談談初中數學教材中的分類思想

摘 要 分類思想是數學思想方法中的一種。數學概念、法則、公式等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數學分類思想卻隱含在數學知識體系中，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節中。我們教學時，應根據不同的教學內容，教會學生運用分類思想去解決各種問題。

關鍵詞 中學數學教學 分類思想 知識體系

初中數學中蘊含的數學思想方法很多，最基本的數學思想方法有：化歸思想、數形結合思想、分類討論思想、方程思想、函數思想等。在這些基本思想方法中，分類討論的思想由于初中學生認知能力、思維習慣、知識水平和教學內容的限制，學生在運用的過程中感覺到特別困難，但分類思想在中學數學中又有著極其廣泛的應用，有必要對其特別加以重視。

分類思想作為數學思想方法中的一種，滲透于整個初中的數學教材體系中。通過分類可以使大量看似紛繁復雜的事物條理化、系統化，從而為我們深入研究學習創造條件，提供便利可行的途徑。分類思想不僅在數學知識的概念學習中十分重要，而且在參數討論、數學證明、有關概率的計算中也起到了催化劑的作用。因此，對初中數學教學中分類思想的應用進行整理，對分類思想在學生思維上起到的作用進行研究，不僅能夠加深對數學思想方法滲透于教學的理解和應用，更對提高教學效率，優化教學方法有著積極的指導作用。

數學概念、法則、公式等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數學分類思想卻隱含在數學知識體系中，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節中。在整個初中數學教材內容中，從代數式到方程，不等式、函數、圖形變換、解直角三角形、圓等無不存在分類討論的題目。我們教學時，應根據不同的教學內容，教會學生運用分類思想去解決各種問題。

下面是筆者小結了人教版初中《數學》課本中七年級、八年級、九年級中包含分類思想的知識點。

七年級

知識點1 有理數的分類：有理數按定義可以分為整數與分數；而按大小又可分為正有理數、0、負有理數。在有理數的應用中時常需要就有理數的取值進行分類討論。

例題：“-一定是負數嗎？”啟發學生分>0， = 0，<0三種情況考慮。

知識點2 角的分類，小于180的角按大小可分成銳角、直角、鈍角等。

例：在同一平面上，∠AOB = 70€埃螧OC = 30€埃湎逴M平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20€盎？0€埃ㄈ繽？、2）

圖1 圖2

知識點3 線段的大小的比較。在比較兩條線段與的大小時，“將甲線段AB移到乙線段CD的位置，使端點A與端點C重合，線段與線段疊合。”這時端點B可能的位置情況可分為三種，由此得到線段與的三種大小關系：

圖3

當點B在線段CD上時；ABCD。

知識點4 角形的分類：在三角形中按角的大小進行分類可以分為銳角三角形、直角三角形，鈍三角形；而按邊的相等數來分又可以分成：（1）三條邊都不相等，即一般三角形；（2）有兩邊相等，即等腰三角形；（3）有三條邊相等，即等邊三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分類討論的題型最多。

1、等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

2、在△ABC中，∠B=25€埃珹D是BC上的高，并且，則∠BCA的度數為_____________。（答：65€埃？15€埃？

解析：因未指明三角形的形狀，故需分類討論。如圖4，當△ABC的高在形內時；如圖5，高AD在形外時，此時△ABC為鈍角三角形。

圖4 圖5

知識點5

絕對值的化簡

例題：在學習絕對值的定義時，要幫助學生概括出>0， = 0， <0時，應如何表示。例如去掉∣∣中的絕對值符號。

知識點6 不等式的性質

不等式的性質2 不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

根據不等式這個性質在不等式的兩邊都乘或除以一個數時需要考慮到這個數是正數還是負數。

知識點7 方案設計

在一些應用題中，特別是所謂方案選擇，其實就是在某個變化過程中，自變量取不同的值，函數可以取不同的值，然后，按需要選出最佳方案。也就是，我們所說的分段函數。解這種題目，要特別注意分界點。把各個分界點的值找出來，然后，把各種不同的結果羅列出來，在根據實際情況，選擇最優方案。例如：某中學需要刻錄一批電腦光盤，如果到電腦公司刻錄，每張需9元（包括空白光盤費）；如果學校自刻，除租用刻錄機需120元以外，每張光盤還需成本4元（包括空白光盤費）問刻錄這批電腦光盤，該校如何選擇才能使費用較少？

解：設需刻錄張光盤，到電腦公司需9元，自刻需（120+4）元，方案1：當9>120 + 4時，即>24時，自刻費用較省。方案2：當9 = 120 + 4時，即 = 24時，到電腦公司刻錄與自刻費用一樣。方案3：當9<120 + 4時，即<24時，到電腦公司刻錄費用較省。

知識點8 點與直線的位置關系：①點在直線上；②點在直線外。

知識點9 直線與直線的位置關系：在同一平面內兩直線的位置關系有：①相交 ②平行。直線與直線的位置關系中分類討論的題型并不多見，但它本身就是一種分類。

知識點10 方程的分類，方程按未知數的個數可分成一元方程、二元方程、多元方程。

知識點11 帶絕對值符號的方程。

例：解方程：∣∣+∣∣= 5。

分析：該題是含有絕對值的方程，怎樣去掉絕對值的符號化為一般的一元一次方程為解題的關鍵。由絕對值的定義，求出各絕對值的零點：2，-3，把數軸分成三段：≥2，-3<<2，≤-3，就可去掉絕對值轉化為我們能解的方程。該題通過分段討論，將一個復雜的含絕對值的問題轉化為不含絕對值的方程求解。

