研究型教學(xué)探討有限元法處理兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

摘 要 本文介紹偏微分方程數(shù)值解法課程的教學(xué)內(nèi)容和一些體會(huì)，通過(guò)一個(gè)具體例題詳實(shí)地講解有限元法理論基礎(chǔ)與編程實(shí)現(xiàn)的過(guò)程，利用理論闡述和研究展示，從理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)兩方面講解有限元法數(shù)值解的穩(wěn)定性和收斂性，進(jìn)而通過(guò)數(shù)值分析達(dá)到研究型教學(xué)的良好效果。

關(guān)鍵詞 研究型教學(xué) 偏微分方程 有限元法 實(shí)例演示

中圖分類(lèi)號(hào)：TU311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Research Teaching to Discuss FEM Treatment Boundary Value Problems

JIANG Shan

（School of Mathematical Sciences， Yangzhou University， Yangzhou， Jiangsu 225002）

Abstract This article describes the numerical solution of partial differential equations course content and some experience， through a detailed and specific example to explain the theoretical basis of the finite element method and the programming process， the use of theoretical explanations and research shows， from the theoretical analysis and numerical experiments both to explain the limited element method for the numerical solution of the stability and convergence， and then through research teaching numerical analysis to achieve good results.

Key words research teaching； partial differential equations； finite element method； examples presentation

0 引言

《偏微分方程數(shù)值解法》①②主要介紹求解偏微分方程的有限元法③④與有限差分法兩大體系。通過(guò)學(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)值解法，循序漸進(jìn)地掌握其基本思路和技巧，加深對(duì)數(shù)值解的重要性和必要性的認(rèn)識(shí)，了解如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解偏微分方程定解問(wèn)題，培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為今后在專(zhuān)業(yè)工作中應(yīng)用科學(xué)計(jì)算這一重要研究手段打下基礎(chǔ)。⑤⑥⑦⑧

數(shù)值解法的兩大體系中，有限元法先將原微分方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)題（可利用極小位能原理或虛功原理實(shí)現(xiàn)之），進(jìn)而對(duì)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分選取等參仿射基函數(shù)構(gòu)造有限元空間，最后形成總剛度矩陣方程組并求解之。整個(gè)過(guò)程理論基礎(chǔ)詳實(shí)，過(guò)程系統(tǒng)規(guī)范，便于程序化實(shí)現(xiàn)，但本科生普遍感覺(jué)有難度。相對(duì)而言，有限差分法直接從原問(wèn)題的微分形式出發(fā)，用數(shù)值微商公式構(gòu)造相應(yīng)的差分格式，導(dǎo)出離散化線(xiàn)性代數(shù)方程組并求解之。有限差分法大部分本科生感覺(jué)更易理解和掌握。

作者在實(shí)際親歷教學(xué)過(guò)程中，感受到高等院校大學(xué)生一方面對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)烈興趣，另一方面因受限于知識(shí)基礎(chǔ)與動(dòng)手編程能力，往往造成學(xué)習(xí)興趣高而學(xué)習(xí)效果不佳。這里，作者以一維邊值問(wèn)題采用有限元法為具體例子入手，通過(guò)課堂講解和實(shí)驗(yàn)編程，突出體現(xiàn)有限元法的理論學(xué)習(xí)和編程運(yùn)行，并在教學(xué)和實(shí)踐環(huán)節(jié)取得很好的教學(xué)效果。

1 兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的手工計(jì)算與數(shù)值編程

例.用線(xiàn)性元求邊值問(wèn)題：，分別通過(guò)手工計(jì)算（取剖分?jǐn)?shù) = 2）與計(jì)算機(jī)編程（取更大剖分?jǐn)?shù)）求問(wèn)題的數(shù)值解。（該題真解為（）= ）

解：該問(wèn)題邊界點(diǎn) = 0， = 1，右端 = 2，

可知其對(duì)應(yīng)的雙線(xiàn)性形式為（）= [ + ]。

初始取等距部分?jǐn)?shù) = 2，則步長(zhǎng) = （）/ 2 = 0.5，可形成簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)剖分結(jié)點(diǎn)0 = << = 1，

構(gòu)造山形基函數(shù)：

利用仿射變換 = €H！ = + €H！ = ，

（ ，） = ， = 1，2。即

其中（ ，）= [ + ] + [ + ]

= [（ ）2 + ] + [（ ）2 + ]

= （ + ） + [ + ]

= 4 + ≈4.8225

（ ，）= （ ，） = [ + ]

= [ + ] = ≈1.7944

（下轉(zhuǎn)第224頁(yè)）（上接第218頁(yè)）

（ ，） = [ + ] = （ + ）·

= + 2≈2.4112

而右端

= +

= （ + ）·· + （ + ）··

= （）≈0.6715，

= = （ + ）··

= （）≈0.4748，

由題已知左邊值條件 = 0，對(duì)應(yīng)的二階方程組為

，故當(dāng)網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù) = 2時(shí)，其有限元解誤差的范數(shù) = = 1.262 €？，此時(shí)精度很粗糙。

表1 隨著網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)的增加，有限元法求解的誤差的范數(shù)值越來(lái)越小，說(shuō)明數(shù)值解的收斂性

使用相同的有限元數(shù)學(xué)原理，取更大的網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)會(huì)產(chǎn)生更大的運(yùn)算量和線(xiàn)性代數(shù)方程組。利用高級(jí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程可得表1，可見(jiàn)隨著網(wǎng)格剖分的不斷增大，誤差的范數(shù)值越來(lái)越小，充分說(shuō)明對(duì)于該光滑解的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，使用有限元法的有效性和收斂性。

2 結(jié)束語(yǔ)

作者在課堂理論課與上機(jī)實(shí)踐課的基礎(chǔ)上，利用揚(yáng)州大學(xué)研究型教學(xué)平臺(tái)，給學(xué)生詳細(xì)講解演示具體例題的求解、編程技巧，將繁雜重復(fù)的數(shù)值計(jì)算交給計(jì)算機(jī)編程去處理。通過(guò)分析數(shù)值結(jié)果與Matlab畫(huà)圖充分說(shuō)明了有限元法處理相關(guān)偏微分方程問(wèn)題的穩(wěn)定性與收斂性，培養(yǎng)和鍛煉了授課學(xué)生的理論水平和實(shí)踐能力，同時(shí)取得了很好的教學(xué)效果，作者獲得揚(yáng)州大學(xué)最受學(xué)生歡迎的任課教師和優(yōu)秀教學(xué)獎(jiǎng)。

注釋

① 李榮華.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京：高等教育出版社，2005.

② 陸金甫，關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

③ Brenner S. C.， Scott L. R.， The Mathematical Theory of Finite Element Methods[M]， 北京：世界圖書(shū)出版公司，2008.

④ 李亞智，趙美英，萬(wàn)小朋.有限元法基礎(chǔ)與程序設(shè)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

⑤ 王彩華，王同科，拋物型方程非齊次邊值問(wèn)題的推廣型LOD有限差分及有限元格式[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006（28）：138-150.

⑥ 袁駟，林永靜.二階非自伴兩點(diǎn)邊值問(wèn)題Galerkin有限元后處理超收斂解答計(jì)算的EEP法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2007（24）：142-147.

⑦ 李秀英，常迎香，褚衍東，李險(xiǎn)峰.用Matlab求泊松方程數(shù)值解的有限元法[J].重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（21）：112-114.

⑧ 譚華.一類(lèi)偏微分方程的有限元解法[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011（47）：129-130.