從規(guī)律發(fā)現(xiàn)走向模型建構(gòu)

“找規(guī)律”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容的一部分，是相對于傳統(tǒng)教材而新增設(shè)的內(nèi)容之一，也是數(shù)學(xué)課程改革的一個新變化。近年來，針對蘇教版“找規(guī)律”主題的各級教研活動頻頻開展。一方面，是因為作為新增內(nèi)容，在教材把握上不夠到位。另一方面，是因為實際的教學(xué)過程中的練習(xí)要求過高、開發(fā)過度。面對“教師難教、學(xué)生難學(xué)、評價難測”的現(xiàn)實問題，我們需要思考的是“找規(guī)律”的教學(xué)目標(biāo)究竟應(yīng)該如何把握？“找規(guī)律”的教學(xué)策略究竟應(yīng)該如何確定？

一、特性解析：從雙基到四基

“找規(guī)律”是蘇教版教材的一個亮點。“找規(guī)律”內(nèi)容的教學(xué)編排，體現(xiàn)了以下三方面的特性。

1.普遍存在性。所謂規(guī)律就是一切事物現(xiàn)象之間固有的本質(zhì)的必然的聯(lián)系。晝夜交替四季輪回，潮汐漲落周而復(fù)始。產(chǎn)生這些永恒不變的原因便是自然規(guī)律。而在數(shù)學(xué)世界中，各種數(shù)學(xué)元素之間也存在著相互的聯(lián)系。

2.可認(rèn)知性。隨著那些永恒不變的物質(zhì)或現(xiàn)象時刻反映到人們的頭腦里來的時候，人們對規(guī)律便由開始的感性認(rèn)識發(fā)展到理性認(rèn)識。找規(guī)律是人類認(rèn)識和把握客觀世界的重要手段。

3.可探索性。數(shù)學(xué)教學(xué)正從加強“雙基”逐步變成重視“四基”。學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認(rèn)真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。而“找規(guī)律”的教學(xué)，以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)為主要方式，以觀察、操作、畫圖、實驗、猜測、驗證等為主要學(xué)習(xí)活動，重視學(xué)生的經(jīng)歷、體驗、發(fā)現(xiàn)、概括、歸納的過程。

二、策略構(gòu)建：從現(xiàn)象到本質(zhì)

數(shù)學(xué)模型是針對某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語言，概括地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而規(guī)律反映的是在動態(tài)變化過程中變量與變量之間始終存在一種普遍、穩(wěn)固、必然的聯(lián)系，這種函數(shù)關(guān)系就是數(shù)學(xué)模型。事物的規(guī)律是客觀存在的，又往往是隱含并可以發(fā)現(xiàn)的。只有對十分豐富的現(xiàn)象進行深入的分析，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，才能認(rèn)識規(guī)律。

學(xué)生探索規(guī)律能力的提高不是簡單地體現(xiàn)在知道規(guī)律“是什么”，還需要解決“為什么”和“怎么樣”的問題。找規(guī)律教學(xué)的價值取向，不應(yīng)僅僅定位于形成結(jié)構(gòu)、應(yīng)用模型，而應(yīng)更為重視建立模型過程中所獲得的數(shù)學(xué)思想方法、所累積的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

三、案例解讀：從認(rèn)識到領(lǐng)悟

下面以蘇教版五年級下冊“探索圖形覆蓋中的規(guī)律”為例談一談?wù)乙?guī)律教學(xué)策略的構(gòu)建。

1.體會聯(lián)系：直面問題的數(shù)學(xué)特征

在“找規(guī)律”教學(xué)中，問題情境是基礎(chǔ)，自主探究是重點，思維提升是歸宿。問題情境是“找規(guī)律”教學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活環(huán)境，從學(xué)生的經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的情境，使學(xué)生通過觀察、操作、類比、猜測、交流、反思等活動，獲得基本的數(shù)學(xué)知識和技能，進一步發(fā)展思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

因此，在編排找規(guī)律教材時，每個單元都安排兩個例題。例1著重認(rèn)識規(guī)律，例2著重應(yīng)用規(guī)律。例1在典型情境中探索規(guī)律，例2在變化情境里探索規(guī)律。對教材深入解讀之后，就可以借助教材的情景引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)化的觀察，當(dāng)然也可以根據(jù)教材例題進行適度加工、改造形成更貼合于學(xué)生生活實際的情境，引導(dǎo)學(xué)生進入觀察狀態(tài)。

