拉普拉斯變換求解常系數(shù)線性微分方程的初值問題

【摘 要】本文從線性微分方程的角度出發(fā)，給出利用拉普拉斯變換求解幾個(gè)典型微分方程的實(shí)例，此方法可使計(jì)算過程得以簡(jiǎn)化。

【關(guān)鍵詞】拉普拉斯變換；微分方程；電路

常系數(shù)線性微分方程是高等數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，它應(yīng)用非常廣泛，尤其是在物理應(yīng)用中經(jīng)常通過線性微分方程的模型來解決物理問題。微分方程求解往往又是解決問題的關(guān)鍵。而拉普拉斯變換是由一個(gè)函數(shù)到另一個(gè)函數(shù)的變換。其主要作用是簡(jiǎn)化解題手續(xù)，把微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，并能把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算過程、縮短了運(yùn)算時(shí)間。下面介紹用拉普拉斯變換實(shí)例求解常系數(shù)線性微分方程的過程。

一、拉普拉斯變換的概念

若L[f（t）]=F（p），且L[f（t）]存在，則L[f（t）]=pF（p）-f（0），將此性質(zhì)連續(xù)施用n次，則有L[f（n）（t）]=pnF（p）-pn-1f（0）-pn-2f（0）-……-f（n-1）（0），n=1，2，…利用拉式變換解常系數(shù)線性微分方程，先對(duì)方程兩邊取拉式變換，設(shè)L[y]=Y（p），得出關(guān)于Y（p）的代數(shù)方程，解此方程求出Y（p），再對(duì)Y（p）作拉式逆變換，即可求出微分方程的解。

例1：求微分方程y〃+4y=0滿足初始條件y（0）=-2，y′（0）=4的特解。

以上僅從數(shù)學(xué)問題和物理問題兩個(gè)方面的實(shí)例給出拉普拉斯變換求解微分方程的過程，像這樣的例子數(shù)不勝數(shù)?？萍硷w速發(fā)展的今天，應(yīng)用數(shù)學(xué)己滲透到生活中的方方面面，解決問題時(shí)采用某種捷徑方法，不僅能提高我們的工作效率，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中也能激發(fā)學(xué)生的研究興趣。

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[2]賀才興.復(fù)變函數(shù)與積分變換.遼寧大學(xué)出版社，2011.

（作者單位：紫瑯職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課教育部）