談談數形結合思想

“數”與“形”是數學的基本研究對象，它們之間存在著對立統一的辯證關系.所謂數，指的是數學問題的代數含義，而形則指的是數學問題的幾何意義.那么數形結合，就是在解決代數問題時，揭示出隱含在它內部的幾何背景，啟發思維，找到解題途徑；或者在研究幾何圖形時，注意從代數的角度，通過數量關系的研究解決問題. 因此在解決某些問題中，利用數形結合的思想，可以減少某些計算過程的麻煩，提高我們的解題速度和解題能力.就像華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”

數形結合思想是解答數學問題的一種常用方法與技巧，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質.通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可以培養思維的靈活性，形象性，使問題化難為易，化抽象為具體.數形結合的思想方法將抽象的代數問題給以形象化的原型，訓練人們思維形象化的思維品質；將復雜的代數問題賦予靈活變通的形式，從而給人們思維靈活性的思維遷移訓練，這正是反映了數形結合的思想方法解決數形之間問題的有效途徑所在.

另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.特別是在解答選擇、填空題時發揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度.

數形結合的應用主要有兩種情形：

（1）借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，如應用曲線的方程可以精確地闡明曲線的幾何性質，應用數字可以表示平面圖形的大小；

（2）借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系，如一些函數的最值問題、值域問題，不等式中比較大小問題等都可以用圖形解決.

應用數形結合解題時應注意的一些問題：

（1）注意數與形轉化的等價性，將陌生的復雜的數學問題轉化為簡單、熟知的數學問題，一定要注意轉化前后的問題是等價的.

（2）注意利用“數”的精確性，一些判斷公共點個數的問題，轉化為圖形后一定要“數”精確才能得出正確結論.

（3）注意圖形的全面性.有些數學問題所對應的圖形不唯一，就必須根據不同的情況作出相應的圖形再進行討論求解.

（4）注意圖形的實效性.數形結合對某些問題來說，在一定的條件下可以使用該方法，但一旦條件發生變化，就有可能不在適用了.

下面，我們通過幾個具體例題詳加說明.

一、在集合問題中的應用

通過以上例題的分析可以看出，數形結合思想是我們解題過程中進行的一種行之有效的方法.它能使抽象問題直觀化，復雜問題簡單話.容易讓考生接受，而應用此方法解題，往往能起到事半功倍的效果，并能很好地開拓考生的思維視野，培養考生的發散思維能力和創造性思維能力.

（作者單位：北京市第十二中學）

責任編校 徐國堅