近現(xiàn)代幾何學(xué)的發(fā)展及其對研究生數(shù)學(xué)教學(xué)的若干啟示

摘 要 文章簡要敘述了十九世紀(jì)和二十世紀(jì)幾何學(xué)的重要發(fā)展發(fā)展，總結(jié)其中的重要思想方法特點。結(jié)合幾何發(fā)展的特點，指出其中的某些思想對于研究生數(shù)學(xué)教育的若干啟示。

關(guān)鍵詞 微分幾何 代數(shù)幾何 拓?fù)?指標(biāo)理論

中圖分類號：G643 文獻標(biāo)識碼：A

The Development of Modern Geometry and Several Inspiration for the Graduate Students' mathematics Teaching

LI Ming

（School of Mathematics and Statistics， Chongqing University of Science and Technology， Chongqing， 400054）

Abstract Briefly describe the 19th and 20th century important development of geometry， and summarize the characteristics of the important thought method. Combined with the geometric characteristics， point out that some of these ideas are provided for the inspiration of graduates' education in mathematics.

Key words differential geometry； algebraic geometry； topology； index theory

0 引言

數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史蘊含了該學(xué)科的十分重要的思想方法。特別是十九世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)得到了蓬勃的發(fā)展。這其中，幾何學(xué)的發(fā)展尤為顯著，發(fā)展方式和思想方法具有一定的代表性。

當(dāng)前國內(nèi)數(shù)學(xué)研究生的教育方面，有若干基本的困難。首先是學(xué)生學(xué)習(xí)興趣缺失，學(xué)習(xí)動力不足；其次是部分學(xué)生對于數(shù)學(xué)的了解不足，認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是在大學(xué)階段所學(xué)知識的簡單推廣，對數(shù)學(xué)理解較為狹隘；而另一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)方法特別是思想方法方面有一定的局限性。

結(jié)合研究生教學(xué)的具體工作特點，在適當(dāng)?shù)臅r候介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵時期形成的思想方法和數(shù)學(xué)中的重要問題對于解決上述問題有一定的幫助。

1 十九世紀(jì)的幾何學(xué)

十九世紀(jì)前半葉是幾何學(xué)的復(fù)興時期。從坐標(biāo)幾何出發(fā)，不使用微積分方法，直接研究幾何對象，導(dǎo)致了代數(shù)幾何的建立。這一時期，幾何學(xué)家重視發(fā)現(xiàn)普遍原理，以及各種原理的廣泛聯(lián)系。這種思想貫穿了幾何學(xué)今后的發(fā)展，可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)的二次抽象。

這個時期幾何學(xué)所蘊含的思想，對于一般的數(shù)學(xué)工作者都有指導(dǎo)作用。特別對于有志于從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)生，通過觀察幾何學(xué)在低靡時期的發(fā)展，一方面可鍛煉數(shù)學(xué)思維能力，另一方面可培養(yǎng)其在研究工作上堅韌的態(tài)度。

十九世紀(jì)后半葉，幾何學(xué)在其自身的各個分支都有重大突破。

1.1 非歐幾何與Erlanger綱領(lǐng)

這些工作可以說是在幾何學(xué)最早的兩種思想的指導(dǎo)下，幾何的新發(fā)展。一是《幾何原本》中的邏輯推理，另外就是射影幾何產(chǎn)生的變換思想和不變量的觀點。

Gauss，Lobatchevsky和Bolyai給出了不需要《幾何原本》中第五公設(shè)的獨立的幾何體現(xiàn)。Klain的Erlanger綱領(lǐng)則將綜合幾何的研究抽象為某種變換群作用下不變量的研究。當(dāng)變換群有不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)時，則產(chǎn)生相應(yīng)的幾何學(xué)，這中間就包括了Euclid幾何，射影幾何和非歐幾何。

1.2 微分幾何的獨立

微積分產(chǎn)生后的微分幾何僅僅是微積分的應(yīng)用，沒有獨立的涵義。Gauss的曲面論建立了曲面的第一基本形式的幾何，即內(nèi)蘊幾何。這代表著微分幾何有著獨立的意義。Riemann隨后將該理論推廣到高維空間，并給出了Riemann曲率的概念，這就是Riemann幾何。

Gauss和Riemann的工作對于數(shù)學(xué)研究有非常重要的啟示。Gauss的曲面論是在其主持天文臺時期做大地測量時建立的。可認(rèn)為是應(yīng)用數(shù)學(xué)成功的典范，可作為大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程的典型案例。對于引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成在解決實際問題時建立抽象數(shù)學(xué)理論的習(xí)慣。Riemann的工作則是在數(shù)學(xué)上的進一步發(fā)展，其中包含了大量的計算。Riemann的工作表明數(shù)學(xué)上的重大發(fā)展除了思想正確外，是建立在辛勤工作的基礎(chǔ)之上的。

1.3 代數(shù)幾何紛繁復(fù)雜

這一時期代數(shù)幾何發(fā)展集中在研究代數(shù)不變量和雙有理變換。代數(shù)幾何呈現(xiàn)出方法眾多，語言差異很大的面貌，使得不同方法的使用者之間難易交流。但正是這種特點反映出代數(shù)幾何的重要性，并暗示著其在數(shù)學(xué)中的主導(dǎo)地位。

