小題目，大境界

【關鍵詞】小題小做 小題不做

小題大做

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）10B-

0089-02

無論生活、還是學習中，只要留心，總是會有很多細節讓人受益匪淺。下面我介紹的這道題目，來自廈門市2013屆高三上期末質量檢查（數學文）試卷。

7？郾函數y=■，x∈（-π，0）∪（0，π）的圖象是（ ）

這是一位學習很勤奮的學生拿來向我請教的。在為她講解時，我首先從選擇題的特點入手，指導她如何準確快速地找出正確選項，提出“小題小做”的方法；接著，希望她能夠通過自己的努力，達到“小題不做”的境界。這兩種層次的講解，她都能夠很快理解。但這兩種方法都欠缺嚴謹性，只適用于選擇題。在繼續探討的過程中，我發現這道小題目蘊藏著更大的價值。

一、小題小做

此題作為選擇題出現，從應試技巧來說，應考慮如何用最快的速度得到正確答案。很顯然，特殊值是解答選擇題的一大利器。

如利用最常見的特殊值±1，從f（±1）=sin1∈■，■，排除答案B和C，再從題目特點出發，選擇兩個特殊值■、■，從其分子的值保持不變，而分母的值增大這個特點馬上可知，函數y=■在（0，π）上單調遞減的性質，從而確定答案A正確。如果思維再放開一點，利用該函數實際在x=π有意義這點，從而擺脫原函數定義域的范圍限制，通過計算f（π）=0，可以更快地確定答案。

二、小題不做

首先要說明的是，這里所指的不做，指的是不一定非得拿起筆來進行推演，而是只需要把題目和與其相關的知識點聯系起來，只在腦中思考而迅速解決問題。這道題，從四個選項的圖形的特點來看，很顯然是兩種對稱方式：關于原點對稱或關于y軸對稱，分別對應奇函數和偶函數的圖象特征。而從函數的解析式來看，不論是從奇偶函數的定義出發，還是奇、偶函數的運算性質來看，都很容易得到此函數為偶函數，從而確定答案為選項A、D中的一個。再觀察A、D這兩個選項的特點，從區間（0，π）來看，單調性特點很明確：A圖象單調遞減，B圖象單調遞增。而原函數的分子對應的函數在區間0，■和■，π上單調性上截然不同，特別是在■，π單調遞減；而分母對應的函數y=x在（0，π）單調遞增，可知原函數y=■在（0，π）應該單調遞減。如果能夠考慮到這一點，則不用動筆就能確定答案為A。

三、小題大做

此題如果作為一道選擇題，以上兩種做法貌似相當完美，但是如果從數學學科的特點出發，我們總是會忍不住思考，該如何完整地證明其單調性呢？至少也應該證明f（x）=■在區間（0，π）上的單調性。對高中生來說，只有兩條途徑：一是利用函數單調性的定義，二是利用導數這一利器。很顯然，利用函數單調性的定義證明其在（0，π）上的單調性，并非很好的選擇。下面從導數出發加以證明：

證明：∵f（x）=■，x∈（0，π）

∴f '（x）=■，x∈（0，π）

令g（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π）

則g '（x）=（xcosx-sinx） '=-xsinx，x∈（0，π）

顯然 ，x∈（0，π）時，總有g '（x）<0成立。

所以，g（x）=xcosx-sinx在（0，π）單調遞減。

有g（x）max

從而x∈（0，π），f '（x）=■<0成立

可知，函數f （x）=■在（0，π）單調遞減。

由偶函數的性質，可知函數f （x）=■在（-π，0）單調遞增。

這道小題單調性的證明過程分別利用了構造函數、二次求導，特別是在無法判斷一階導數的正負時，通過對構造函數進行二次求導來判斷一階導數的正負，從而判斷原函數的單調性的方法，對大部分基礎較差的同學來說，是導數的學習中一座難以逾越的高山。很多同學一聽到構造函數、二次求導等名詞就心生畏懼；加之這些題目往往出現在壓軸題中，學生缺乏信心，教師也苦于找不出一道難度適中的題目來引導學生入門。而本題恰恰提供了一個很好的例子，這對于提高學生的學習興趣，增強學習信心，有很大的幫助。

本題雖然是一道簡單的選擇題，可細細品味，卻能發掘其中包含的更深遠的價值。一方面它揭示了選擇題最典型的解法，如觀察法、特殊值法等，可大大提高答題效率，起到事半功倍之效。另一方面，從考查內容來看，這道簡單的選擇題，全面考查了函數的單調性、奇偶性以及函數的圖象等知識；從解答方法來看，特別是利用導數嚴格證明其單調性，對于學生站在更高的層次來學習和思考，運用導數解決函數問題，降低學習難度，都有著很大的價值。難能可貴的是，本題還有很強的預測性，2013年全國及各地的高考卷里都可以找到這道題目的影子。例如：福建文第5題？郾函數f（x）=ln（x2+1）的圖象大致是（ ）

此外，還有山東理第8題，四川理第7題等都是相同類型的題目。

正所謂，小題目，大境界。

（責編 易惠娟）