。

分析：代數式x2-4x+5這是一個一元二次多項式，可以通過配方，再根據一個數的平方是非負數，便可以求得最值。

解：∵x2-4x=（x-2）2-4

∴x2-4x+5=（x-2）2+1

∵（x-2）2≥0

∴當x=2時有最小值，最小值為0+1=1

對于復雜的式子同樣也適用，比如求代數式2x2-3x-5的最值。

分析：用同樣的方法對2x2-3x進行配方，得■x-■■-■■

最后就可以得出當■x=■即x=■時，原式有最小值，最小值為0-■=-■。

思考問題：如果把一個一元二次多項式改為二元二次多項式，要求出它的最值的話，這種方法是否仍然適用？

二、用“形”的方法求最值問題

對稱是一種客觀存在的，大千世界，許多事物都具有某些對稱性，對稱給人們以和諧均衡的美感，在平面幾何中，對稱更是一種思想方法，利用對稱性及“兩點之間，線段最短”等性質來解決最值問題，是數學中的重要的思想方法，運用對稱性解決問題，這種方法在求值中常常顯示出其他方法不可代替的優越性。它既可以減少一些繁瑣的計算，使解題方法簡潔明快，又可以拓展學生的解題思路，培養學生的思維能力。

1.點關于一條直線的對稱問題

例：問題：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小明帶小狗到河邊喝上水，同時回家又最近？分析：把這一生活問題數學化，設小明與小狗在A處，家在B處，小河為L，小明要在直線L上找一個點P（小狗在P處飲水），使得AP+BP最短。（如圖所示）設L上的P點為小狗飲水處，這個問題就轉化成求AP+BP的最小值，也就是數學中的最值問題。如圖，我們作點A關于L的對稱點A/，連結A/B交L于點P，則點P即為所求。

知識介紹：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線段的和變為一條線段來研究，利用兩點之間的線段最短，解決了最值問題，最終便可以得出結果。此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A′B，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉法、翻折法等。

2.利用菱形的對稱性進行轉化

例：在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F是AC上一動點，則EF+BF的最小值為多少？

分析：利用“兩點之間，線段最短”來做，要求出EF+BF的最小值其實就是要把這兩條線段轉化在一條直線上。剛好由于菱形對角連線兩邊對稱，所以線段AB的中點E和線段AD的中點M關于線段AC對稱即MF=EF。連接BM交AC于點F，線段MB即為MF+FB的最小值。

解：取線段AD的中點M，連接BM

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=AD

又∵∠DAB=60°

∴ABD是等邊三角形

又∵點M為AD的中點

∴ABM為直角三角形

又∵點E和點M關于AC對稱

∴MF=EF，EF+BF=MF+BF

在Rt△ABM中， MB=AB×sin60o=6×■=3■

∴EF+FB的最小值等于MB的長度，是3■。

三、用數形結合法求最值問題

數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。利用二次函數求最值，它的最值不在頂點即在端點，用數形結合思想來求解二次函數的最值問題，不僅強化了圖像直觀性，而且教會學生圖像觀察的能力，借助圖形使得問題簡單化，可避免繁雜的計算，獲得出奇制勝的解法。

二次函數在閉區間上的最值問題，因對稱軸與區間有三種不同位置關系，其最值可能出現在區間的端點或頂點處，其實質是對稱軸與區間的相對位置，即對稱軸在區間的左側、右側、內部時，函數在定義區間上的單調性不同。因此可以結合圖形進行考慮，確定出最大、最小值，使得抽象的問題形象化、簡單化。