熱擴(kuò)散方程的一個(gè)運(yùn)用

摘 要 偏微分方程曾被用于圖像分析，基于偏微分方程的圖像處理，需要相應(yīng)算法迭代的停止點(diǎn)，即在該點(diǎn)得到的圖像相比于原始圖像更清晰，且往后繼續(xù)迭代不會(huì)得到更清晰的圖像。本文運(yùn)用熱擴(kuò)散方程解去除數(shù)字信號(hào)中的噪聲。在一個(gè)R上的有界區(qū)域€%R，運(yùn)用解偏微分方程數(shù)值解的方法處理數(shù)字信號(hào)。

關(guān)鍵詞 有限差分法 熱擴(kuò)散方程 噪聲

中圖分類號(hào)：TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

A use of Heat Diffusion EquationZHANG Luping

（Institute of Public Teaching， Jiangxi Science and Technology University， Nan Chang， Jiangxi 330098）

Abstract Partial differential equation once used to analyze imagines. Imagine processing based on partial differential equations needs the corresponding algorithm by which we get stop point of iteration. The imagine at this point is clearer than the imagine before the point and the imagine before the point. In this paper， we will use Heat Diffusion equation to investigation how to remove the noise in digital signals. We deal with digital signals， via Partial Differential Equation approach on a bounded domain €%R of R.

Key words finite difference methods； heat diffusion equation； noise reduction

0 引言

隨著科技的發(fā)展，人們已經(jīng)不局限于直接用眼睛去看外面的世間，攝影機(jī)和電腦等機(jī)器視覺代替人眼對(duì)目標(biāo)進(jìn)行識(shí)別、跟蹤和測(cè)量，并進(jìn)一步做圖像處理。在過去的若干年，數(shù)字信號(hào)處理發(fā)展迅速，其運(yùn)用已分布到各行各業(yè)，用電腦處理數(shù)字信息已成為更適合人眼觀察或一傳送給儀器檢測(cè)的圖像。①不過，圖像在生成、傳輸或變換的過程中，受光源性能、成像系統(tǒng)性能和噪聲等諸多因素的影響，往往會(huì)出現(xiàn)清晰度下降、動(dòng)態(tài)范圍不足、包含噪聲等降低圖像質(zhì)量的現(xiàn)象。為了后續(xù)的處理和分析，往往需要進(jìn)行圖像復(fù)原或圖像增強(qiáng)的處理。②偏微分方程，線性濾波法和小波法都曾被用于圖像復(fù)原，其中偏微分方程還被用于圖像分析。圖像增強(qiáng)方法根據(jù)處理目的和效果又可分為平滑和銳化，圖像平滑主要目的是為了消除噪聲。一般來說，圖像的能量主要集中在其低頻部分，而圖像的噪聲、邊緣輪廓及局部細(xì)節(jié)主要取決于高頻部分。圖像平滑保持或加強(qiáng)了圖像中的低頻成分，削弱或消除圖像中的高頻成分，一個(gè)好的平滑算法在消除噪聲的同時(shí)，同時(shí)避免使圖像的邊緣輪廓和線條變得模糊。③

本文將通過偏微分方程法研究圖像處理，圖像處理可分為三個(gè)部分；圖像壓縮，圖像復(fù)原和圖像分析，這里做的研究涉及的是圖像復(fù)原。在實(shí)際中，當(dāng)做圖像處理時(shí)沒有原始圖像，基于偏微分方程的圖像平滑技術(shù)，需要計(jì)算機(jī)迭代的停止點(diǎn)，即在該點(diǎn)得到的圖像相比于原始圖像更清晰，且往后繼續(xù)迭代不會(huì)得到更清晰的圖像。

1 模型

在作圖像處理前，關(guān)于所用到的偏微分方程需要考慮以下幾點(diǎn)：（1）為偏微分方程提供一個(gè)好且穩(wěn)定的有限差分圖；（2）可得到迭代停止點(diǎn)；（3）依圖像運(yùn)用均勻和非均勻網(wǎng)格。

在接下來兩章中將逐個(gè)探討以上各點(diǎn)，考慮R中的有界區(qū)域€%R，帶有光滑邊界□€%R。

將信號(hào)定義為一個(gè)隨時(shí)間和空間變動(dòng)的量，并運(yùn)用模擬信號(hào)的樣本，具體步驟如下：（1）離散化，將連續(xù)模型變?yōu)殡x散的等價(jià)式；（2）量化， 將輸入值得大集合映射到相對(duì)小的集合。

本文將僅用數(shù)字信號(hào)，跳過模擬信號(hào)的數(shù)字化過程，目標(biāo)是舉一個(gè)跳躍間斷的例子，主要著眼點(diǎn)是去除信號(hào)中的噪聲，噪聲去除的過程將通過偏微分方程方法。

