反證法

摘 要 本文討論了反證法，引出了極小反例——群論中的一種常用證明方法，并用他們證明了一些結論。

關鍵詞 反證法 極小反例 真子群 冪零群

中圖分類號：O156.1 文獻標識碼：A

Reduction to Absurdity-Minimal Counterexample

ZHANG Xianxiu， ZENG Lingyan， XIA Zhenpei

（Liupanshui Normal University， Liupanshui， Guizhou 553001）

Abstract Reduction to absurdity is discussed in this paper， raises the minimal counterexample in group theory， a commonly used identification method， and proved them some conclusions.

Key words proof by contradiction； minimal example； proper subgroup； nilpotent group

1 預備知識

在本文中，（）表示的階；[] = ；是的正規子群，記著：€I$。

先看一些定義：

定義1 （文獻【2】：55頁）若是有限群，是素數，設，但不整除。則中必存在階子群，叫做的子群。

定義2 群不是冪零群，但的每個真子群都是冪零群，則叫做內冪零群。

再看一些引理：

引理1 （文獻【2】：31頁）設€I$，和/均可解，則可解。

引理2 （文獻【2】：137頁）設是有限群，是冪零群的一個充要條件是：的每個Sylow子群都是正規的，因而是它的諸 Sylow子群的直積。

引理3 （文獻【2】：142頁）設是內冪零群，則 = ，≠均為素數，且適當選擇符號便有的Sylow -子群€I$，而Sylow -子群循環，故不是的正規子群，并有（）≤（）。

2 主要結論

反證法是“間接證明法”一類，是從反方向證明的證明方法，即：先提出與結論相反（相排斥）的假設，然后推導出和已知證明的定理、公理、定義、題設相矛盾的結果，這樣就證明了與結論相反的假設不能成立，從而肯定了原來的結論必定成立，這種間接證明的方法叫反證法。

法國數學家阿達瑪對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結論的否定當作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。

在應用反證法證題時，一定要用到“反設”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的反面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。

牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難，情況多或復雜，而逆否命題則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆。

反證法的證題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結論開始，得出矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。應用反證法的是：

欲證“若則”為真命題，從相反結論出發，得出矛盾，從而原命題為真命題。

反證法所依據的是邏輯思維規律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思維過程中，兩個矛盾的思想必有一個是真的。

反證法是數學證明中的一種極其重要的數學方法，特別是對于一些直接證明比較難的問題來說，使用反證法去證明，將會變得非常簡單。先看一個大家熟悉的證明：

證明是無理數。

證明：假設不是無理數，那么是一個有理數，令 = （，都是整數，，互素，且≠0）兩邊平方得：2 = ， = 2，顯然是偶數，令 = 2，代入 = 2得2 = ，顯然是偶數，這與，互素矛盾。所以是無理數。

這個證明主要用到 = 2。有理數的性質實質上是整數的性質：能被2整除，則是偶數。因為奇數的平方還是奇數。運用整數的這個性質我們還可以證明下面的結論。

定理1 證明：在勾股數中，兩條直角邊對應的勾股數不可能都是奇數。

證明：設，，是一組勾股數，，對應的是直角邊，假設結論不成立，即，都是奇數，由勾股定理 + = 得是偶數，則是偶數；另一方面，設 = 2 + 1， = 2 + 1，則 + = + = 4（ + + + ） + 2，不能被4整除，設 = ，則 = ，能被4整除，左右不可能相等，矛盾，故原命題成立。

下面的結論是顯然的：

定理2 勾股數不能都是奇數。

數學歸納法的理論根據是最小數原理，可用反證法證明。而最小數原理也是用反證法證明的。最小數原理（又稱自然數的良序性）自然數集的任一非空子集必含有一個最小數。

證明：假設≠，且中沒有最小數，為所有小于中任何一個數的自然數構成的集合。

由0（否則，0是中的最小數），知0。

設是中的任一自然數，即<對一切成立。現證 + 1。

用反證法：若 + 1，在中必存在，使 + 1≥。又由中沒有最小數，知有，使>。這就有≤，但這與矛盾，于是 + 1。

根據歸納公理知 = 。

由非空知有自然數，但。這就出現了<的矛盾，從而原命題得證。（引自文獻【1】11頁-12頁）

反證法是把結論的反面呈現出來，我們容易看出矛盾，從而結論成立。在代數里，特別是在群論里經常用到的一種證明方法：把反證法和數學歸納法結合在一起，叫做極小反例法。即：用數學歸納法，取較小的數結論顯然成立，假設取較大的數結論不成立，所有取的這些數（使結論不成立）組成集合，是自然數集的一個子集，根據最小數原理，中有一個最小數， = 時，結論不成立，即極小反例，然后推出矛盾，說明極小反例不存在，結論成立。

下面用這種方法來證明兩個結論：

定理3 設有限群的每個真子群皆為交換群，則是可解群。

證明：設是結論不成立的極小反例（也就是說階數比還小的群若滿足定理1的條件則一定是可解群），不可解，當然不是交換群。由例7.10，含有非平凡正規子群，則是交換群，當然可解，再看商群/，顯然/的每個真子群交換，由于/<，/是可解群。由引理1可得是可解群。矛盾。說明極小反例不存在，這樣結論成立。

定理4 在有限群中，若對任意的，，只要（（），（）） = 1，就有[，] = 1，則是冪零群。

證明：設群是結論不成立的極小反例。顯然，對于的任何一個真子群，具備定理條件，又<，因而是冪零群。即的任何一個真子群都是冪零群，故是內冪零群。由引理3得： = ， ≠均為素數，且適當選擇符號便有的Sylow -子群€I$，而Sylow -子群循環，不是的正規子群，由定理的條件可得：里的元和里的元可交換，而循環，是交換群。由于€I$，故 = 。這樣里的任意元可寫成， ， ，對里的任意元， = = = ，所以。這樣 = ，是冪零群。矛盾。說明極小反例不存在，結論成立。

基金項目：（1）六盤水師范學院校級課題（LPSSY201012）；（2）六盤水師范學院校級課題 （LPSSY201003）；（3）六盤水師范學院數學教育教學團隊（LPSSYjxtd201102）

參考文獻

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