“探索圖形覆蓋中的規(guī)律”一課中教材提供的情境是1-10這十個數(shù)組成的數(shù)條，每次框出兩個數(shù)，一共能框出多少個不同的和。基于對教材例題的教學(xué)目標(biāo)的理解：即學(xué)生在“求和”時，感受到“和”的個數(shù)就是紅框的“位置”個數(shù)；學(xué)生體會依次“求和”時，紅框在依次平移。于是利用“圖形平移”解決問題；學(xué)生研究“圖形平移”中的數(shù)量關(guān)系，得出求“覆蓋位置個數(shù)”的數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)設(shè)計中可以進行目標(biāo)指向一致但情境相異的設(shè)計，如：10月1日到7日中進行兩日游，有多少種不同的方法？或者62天的暑假中兩日游有多少種不同的方法？也可選擇學(xué)生喜聞樂見的羊羊運動會入場券進行情境設(shè)計，從100張連號入場券中拿兩張連號的券，一共有多少種不同的拿法？

從100張中選擇兩張連號的券，因為數(shù)據(jù)比較大、規(guī)律不明顯，大部分學(xué)生都很難找到券的總數(shù)與每次拿的張數(shù)之間的聯(lián)系。因為學(xué)生已經(jīng)具有“面對復(fù)雜問題，從簡單想起的策略”，因此很容易地想到能不能先考慮總數(shù)是10張，從10張券中拿兩張，有多少種不同的拿法？并在此基礎(chǔ)上進一步探尋規(guī)律。

而在探尋這10張券中拿2張連號的券的不同拿法的過程中，學(xué)生通過寫一寫、連一連、圈一圈、框一框等不同的方式，體會到券的總張數(shù)與每次框的個數(shù)之間是存在聯(lián)系的。教師通過“每次框幾個數(shù)？一共平移了幾次？一共有10個數(shù)，為什么只要平移8次？一共有多少種不同的拿法？平移8次，為什么一共的拿法有9種？”的追問形式，引導(dǎo)學(xué)生初步體會現(xiàn)象背后的必然本質(zhì)聯(lián)系。

2.體驗過程：直擊現(xiàn)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)

“找規(guī)律”的教學(xué)難點在于如何讓學(xué)生從直觀的解決問題去感悟其中抽象的數(shù)學(xué)思想方法。解決這個難點的關(guān)鍵就是讓學(xué)生主動參與，因為如果沒有主動參與就不可能對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生體驗；沒有了體驗，那數(shù)學(xué)思想方法的滲透只能是一句空話。因此教師應(yīng)該讓學(xué)生參與教學(xué)實踐活動，充分發(fā)揮他們的主體作用。在動腦、動手、動口的過程中領(lǐng)悟體驗數(shù)學(xué)思想方法的形成，揭示其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，并逐步掌握運用。

在這一環(huán)節(jié)，變中感悟不變是學(xué)生操作的重要目標(biāo)。在教學(xué)時，需要教師引導(dǎo)學(xué)生把操作與思考結(jié)合起來，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的方法和策略。券的總張數(shù)是一個變量，每次框的個數(shù)是另一個變量，這兩個變量之間究竟存在著怎樣的關(guān)系？在每一位學(xué)生都有了數(shù)次的操作經(jīng)驗后，交流分層次展開。第一層次是兩組上臺平移操作并匯報數(shù)據(jù)。第二層次是兩組上臺說總數(shù)、平移次數(shù)，其他學(xué)生利用操作的經(jīng)驗，大膽猜想，運用直覺思維作出判斷。可以再次借助平移的操作驗證猜想，培養(yǎng)了學(xué)生合情猜想的能力。學(xué)生在操作中積累感性經(jīng)驗，在交流中感知有序思考以及用平移的方法解決問題的優(yōu)越，學(xué)生形成了豐富的動作思維，并在猜測與驗證的活動中豐富了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗。

