關(guān)于定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中積累問(wèn)題的應(yīng)用

摘 要 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，本文通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 定積分 經(jīng)濟(jì)學(xué) 積累問(wèn)題

中圖分類號(hào)：F224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

About the Application of Definite Integral

Accumulated Problems in the Economics

CHEN Kun， LIU Yating

（Department of Mathematics， Xingyi Normal University for Nationalities， Xingyi， Guizhou 562400）

Abstract Definite integral has been widely applied in economics， the paper through a few examples to talk about definite integrals' simple applications in economics.

Key words definite integral； economics； long-standing and deep-seated prolems

定積分是微積分學(xué)的重要組成部分，同時(shí)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有很多直接的應(yīng)用，本文將運(yùn)用定積分知識(shí)分析和解決某些經(jīng)濟(jì)學(xué)中的積累問(wèn)題。

1 利用定積分求消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余

經(jīng)濟(jì)學(xué)中定義消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者消費(fèi)某種商品所獲得的凈收益，消費(fèi)者在購(gòu)買商品是有愿意付出的貨幣總額，還有一實(shí)際付出的貨幣總額，在一般情況下，消費(fèi)者愿意付出的貨幣總額大于實(shí)際付出的貨幣總額，其間形成一個(gè)差額，這就是消費(fèi)者剩余，用定積分的形式表示就是

（）

其中 （）表示消費(fèi)者為每一個(gè)單元商品所愿支付的最高邊際價(jià)格，當(dāng)價(jià)格為時(shí)，消費(fèi)者共購(gòu)買了單元的商品。

同樣在經(jīng)濟(jì)學(xué)中定義企業(yè)從生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中得到的凈收益為生產(chǎn)剩余，用定積分的形式表示就是：

（）

其中（）表示廠家的邊際成本函數(shù)，當(dāng)價(jià)格為時(shí)，消費(fèi)者共購(gòu)買了單元的商品。

例1.已知壟斷廠商的邊際成本函數(shù)為 = 10 + ，市場(chǎng)的逆需求曲線為 （）= 40，求市場(chǎng)均衡時(shí)的消費(fèi)者剩余和壟斷廠家的生產(chǎn)剩余。

解：壟斷廠商收入函數(shù)為（）= （）· = 400，由此得邊際收益為 = = 403，再由壟斷廠商的利潤(rùn)最大化的一階條件，解得市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡產(chǎn)量分別為 = 31， = 3，這樣求得消費(fèi)者剩余為：

= （） = （40）31 €？3 = 18

生產(chǎn)者剩余為：

= （） = 31 €？3 （10 + ） = 58.5

2 利用定積分求邊際函數(shù)和總函數(shù)

給定一個(gè)總函數(shù)，取微分則會(huì)得到該函數(shù)的邊際函數(shù)，由于積分過(guò)程與微分過(guò)程互逆，所以我們可以從已知的邊際函數(shù)和初值條件導(dǎo)出原函數(shù)，即：

（） = （） + （）

這一方法廣泛運(yùn)用于總成本函數(shù)與邊際成本，總收益函數(shù)與邊際收益函數(shù)，總儲(chǔ)蓄與邊際儲(chǔ)蓄等函數(shù)的計(jì)算。

例2.已知邊際成本為= 7 + ，固定成本為1000，求總成本函數(shù)。

解：= + = 1000 + （7 + ） = 1000 + 7 + 50

3 利用定積分由變化率求總量函數(shù)

如果求總函數(shù)在某個(gè)范圍的該變量，則直接采用定積分來(lái)解決。

例3.已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為 = 40 + 12，求從第5天到第10天產(chǎn)品的總產(chǎn)量。

解：所求得總產(chǎn)量為：

= = （20 + 12） = = （400 + 600）（200 + 150） = 650

4 利用定積分求收益流的現(xiàn)值與將來(lái)值

若以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息，現(xiàn)將個(gè)單位的資金存入銀行，七年后的價(jià)值（將來(lái)值）。

=

若年后得到個(gè)單位的資金，則現(xiàn)在需要存入銀行的金額（現(xiàn)值）。

=

若一筆收益流的收益量為，則從現(xiàn)在開(kāi)始（ = 0）到年后這一時(shí)間段（以年連續(xù)復(fù)利計(jì)息）。

收益流的現(xiàn)值 =

收益流的將來(lái)值 =

例4.設(shè)一收益流的收益流量為10萬(wàn)元/年，在10年這一時(shí)間段的現(xiàn)值為80萬(wàn)元，若以年連續(xù)復(fù)利率計(jì)息。

（1） 求。 （下轉(zhuǎn)第220頁(yè)）（上接第217頁(yè)）

（2） 求收益流的將來(lái)值。

解：（1）依題意10 = 80，即：（） = 80

解得≈0.04。

（2）求收益流的將來(lái)值。

10 = 10 = 250（） （萬(wàn)元）。

從以上幾個(gè)例子我們可以看出：定積分的計(jì)算是經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的計(jì)算方法，在很多實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 趙勝民.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2011.