向量在平面幾何中的應(yīng)用

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 向量 平面幾何 運(yùn)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）10B-

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向量是高中數(shù)學(xué)不可缺少的內(nèi)容，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具。在平面幾何中，向量可以將很多問(wèn)題代數(shù)化、程序化，體現(xiàn)出數(shù)與形的完美結(jié)合，新課標(biāo)對(duì)向量知識(shí)的考查也充分體現(xiàn)了綜合運(yùn)用的特色。在幾何中，平面向量在處理長(zhǎng)度、距離、垂直、平行等問(wèn)題時(shí)占有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，運(yùn)用向量與數(shù)形的轉(zhuǎn)化，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算，降低某些題目的難度，向量方法在幾何中得到了廣泛的運(yùn)用。本文從證明直線平行、求夾角、證明直線垂直三個(gè)方面論述向量在平面幾何中的運(yùn)用。

一、用向量證明直線平行

直線平行的證明是平面幾何中經(jīng)常遇到的問(wèn)題之一，也是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。如果我們直接用平面幾何的知識(shí)來(lái)證明直線平行，思路繁雜，步驟繁瑣，向量卻可以幫助我們輕松快速地解決問(wèn)題。

用向量證明直線與直線平行的一般思路是：把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為向量平行（共線）的充要條件：a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），即只需證明a=λb即可。

【例1】 如圖1，若ABCD是平行四邊形，EF∥AB，AE與BF、DE與CF分別相交于N和M。求證：MN∥AD。

分析：學(xué)生遇到此類(lèi)題目時(shí)，通常會(huì)想到通過(guò)證明同位角相等來(lái)得出兩直線平行，但是，這一方法的思維過(guò)程復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生很難入手，無(wú)法解決問(wèn)題。我們可以嘗試用向量的方法證明：要證明MN∥AD，只要證明■=λ■（λ≠0）即可，而■= ■- ■，■= ■- ■，很容易得出：■=λ1■，■=λ2■，所以，只需要證明λ1等于λ2。至此，問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了，因?yàn)楹苋菀卓闯鯡F∥AB∥DC，且AB=DC，利用三角形相似的原理，很容易得出λ1=λ2。下面我們一起看解題過(guò)程：

證明：∵EF∥AB

∴△NEF∽△NAB

設(shè)■=λ′ ■（λ′≠1）

則■=λ′

∴■=■=λ′-1

∴■= ■（λ′-1）

同理，由于EF∥DC得■= ■（λ′-1）

■= ■- ■

=（λ′-1）■-（λ′-1）■

=（λ′-1）（ ■ - ■）

=（λ′-1）■

令λ=λ′-1，則■=λ■（λ≠0）

∴MN∥AD

從這道題目可以看出：運(yùn)用向量證明平面幾何中直線平行的問(wèn)題，只要找出所求線段或直線對(duì)應(yīng)的向量平行關(guān)系，證明a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），就可以運(yùn)用向量與數(shù)形的轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化運(yùn)算。反之，如果直接利用平面幾何知識(shí)證明直線兩兩平行，思維過(guò)程不僅過(guò)于復(fù)雜，而且很難找到突破口。因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)，應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握用向量證明直線平行的一般方法，使學(xué)生在遇到類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)能輕松應(yīng)對(duì)。

二、用向量求兩直線的夾角

求兩條直線的夾角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，求夾角的問(wèn)題可以利用向量的夾角公式：cosα=■，以?xún)芍本€的方向向量的夾角與兩直線夾角之間的關(guān)系為突破口，運(yùn)用向量的方法，推導(dǎo)得出兩直線夾角的余弦公式。對(duì)于求平面內(nèi)兩直線的夾角問(wèn)題，理論簡(jiǎn)單，方法也易于掌握，難點(diǎn)在于如何根據(jù)題意選取恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題。下面結(jié)合具體實(shí)例談?wù)勄蠼夥椒ǖ倪x擇。

【例2】如圖2所示，在△ABC中，已知AB=■，cosB=■，AC邊上的中線BD=■。求sinA的值。

分析：遇到求夾角的問(wèn)題，我們可以首先考慮cosα=■，而此題求sinA，我們只需求出cosA，根據(jù)公式sin2A+cos2A=1即可求得sinA。

解：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，■為x軸正向建立直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限。

如圖2，由sinB=■=

■=■

■=■cosB，■sinB=■，■

設(shè) ■=（x，0），則 ■=■，■

由條件得，

| ■|=■

從而有x1=2，x2=-■（舍去）

故 ■ = ■- ■=-■，■，于是有

cosA=■=■=

■=3■

∴sinA=■=■

教師在教學(xué)過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立這樣的意識(shí)，即要求一個(gè)夾角的大小，如果根據(jù)已知條件不可以很直觀地求出夾角的度數(shù)，則可以根據(jù)公式cosα=■，利用向量的性質(zhì)進(jìn)行求解。

三、用向量證明直線垂直

在幾何學(xué)中，兩條直線的垂直，主要分為平面內(nèi)兩條直線垂直和空間兩條直線垂直，而證明平面內(nèi)的兩條直線垂直一般有三種方法：平面幾何法、解析法、向量法。用向量法證明直線垂直，往往要用到向量垂直的充要條件：a⊥b■a·b=0（或x1x2+y1y2=0），解題時(shí)可從這個(gè)充要條件入手，轉(zhuǎn)換問(wèn)題使之簡(jiǎn)單化。

【例3】如圖3所示，O為△ABC的外心，E為三角形內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足■= ■+■+■。求證：■⊥■？郾

分析：這是平面幾何中最典型的證明垂直的問(wèn)題，如果使用平面幾何作輔助線的方法，比較麻煩，但如果用向量的方法，就截然不同了。要證明直線垂直，只需證明向量相乘等于0，即只需證明 ■·■=0而 ■= ■- ■， ■= ■- ■.又由題目可知： ■= ■+ ■+ ■，所以 ■= ■+ ■，又由外接圓的性質(zhì)得知 ■， ■的模相等，所以要證明這兩個(gè)向量垂直，只需將 ■， ■表示出來(lái)即可。

證明：∵ ■= ■- ■

=（ ■+ ■+ ■）-■

= ■+ ■

■= ■- ■

∴ ■· ■= （ ■+ ■）·（ ■- ■）

=| ■|2-| ■|2

∵O為外心，∴| ■|=| ■|

即 ■· ■=0， ■⊥■？郾

以上例子是平面幾何中最常見(jiàn)的直線或線段垂直的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般用幾何中垂直的相關(guān)判定定理進(jìn)行解答，學(xué)生在解答類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)可以從直線垂直的判定定理a⊥b■a·b=0（或x1x2+y1y2=0）入手思考，只要證明兩向量垂直，就可以得出對(duì)應(yīng)的兩條線段或直線垂直。

通過(guò)以上幾個(gè)例子我們可以得到用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的一般步驟：

1？郾建立平面幾何與向量之間的關(guān)系，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。

2？郾理清所要解答的幾何問(wèn)題與向量之間有什么聯(lián)系。

3？郾運(yùn)用向量進(jìn)行運(yùn)算。

4？郾把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

以上所論述的三個(gè)方面是向量在平面幾何中的主要應(yīng)用，廣大教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)這一知識(shí)及其應(yīng)用的掌握程度，多加練習(xí)，提高解題速度和解題能力。

（責(zé)編 易惠娟）