Black—Scholes模型及其在新型期權定價中的應用

【摘要】雖然Black-Scholes模型成功解決了在有效市場下的期權定價問題，但由于它是在一定的假設條件下建立的，在實際的交易實施中，投資者會在得到一定的股票紅利同時忽視了交易成本。Black-Scholes模型是近年來在期權定價方面應用的重要模型之一，極大推動了期權市場的革命性變化。本文圍繞著Black-Scholes模型的期權定價，對其在新型期權定價中的應用進行了分析，并給出了一些自己的看法和建議。

【關鍵詞】Black-Scholes模型 期權定價 期權市場 歐式期權 美式期權

一、Black-Scholes模型基本原理

期權是為了套期保值而創造出來的一種金融衍生工具，在Black-Scholes模型中，理論上只要人們通過合理的手段選擇手中持有的證券和其衍生工具，就可以獲得套期保值并無風險收益。在Black-Scholes模型中，主要基于資產價格的運動服務產品組合從而消除了模型中的隨機變量，獲得了風險條件下的期權定價模型。在該模型下，主要存在以下幾個假設：第一，無風險利率r為常數，且對于任何到期日均為相同；第二，標的資產價格S服從對數正態分布；第三，在期權有效期內，無紅利支付；第四，在套期保值中無交易成本；第五，無套利機會，標的資產可以實現連續交易。

由于標的資產的價格=μS dt+σSdZ，由此可以得出S和t的函數G遵循測過程為：

在此S和G都受到同一個不確定性來源dz的影響。對此過程應用于標的資產價格的對數變化。

同時，由于期權都是其對應的標的資產和時間的代表函數，假設f是基于某種看漲期權或其他衍生的價格，那么，變量f一定是S和t的函數。因此，根據Ito引理就有：

在構造標的資產和對應期權的證券組合以期望消除在上述過程中的不確定性為d，根據以上公式，我們可以選擇證券組合為：賣空一份期和買入標的資產，并由此定義組合證券價值為：

則有：，次方程就消除隨機項目，又因風險中性假設為前提，使得證券組合的收益和它的短期無風險收益率相同。以上即為利用Black-Scholes模型進行期權定價的基本原理。

二、Black-Scholes期權定價模型分析

基本假設：首先，股票價格演化遵循幾何布朗運動，即dS =uSdt+RSdW，其中，u為預期的收益率，r為波動率，dW代表一個Eiener過程，其詳細的表達方式可以滿足正態分布；其次，無風險利率r是常數，對所有到期日相同；同時，在有效期內股票部支付紅利；另外，不支付交易費用和稅收，所有證券都是高度可分的；市場連續運行，賣空沒有限制，也不存在套利機會。

假設S為股票價格，K為期權的執行價格，T為期權的到期時間，t則表示當前時間，V表示期權價格，而V=V（S，t），因此，對建立相應的連續模型構成投資組合，形成原生資源的份額，即構成期權定價的Black-Scholes模型

三、Black-Scholes模型在新型期權定價中的應用

（一）基于Black-Scholes模型的期權定價案例分析

通過對Black-Scholes模型的運用，根據其基本原理確定歐式期權的價值，下面就股票的標的資產和期限為一年有效期權為例進行說明。假設某股票現行市場價格為50元，期權確定的價格為47元，通過上文中的估計，得知標的資產價格的波動率為30%，作為無風險利率，即5%，有此分別對期權的看漲和看跌進行價格估算，根據正態分布表，則有：

對于美式期權在到期日之前的行權，涉及到美式期權內在價值和提前行權所獲得的收益比較，這就要求通過對每一時間段的美式期權進行方程定價，比較出美式期權的定價。

（二）Black—Scholes模型的應用對我國期權市場的啟示

Black—Scholes模型是衍生證券定價工作精準性和主動性發展進步的標志，主要是在風險中條件下構成的資產證券組合，消除標的資產的隨機影響因素，并根據歐式邊界條件進行歐式看漲和看跌的價格比較，以此來確定其內在價值的大小。

隨著我國證券市場經濟的不斷發展，為了獲得更加準確的衍生證券價格，就必須逐漸形成無風險的利率，這是至關重要的環節，通過對Black—Scholes模型的應用，對我國當前股票市場的各種衍生證券進行精準的定價，才能真正推動我國資產市場的發展和進步。

四、結束語

Black-Scholes模型在資本市場下解決了期權定價問題，同時也給投資者帶來了新的困擾，在Black—Scholes模型的實際應用中，加強對美式和歐式看漲、看跌的演技和分析，把握證券衍生價格，并對交易成本在考慮支付的情況下進行定價模型的研究，對推動我國市場經濟發展具有重要意義。隨著我國資本市場的不斷完善，相信Black-Scholes模型在證券期權定價中將會得到更好的應用和發展。

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（編輯：龍大為）