“矢量的運算”在輪船過河問題中的運用

有關輪船過河的一些問題，高中大部分學生感覺難以處理，其原因主要是對運動的合成與分解理解不透徹，不會從矢量的運算中思考問題、解決問題，筆者根據多年的教學經驗得知，從矢量的運算中來講清這一問題是比較有效的方法，拙筆供出，以供各位同行鑒之。

輪船過河，設河岸平直，船相對于水的速度為V船（即船在靜水中的速度），水的流速為V水（即水對地的速度），船的合速度為V（即船對地的速度，其方向就是船的航向），河的寬度為L。V水一般是一定的，而V船一般大小一定，方向是任意的。有三種情況：V水>V船，V水=V船、V水

一、在以下三個圖中，船垂直河岸的分速度為V1，船平行河岸的分速度為V2

則：V2=Vcosθ=V水-V船cosα，利用V2可以計算輪船過河順水漂移的位移S1，S1=V2t，t為渡河的時間。

V1=Vsinθ=V船sinα，利用V1可以計算輪船過河的時間t=L/v1=L/v船sinα

規律1：當船頭垂直河岸，既α=90o時，sinα=1，渡河時間最短，且渡河時間與水的流速無關。

二、V水>V船時的情況，合速度V與V水的夾角為θ（如圖一所示）當θ最大時，sinθ=v船/v水，且V⊥V船，（既船頭方向與航向垂直），V2=V水2-V船2。θ的取值范圍為0≤θ≤arcsinv船/v水。因為V船

規律2：在V船L。

三、V水=V船時的情況，合速度V與V水的夾角為θ，如圖二所示，則θ的取值范圍為0≤θ≤90o，討論得：

規律3：當θ=90時，V=0，既船對岸是靜止的，且船頭方向是逆水方向，由V船的大小可知V水的大小，這種情下利用船也可打撈下沉河底的物體。

四、V水

規律4：當θ=90時，既船的合速度垂直河岸時，渡河位移最小，并等于河寬S=L，V2=V船2-V水2，船頭的方向與河岸的夾角為α，cosα=v水/v船

五、輪船過河，有些問題是設定航線的，如設航線OA與河岸的夾角為θ（如圖四所示），為了沿此航線到達對岸，首先必須保證合速度V的方向與航線重合，根據矢量的三角形法則和點到直線間垂直距離最短定律可知，只要船頭與航線OA垂直，既V船⊥V時，船相對于水的速度V船最小，在同樣的條件下，船消耗的功率最小。

V船min=V水sinθ=v水L/OA V=V水sinθ

規律5：船沿指向下游的固定航線渡河，當船頭方向與船的合速度垂直，既V船⊥V時，船相對靜水的速度最小，并且速率等于水的流速沿垂直航線的分量。

只要學生理解以上的矢量運算，掌握以上的五點規律，遇見這類問題就會迎刃而解，同時也加強了學生對運動的合成與分解的理解。