1.4 組合拓?fù)鋵W(xué)

從17世紀(jì)Euler關(guān)于閉凸多面體的Euler公式起，到Mobius關(guān)于閉曲面的分類工作，直至Riemann在復(fù)分析中關(guān)于Riemann面的工作，為組合拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。Poincare的位置分析是對上述工作的系統(tǒng)發(fā)展，奠定了拓?fù)鋵W(xué)的基本研究方向：同調(diào)論和同倫論。他的思想決定了20世紀(jì)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展方向。

這段時期是形成不同數(shù)學(xué)分支及不同數(shù)學(xué)方法的重要階段，我們目前所知的主要數(shù)學(xué)分支均在這個時期形成。這表明數(shù)學(xué)研究專門化的必要性。數(shù)學(xué)研究的這種特點對于研究生的教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)的各個方向的研究生必須熟練掌握本方向的基本概念，理論和方法，學(xué)生才能學(xué)有所得，并在數(shù)學(xué)上有所貢獻。

2 二十世紀(jì)前半葉幾何學(xué)的極大發(fā)展

這一階段各幾何分支自身有充分的發(fā)展，并且出現(xiàn)了相互之間的融合。

2.1 微分幾何的大發(fā)展

微分幾何的重要發(fā)展首先是E. Cartan的工作，其建立的纖維叢上的聯(lián)絡(luò)理論成為微分幾何基礎(chǔ)，其建立的外微分理論一方面是研究微分幾何的基本工具，另外也是建立微分流形的de Rham理論的基本概念。陳省身作為E. Cartan的學(xué)生完善了纖維叢的聯(lián)絡(luò)理論，其建立的示性類理論是幾何學(xué)發(fā)展的里程碑式的工作。該示性類理論稱為Chern-Weil理論，是建立流形局部幾何性質(zhì)與整體的拓?fù)湫再|(zhì)關(guān)聯(lián)的基本理論，成為幾何學(xué)的基本語言。

2.2 代數(shù)幾何的統(tǒng)一

20世紀(jì)以來代數(shù)幾何最重要的進展之一是它在最一般情形下的理論基礎(chǔ)的建立。20世紀(jì)30年代，Zariski和V.D.Waerden等首先在代數(shù)幾何研究中引進了交換代數(shù)的方法。在此基礎(chǔ)上，Weil在40年代利用抽象代數(shù)的方法建立了抽象域上的代數(shù)幾何理論，然后20世紀(jì)50年代中期，法國數(shù)學(xué)家Serre把代數(shù)簇的理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層的上同調(diào)理論，這為Grothendieck隨后建立概型理論奠定了基礎(chǔ)。概型理論的建立使代數(shù)幾何得研究進入了一個全新的階段。這期間的突出結(jié)果是Weil證明的“有限域上的曲線的Riemann猜想”，以及Riemann-Rochester-Hirzebruch定理的推廣。

2.3 拓?fù)鋵W(xué)成為主導(dǎo)

拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展在20世紀(jì)時最顯著的，并且對于所有的其他數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生了巨大影響。一方面是拓?fù)鋵W(xué)研究的對象非常豐富，包括了拓?fù)淞餍巍⒎侄尉€性流形與微分流形等，各自有著自己特有的方法。其中的同調(diào)論和K-理成為對其他分支影響極大的方法。而拓?fù)鋵W(xué)的結(jié)果則大大擴充了人們對幾何的認(rèn)識，可以特別指出的是微分結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的獨立性。

2.4 分析學(xué)的發(fā)展以及幾何思想方法的滲透

首先是常微分方程的幾何理論，由Poincare開創(chuàng)的定性理論被Liapounov、Birkhoff等人所發(fā)展，最終由Arnold和拓?fù)鋵W(xué)家Smale發(fā)展了微分流形上的動力系統(tǒng)理論。

偏微分方程的一般理論也為拓?fù)鋵W(xué)的概念所控制，其中完全可積微分方程組的積分流形稱為葉狀結(jié)構(gòu)，葉狀結(jié)構(gòu)的大范圍理論為Reeb、Haefliger、Novikov、Thurston等人所發(fā)展，最終導(dǎo)致了對三維流形的根本認(rèn)識。

處理分析中出現(xiàn)的對象時，自然產(chǎn)生的便是函數(shù)空間，函數(shù)空間的理論和積分理論的發(fā)展導(dǎo)致了泛函分析和測度論的產(chǎn)生。泛函分析的理論部分實際上是線性空間與拓?fù)淇臻g結(jié)合的產(chǎn)物，而維數(shù)是無限的。這個理論為微分方程提供了理論框架，也促進了線性微分方程的發(fā)展，這對于泛函分析語言和工具是必須的。

測度論最開始只是積分理論的一個產(chǎn)物，表面上來看它只是處理病態(tài)集合的一個方法。然而分形幾何則完全建立在測度論的基礎(chǔ)之上，雖然分形幾何處理的對象還是病態(tài)的，但其在經(jīng)典數(shù)學(xué)的范圍之內(nèi)很多地方分形幾何已經(jīng)成為必要的部分。