3.體悟關(guān)系：直達(dá)抽象的數(shù)學(xué)模型

表象的建立有助于更快地擺脫具體事物的束縛，向抽象思維過渡。因此，教者可以設(shè)疑：如果總數(shù)是18張，每次框出6張，一共有多少種不同的拿法？不操作，能保證猜對嗎？并采訪學(xué)生，你是怎樣想的？在這里，對于不同層次的學(xué)生，雖然都能猜中，但思維的水平層次是有高低的。通過交流，一方面可以豐富學(xué)生解決問題的策略，另一方面，也可以推進策略的優(yōu)化。有的學(xué)生是僅通過觀察數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)的變化中尋求出不變的關(guān)系的；有的學(xué)生是在頭腦里多次移動方框，在平移中發(fā)現(xiàn)“平移的次數(shù)=總數(shù)-每次框的個數(shù)”；而有的同學(xué)是在頭腦中僅僅放置一次方框，就能理性思考，方框外面有幾個數(shù)就要平移幾次，操作活動真正內(nèi)化，并建立起清晰鮮明的表象。這樣的交流，揭示了數(shù)學(xué)直覺背后所隱藏的本質(zhì)聯(lián)系。為學(xué)生從動作思維上升到表象思維，進而提升到抽象思維提供了很好的支撐。而抽象化的“如果在a張券中拿b張連號的券，一共有多少種不同的拿法？”就為學(xué)生擺脫形象的拐杖、擺脫表象的依托，提供了必要的可能性。從而水到渠成地揭示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：“總數(shù)-每次框的個數(shù)+1=一共的拿法。”

這樣的一種函數(shù)關(guān)系，在變量與變量之間建構(gòu)出了一種穩(wěn)定的不變的聯(lián)系，就是一種數(shù)學(xué)模型。在建立模型的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了小步實驗，經(jīng)歷了變量列舉，經(jīng)歷了觀察比較，經(jīng)歷了猜想驗證，同時也經(jīng)歷了感性發(fā)現(xiàn)與理性思考。不僅找到了規(guī)律，而且知道了規(guī)律存在的原因、規(guī)律存在的必然性。

建好模型，還需靈活應(yīng)用模型。學(xué)生在具體情境中理解了算理，但學(xué)生思維不能僅僅停留模型的結(jié)構(gòu)上，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將不同的實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并運用模型解決問題的過程。用數(shù)學(xué)模型的眼光來觀察，用數(shù)學(xué)模型的語言來解釋，用數(shù)學(xué)模型的關(guān)系來推理。

在這一環(huán)節(jié)，教者可以設(shè)計多樣的問題情境來幫助學(xué)生深入理解模型，靈活運用模型。如設(shè)計綜合性較強的實際問題：喜羊羊和美羊羊到電影院觀看運動會專題片，電影院一排有8個座位，要讓喜羊羊和美羊羊兩個坐在一起，在同一排有多少種不同的坐法？同時出示對比題：改換條件“讓喜羊羊坐在美羊羊左邊”，有什么不同？從一字模型到封閉模型也可以幫助學(xué)生獲得思維的跨越式發(fā)展，在這里還可以設(shè)計拓展性練習(xí)：看完了開幕電影，他們進入運動場看臺觀看比賽。運動場的看臺是圓形的，一排有16個位置，美羊羊坐在喜羊羊左邊，在同一排有多少種不同的坐法？

著名心理學(xué)家維果茨基就教學(xué)與發(fā)展問題，創(chuàng)造性地提出了兩種發(fā)展水平的思想。第一種水平是現(xiàn)有發(fā)展水平（也稱現(xiàn)有發(fā)展區(qū)），第二種水平是最近發(fā)展水平（也稱最近發(fā)展區(qū)）。維果茨基強調(diào)，只有當(dāng)教學(xué)走在發(fā)展前面的時候，才是好的教學(xué)。因此，在運用模型階段，不能硬貼標(biāo)簽，不能死套公式，而要在豐富的、變化的情境中，為學(xué)生從生活問題中提取數(shù)學(xué)問題提供條件。

回顧找規(guī)律教學(xué)的過程，其實也存在一定的教學(xué)規(guī)律。需要教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷樸素的動手操作、豐富的表象思考、簡約的列式計算、抽象的數(shù)學(xué)模型的“找”的過程，在不同層次的“找”中，學(xué)生體會聯(lián)系、體驗過程、體悟關(guān)系，提升思維、提升能力。

（王嵐，常州市武進區(qū)清英外國語學(xué)校，213164）

責(zé)任編輯：趙赟