由于不考慮圖像的形狀，圖像的平滑結(jié)果等價(jià)于傳導(dǎo)系數(shù)為常量的熱擴(kuò)散方程 = ，其中是一個(gè)常數(shù)，7而表示某一數(shù)字信號(hào)。通過運(yùn)用熱方程的一維形式將上述信號(hào)中的噪聲去除，需要有限差分格式的緊性，穩(wěn)定性和一致性，關(guān)于緊性可以運(yùn)用如下定理。

定理：Lax等價(jià)定理 一個(gè)適定的線性初值問題的一致二階差分格式是緊的當(dāng)且僅當(dāng)其是穩(wěn)定的。④

研究如何將偏微分方程運(yùn)用到去除信號(hào)中的噪聲，是熱力學(xué)擴(kuò)散常數(shù)，考慮 =1的情形，熱方程的光滑能力表現(xiàn)只有滿足有限差分格式的的穩(wěn)定性。

2 方法

為了簡化計(jì)算，將時(shí)間和空間均勻離散化，定義： = （€HU， €HU），由導(dǎo)數(shù)的定義，如果足夠光滑，那么其在點(diǎn)附近可近似為≈ + （）

基于錯(cuò)誤項(xiàng)分解為傅立葉級(jí)數(shù)的黎曼穩(wěn)定性分析，要滿足此數(shù)值方法的緊性只需≤說明此有限差分格式是條件穩(wěn)定的。以此種模式迭代，迭代次數(shù)越多其解u越光滑，不過與原始相差也就越遠(yuǎn)。

去除信號(hào)中的噪聲作為數(shù)字信號(hào)處理的一種形式，除了顯式歐拉法也可以運(yùn)用其他方法如隱法及C-N法去解熱方程。⑤之后的研究會(huì)嘗試用其他方法解方程，所得的結(jié)果將與顯式方法的比較看哪種所得的結(jié)果更好?；仡櫧Y(jié)論熱方程會(huì)使信號(hào)快速光滑，因此即使運(yùn)用更好的數(shù)值方法去解熱方程，信息的細(xì)微部分可能丟失。這意味著隱式歐拉法相比較于顯式歐拉法可能更好，因?yàn)楹笳叩挠?jì)算時(shí)間往往更長。將x方向非均勻離散化是很必要的，特別是涉及不連續(xù)的時(shí)候。然而，當(dāng)用到比顯式歐拉法更穩(wěn)定的數(shù)值方法，整體去除噪聲過程的計(jì)算成本可能不會(huì)增加。

在去除噪聲的過程用P-M 方程也比較有效，不過與熱擴(kuò)散方程比較哪種方法更好，取決于具體的參數(shù)值。如果 = 0，P-M 方程和熱方程差不多。當(dāng)>0.25，P-M 方程在去除噪聲的最初階段，去除噪聲很慢或者沒有什么變化，迭代時(shí)間足夠長才能使信號(hào)光滑。信息的不連續(xù)可能是因?yàn)樵肼?，也可能是信息局部?xì)化的結(jié)果，P-M 方程的作用類似局部平均過濾器，即將不連續(xù)區(qū)域化并使得它們不變，但局部快速交替的信號(hào)將被光滑些，此光滑過程沒有熱方程那么快。為了處理快速交替信號(hào)和不連續(xù)信號(hào)，選擇非均等的€%=x可能會(huì)更好。這意味著在用顯式歐拉法時(shí)，在每個(gè)時(shí)間步段需要考慮穩(wěn)定性，這是因?yàn)樵诿總€(gè)時(shí)間步段€HU可能改變使得>，為了避免這種情況可以運(yùn)用其他非條件穩(wěn)定的有限差分法，在此方面熱擴(kuò)散方程和P-M 方程差不多。

基金項(xiàng)目：江西科技學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目“熱方程的理論研究及應(yīng)用”（ZR12YB15）

注釋

① Bichsel， M.， and Pentland， A.， “Topolgical Matching for Human Face Recognition”， M.I.T. Media Laboratory Vision and Modeling Group Technical Report No.186， Jan. 1992.

② Kanade， T.， “Picture Processing by computer complex and recognition of human face ”， Tech. Report， Kyoto University， Dept. of Information Science， 1973.

③ Milan， V. Halavac， R.Boyle， Image Processing， Analysis， and Machine Vision International Student Edition， Cengage Learning，

④ J.W.Thomas，Numerical Partial Differential Equations： Finite Difference Methods Text in Applied Mathematics 22.， Springer-Verlag， ISBN： 0-387-97999-9，1995.

⑤ James S. Walker， A Primer On WAVELETS and Their Scientific Applications， 2008 Second Edition， ISBN：1-58488-745-1.