八年級

知識點12 實數的分類：實數按定義可以分為有理數與無理數；而按大小又可分為正有理數、0、負有理數。在實數的應用中時常需要就有理數的取值進行分類討論。

知識點13 四邊形的分類：在四邊形中按邊的平行關系可分為：①兩組對邊都不平行，即一般四邊形；②只有一組對邊平行，即梯形③兩組對邊分別平行，即平行四邊形，而平行四邊形中又可分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形等。

知識點14 方程的分類，方程按未知數的個數可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知項的次數可分為一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常對未知數前面的字母系數的取值分類討論。

知識點15 一次函數的性質一次函數的性質。

一次函數 = + （≠0）的圖像與、的符號有關，可分為四種情況：當>0，>0時，直線 = + 經過第一、二、三象限；當>0，且<0時，直線 = + 經過第一、三、四象限；當<0，且>0時，直線 = + 經過第一、二、四象限；當<0，且<0時，直線 = + 經過第二、三、四象限。

這時只需點撥學生發現、符號的四種可能情況，分類討論的結論學生已經可以自己得出。

知識點16 函數的增減性，（1）在一次函數 = + （、為常數，且≠0）中，如果>0，那么的值隨值的增大而增大；如果<0，那么的值隨值的增大而減小。（2）在反比例函數 =/（k為常數，且≠0）中，當>0時，雙曲線的兩個分支分別在第一、三象限，在每一個象限內，隨增大而減小；當<0時，雙曲線的兩個分支分別在第二、四象限，在每一個象限內，隨增大而增大。

知識點17 函數的分類，初中數學中的函數可分成正比例函數、一次函數、二次函數、反比例函數等。

九年級

知識點18 二次根式的化簡

知識點19 一元二次方程根的判別式，一元二次方程 + + = 0（≠0），當△= >0時，方程有兩個不相等的實數根；當△= = 0時，方程有兩個相等的實數根；當△= <0時，方程無實數根。

例：討論關于的方程 = 0的根的情況。

解：∵△= = ，所以分開三種情況討論：（1）>0，<1，方程有兩個不相等的實數根；（2） = 0， = 1，方程有兩個相等的實數根；（3）<0，>1，方程無實數根。

知識點20 函數的分類，初中數學中的函數可分成正比例函數、一次函數、二次函數、反比例函數。

例：二次函數 = + 3 + 1的圖像。

解：要根據>0， = 0，<0分類討論。

知識點21 點與圓的位置關系：①點在圓外；②點在圓上；③點在圓內。

知識點22 直線與圓的位置關系：①相離；②相切；③相交。

知識點23 圓與圓的位置關系：①外離；②外切；③相交； ④內切；⑤內含。

知識點24 圓周角定理證明中的分類，分三種情況進行討論。①圓心在角的一邊上；②圓心在角的內部；③圓心在角的外部。

圖6

例：如圖6， 初中課本第四冊證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

知識點25 中考綜合題（函數類）

例：已知拋物線 = + + 與軸交于A，B兩點，與軸交于C點，得到△ABC，試根據的取值范圍把△ABC按角分類。

根據圖7分析：該題可先從圖形的位置的不同分為兩類：拋物線與軸的交點在軸的同側，該三角形為鈍角三角形；拋物線與軸的交點在軸的兩側時，再分直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三類考慮。這時可以直角三角形為突破口，若△ABC為直角三角形，則OA·OB = OC2，由此得到若△ABC為鈍角三角形，則OA·OB>OC2，若△ABC為銳角三角形，則OA·OB

知識點26 中考綜合題（動點類）

例（2012.無錫）如圖8，菱形ABCD的邊長為2cm，∠BAD = 60€埃鉖從點A出發，以cm/s的速度，沿AC向點C做勻速運動；同時點Q也從點A出發，以1cm/s的速度，沿射線AB做勻速運動，當點P運動到點C時，P，Q兩點都停止運動，設點P的運動時間為t（s），（1）當點P異于A，C時，請說明PQ//BC；（2）以P為圓心，PQ的長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和兩個公共點。

解：（1）略。

（2）作三個示意圖。⊙P與BC相切；⊙P過點B；⊙P過點C，可以求出：當 =（46）s時，⊙P與BC相切；當 =1s時，⊙P過點B；當 =（3）時，⊙P過點C，當 = 2時，點P停止運動，⊙P過點B；綜合可得：①當 = 46或1<≤ 3或 = 2時，⊙P與邊BC有1個公共點；②當46<≤1時，⊙P與邊BC有兩個公共點。

【啟示】：（1）通過上述問題的討論，分類討論的思想方法在初中數學教材中有著廣泛的應用。在運用分類思想解題時主要步驟有：①分析題目中的已知條件，明確所要討論的對象，確定所要討論對象的全體；②確定分類標準，正確進行合理分類，做到不重不漏，并力求最簡；③對所分類型進行逐級討論、求解；④歸納小結，得出最后的結論。（2）在初中階段，以下幾方面的題目要分類討論：①條件不明確，需分類的問題。如：求等腰三角形的邊、角問題。②求解過程不便統一表達的問題。③從函數圖像上獲取信息時，經常要分類討論。如“分段函數”。④解關于圖形運動時的位置、變形的題目，需分類。⑤解方程時，特別是含有字母作為已知數的方程時，要分類討論。⑥解不等式時，特別是含有字母系數的不等式。（3）作為數學教師，一定要深入鉆研教材，把蘊含在各個章節中分類思想明確教授給學生，并結合當時的教學內容加強訓練，從而培養學生思維的嚴密性、整體性。慢慢學會整體考慮，化整為零，分別對待，各個擊破的思維策略，這將會使學生終身受益。

參考文獻

[1] 張奠宙.數學素質教育設計.江蘇教育出版社，1996.

[2] 九年義務教育課本.數學（七年級至九年級）人民教育出版社，2006.

[3] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）.人民教育出版社，2011.