巧用動靜互化解動態問題

【關鍵詞】動靜互化 變靜為動 化動為靜

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）11B-

0086-02

“動態問題”是近年中考的熱點題型之一，如何解決動態問題是學生普遍感到棘手的問題。要想讓學生在遇到此類問題時不害怕、不畏縮，并能較為嫻熟地解答，筆者認為應做好兩方面的工作：一是在復習中強化這方面的訓練；二是在平時的教學中滲透“動靜互化”思想，在幫助學生解決問題的同時，激發學生的思維，拓展學生思維的空間，使學生獲得解決動態問題的一些策略和方法，長此以往，必能收到好的效果。下面結合例子談談筆者的幾點做法。

一、變靜為動，拓展思維

“變靜為動”不僅可以拓展學生的思維空間，而且能提高學生的應變能力，增強學生舉一反三、觸類旁通的能力。

【例1】 如圖1，兩同心圓間的圓環（即圓中陰影部分）的面積為16π，過小圓上任意一點P作大圓的弦AB，則PA·PB的值是（ ）

A.16 B.16π C.4 D.4π

本例是揚州市的一道中考題，命題者獨具匠心，讓人拍案叫絕。學生若能從運動變化的角度來思考，“變靜為動”，則易發現：當弦AB繞點P旋轉到A1B1（圖2中的A1B1為大圓的直徑）時，有PA·PB=PA1·PB1=（R-r）（R+r）=R2-r2=16，故選擇A。

本題也可以使弦AB繞點P旋轉到與小圓相切于點P的弦A2B2（如圖3）的位置上，連接OP，OA2，則有PA·PB=PA2·PB2=PA22=R2-r2=16。

這里通過一個“動”的過程，把一般性問題轉化成特殊問題，既揭示了事物之間一般與特殊的內在聯系，又拓展了學生的思維空間。

【例2】如圖4，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑。求證：AB·AC=AE·AD.

教學時，筆者在引導學生解答此例后，設計了以下兩個變式引伸的問題：

1.當弧BEC分別是劣弧、半圓、優弧時，∠BAC分別是銳角、直角、鈍角。在每種情況下，AB·AC=AE·AD都成立嗎？

2.若上述三種情況都成立，你能否用一個命題把它們表述出來？

在要求學生分別畫出三種情況下（靜態）的圖形并思考解答問題1后，教者演示動態過程（B，C兩點分別沿弧BA，弧CA方向運動），依次出現圖4，圖5，圖6三種情形，使學生清晰地認識到圖4，圖5，圖6都是同一條件下幾種不同位置的圖形罷了，它們是一個有機的整體，于是得到命題：

三角形兩鄰邊的積等于第三邊上的高與外接圓直徑的乘積。

這里“變靜為動”，不僅充分發揮了例題的功能，而且使學生在觀察、思考、探究并解決問題的過程中，既獲得了知識，又感悟了用“運動變化”的觀點來分析問題時所帶來的思維空間上“豁然開朗”的境界。這種動態過程揭示了知識本身“形變質不變”的內在本質特征，同時涵蓋了分類討論的數學思想。

課本中給我們提供了大量的動態原型，如圓周角定理、弦切角定理、兩圓的位置關系、拋物線的平移等，這也是近年來許多省市中考考察“動態問題”的主要原因之一。

二、化動為靜，激活思維

在解決“動態問題”中，若能“化動為靜”，往往也會收到很好的效果。

【例3】如圖7，在平面直角坐標系中，A，B，C三點的坐標是A（5，0），B（0，3），C（5，3），O為坐標原點。

①點E在直線BC上，若△AEO為等腰三角形，求E點的坐標（不必寫出計算過程）。

②過A，C兩點的⊙O′交線段BC于另一點D，且⊙O′與y軸沒有公共點，OD交⊙O′于點G。設D的橫坐標為t，△AGO的面積為S，試用含t的代數式表示S，并求出t的取值范圍。

此題是揚州市的一道中考壓軸題，問題①考查了分類討論的思想；問題②中S與t的函數關系式，大部分學生由△OBD∽△AGO，可得■=■=■，利用勾股定理，用含t的代數式表示出OD，再求出OG，AG，又由△AGO是直角三角形，可求出S=■OG·AG=■.

但對于t的取值范圍，則極少有學生能正確解答。由于⊙O′是一個動圓，且⊙O′與y軸沒有公共點，學生缺乏解這類動態問題的經驗與方法，一時難以理解，無從下手。

此處若能采用“化動為靜”的解題策略，便不難解答。在引導學生分析此題時，可以讓學生觀察⊙O′的動態演示過程，思考動圓⊙O′在運動中有無特殊（指位置）情況？

學生不難發現，動圓⊙O′有兩種特殊位置：一是⊙O′與y軸相切（圖8），二是⊙O′與BC的交點D與C重合（圖9）（這兩種情況雖不合題意，但我們可以假設這兩種情況成立），顯然t的范圍應介于BD（圖8中BD）與BC（圖9中BC）之間。由圖8，設⊙O′與y軸相切于M，則BM2=BD·BC，易知BM=■，故BD=■=■，由圖9知，此時BD=BC=t=5，所以，t的范圍為■

這里的“化動為靜”，即于“動態”中，使之相對“靜止”，使學生在“疑無路”時“柳暗花明”，在“動靜互化”中既解決了問題，又激活了思維。通過對兩種特殊情況的思考，解決了一般情況下的問題。

在平時教學中，我們若能把握滲透“動靜互化”思想的契機，使學生經歷感知—領悟—理解—運用的過程，則能更好地激活學生的思維，使學生的思維向深度和廣度發展，培養學生良好的思維品質。

（責編 易惠娟）