這段時間幾何學(xué)各個分支發(fā)展的一個首要特點是多種方法的綜合應(yīng)用。在研究生教育過程中，這是特別需要重視的地方。在將所研究的分支中的基本方法熟練掌握后，應(yīng)當(dāng)盡量擴展視野，學(xué)習(xí)相關(guān)的其他理論方法，并加以應(yīng)用。

3 二十世紀(jì)后半葉數(shù)學(xué)的融合與統(tǒng)一

當(dāng)前數(shù)學(xué)無論在方法上還是在內(nèi)容都呈現(xiàn)出融合的趨勢。本文只指出其中兩個方面。關(guān)于整個20世紀(jì)的數(shù)學(xué)，參考Atiyah。

3.1 Atiyah-Singer指標(biāo)定理

當(dāng)分析發(fā)生在流形上，成為了幾何分析和大范圍分析。在流形上考慮微分算子的思想可以看成是大范圍分析的起點，Hodge的工作突出了這種觀點對于研究流形拓?fù)涞挠锰帲珹tiyah-Singer指標(biāo)定理將其大大深化，被公認(rèn)為是20世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)成就之一。它的大意是說：對一個封閉流形上的一類微分算子（稱為線性橢圓微分算子），可以定義兩個整數(shù)：一個是用分析方法定義的，稱為分析指標(biāo)；另一個是用拓?fù)浞椒ǘx的，稱為拓?fù)渲笜?biāo)。在這個情形下，Atiyah-Singer指標(biāo)定理可以敘述為：“對任何一個線性橢圓微分算子D，有公式：D的分析指標(biāo)=D的拓?fù)渲笜?biāo)。”

從這個定理的字面上就可以有大致的了解，本質(zhì)上它在數(shù)學(xué)的兩大領(lǐng)域——分析與拓?fù)渲g建立了一座內(nèi)在的橋梁。像這樣的將兩個看似無關(guān)的領(lǐng)域緊密結(jié)合起來的結(jié)果，其重要性及應(yīng)用的廣泛性是顯而易見的。從另外一個角度講，“D的分析指標(biāo)”是通過分析的方法決定的一個“整體”不變量，而“D的拓?fù)渲笜?biāo)”經(jīng)由Chern-Weil理論可以有一個局部的表達(dá)式。這樣上述的公式就可以有另外一種更抽象同時也更具有哲學(xué)意味的形式：“整體=局部的疊加”。這里盡管“局部”的量可以任意變化，但是通過“疊加”（積分）后得到的整體量卻是固定不變的！

如此優(yōu)美并顯然有重要意義的定理在數(shù)學(xué)中的地位自然舉足輕重。例如它就包含了當(dāng)時微分幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)以及代數(shù)幾何學(xué)中的諸多大定理如Gauss-Bonnet-Chern定理、Hirzebruch符號差定理、Riemann-Roch-Hirzebruch定理等等為其特例。

3.2 Connes的非交換幾何

另外的一個重要的工作便是有Connes創(chuàng)造的非交換幾何。非交換幾何產(chǎn)生的動力來自Grothendieck對代數(shù)幾何的工作、Connes在算子代數(shù)方面的工作、以及在這之前研究算子代數(shù)時得到的代數(shù)-幾何相互決定的經(jīng)典理論，如Gelfand-Naimark定理。Connes的非交換幾何一經(jīng)產(chǎn)生（下轉(zhuǎn)第59頁）（上接第42頁）便表現(xiàn)出不平常的適應(yīng)性和生命力，很多經(jīng)典的概念都有了非交換幾何框架下的表述，而很多經(jīng)典幾何中無法有效研究的對象在這里有了很自然的研究方法。它融合了分析、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⑽锢怼?shù)論，所有這一切都是它的一部分。這是一個框架性理論，它能夠讓我們在非交換分析的范疇里從事微分幾何學(xué)家通常所做的工作，這當(dāng)中包括與拓?fù)涞年P(guān)系。要求這樣做是有很好的理由的，因為它在數(shù)論、幾何、離散群以及物理等方面中都有應(yīng)用。

4 總結(jié)

從幾何學(xué)的整個歷程可以看出，幾何學(xué)不斷地發(fā)展著新的內(nèi)容和方法，這些內(nèi)容本身是有重要意義的，而發(fā)展出來的方法和思想則不只局限在幾何本身，而且給別的分支提供了新的研究方法。更為重要的是以幾何學(xué)為代表的“直觀”，滲透在數(shù)學(xué)的各個方面，成為數(shù)學(xué)進步的內(nèi)在動力。幾何觀念培養(yǎng)對于大學(xué)數(shù)學(xué)教育是基本的內(nèi)容，將幾何學(xué)歷史發(fā)展各個時期體現(xiàn)的重要幾何和數(shù)學(xué)思想融合到教學(xué)過程中，對于數(shù)學(xué)教學(xué)工作大有裨益。

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