準確把握概念教學的“度”

【關鍵詞】概念教學 分解因式 課堂教學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）12B-0064-02

前不久，學校組織數學課公開教學活動，有位老師執教北師大版義務教育課程標準實驗教科書八年級數學（下）第二章第一節《分解因式》，部分課堂實錄節選如下：

……

師：判斷下列各式從左到右的變形，是否為分解因式：

（1）a（x+y）=ax+ay

（2）ax2-9a=a（x+3）（x-3）

（3）x2+x+1=x（x+1）+1

（4）x2+2x+1=（x+1）2

生：（1）（3）不是分解因式，（2）（4）是分解因式。

……

師：再看看下列各式從左到右的變形，是因式分解嗎？

（1）6+3a=3（2+a）

（2）a4-b4=（a2+b2）（a2-b2）

生：（1）和（2）都是分解因式。

師：其他同學有意見嗎？再想一想。

生：按書上分解因式的定義“把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式”來判斷，這兩個式子，一定是分解因式。

師：嚴格來說，這兩個式子都不是分解因式。

生：但書上是這樣說的啊。

……

事實上，老師和學生的說法都沒錯。一是對分解因式嚴格的要求是：①分解的結果要以積的形式表示；②每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低于原來多項式的次數；③必須分解到每個多項式因式不能再分解為止。其中要求③與分解因式所在的數集有關。本學段僅限于在有理數范圍內分解因式。二是實際上書上對分解因式的定義并不嚴格，課本上這樣處理主要是新課標在有意淡化概念形式，而更加注重了概念形成的教學過程。淡化概念，并非指概念不重要，更不是說在教學過程中可以忽視概念，而是要求我們要講求實效，淡化概念的形式，注重其實質過程。這就要求教師在實際的課堂教學中，要準確把握教材中對概念教學的目標要求，深入領會概念的內涵和外延，在教學概念時做到有的放矢。

通過對數學課程目標對概念教學的要求的探討以及對目前概念教學的現狀的分析，筆者認為以下幾點值得思考：

一、重視概念的引入，激發學生對概念的探究

新課標指出“要讓學生經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”。概念引入，就是引導學生發現實際問題中的數學成分，并對這些成份做符號化處理，把一個實際問題轉化為數學問題，或者在數學范疇之內對已經符號化了的問題做進一步的抽象化處理，發展為完善、合理的數學框架。

例1 無限不循環小數叫做無理數。

[分析]無限不循環小數學生都知道，但怎樣跟無理數掛鉤、畫等號，這就有了難度。于是，我們可以由以下學生熟悉的“問題串”，利用學生的已有知識和生活經驗，引導學生進行觀察、分析，突出無理數的本質屬性。

問題1 有兩個邊長為1的正方形，通過剪、拼，你能得到一個大的正方形嗎？這個大的正方形面積是多少？如果大正方形的邊長為x，x可能是整數嗎？x可能是分數嗎？是有理數嗎？你認為x是一個什么樣的數？

問題2 我們剛學過勾股定理，如果直角三角形的兩直角邊分別是1和2，斜邊是y，y滿足怎樣的條件？y可能是整數嗎？y可能是分數嗎？是有理數嗎？你認為y是一個什么樣的數？

二、注重概念的本質，加強學生對概念的理解

對于一些比較抽象而又十分重要的數學概念，教師要注意引導學生了解概念的必要性、合理性，初步揭示它的內涵和外延，引出概念，并要深化概念的理解，運用概念解決一些實際問題。

例2 一般的，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。

[分析]函數是學生最難理解的概念之一，而變量和對應關系則是理解函數這一概念的核心，學生是否完全理解“變量”和“對應關系”直接影響到學生對函數概念的準確把握，因此這里宜通過較多的實例讓學生充分領悟。

問題1 汽車在某段公路上以60km/h的速度勻速前進。填寫下表并回答問題：

（1）這是一個什么問題？這個問題中有幾個量？這些量中哪些是變化的，哪些是固定不變的？（引入變量的概念）

（2）在這個問題中，兩個變量之間有什么聯系？能用代數表達式表示嗎？（引入函數的關系式）

（3）在這個問題中，給t取一個值，s會怎樣變化？給t取不同的值，s將會怎樣變化？（引入對應關系）

問題2 一棵樹現在高50厘米，以后每個月長高2厘米，x月后這棵樹的高度為y（厘米）。你能寫出y與x之間的關系式嗎？y是x的函數嗎？

三、注重聯系概念的生活原型，對概念作出合理的解釋

數學概念都是從現實生活中抽象出來的，如正負數、線段、直線、射線、數軸、直角坐標系、函數、角、平行線等，都是由于科學與實踐的需要而產生的。講清它們的來源，并與實物作比較，這樣學生既不會感到抽象，也容易形成生動活潑的生活知識。

例3 繃緊的琴弦、人行橫道線都可以近似地看做線段，線段有兩個端點。

[分析]數學中這些概念用描述性的語言文字，并非一定嚴格，教師的主要任務是幫助學生完成由感性認識到理性認識的過渡，或者是幫助學生將新材料與原有認知結構進行實質性的聯系。所以，在數學概念的教學中，只要學生能理解，會應用就可以算是達到教學的目標了。

四、注重概念生成過程教學，淡化概念的形式

對有些規定性概念，我們要改變過去過分追求形式化的做法，既不要刻板、僵化地處理概念，也不要在概念的敘述上花費過多的時間，而是著重于概念的形成過程和領會應用。

例4 關于“零指數”，我們規定：a0=1（a≠0）。

[分析]這里明確“零指數”的定義是規定的，所以教學目標不僅要包括了解“零指數”的“規定”、會進行簡單的計算，還要包括感受這個“規定”的合理性，并在這個過程中學會數學思考、感悟理性精神。

問題 計算并觀察和思考： ，而a5÷a5=a0。你能得到什么結論？

讓學生經過猜想、驗證，體驗到這種規定的合理性，經歷這個規定的生成過程是非常有意義的。

在新課程改革實踐中，緊密聯系學生的生活環境、經驗，創設一個動手實踐、自主探索、合作交流的學習情境，經過觀察、操作、歸納、類比、猜測、交流、反思等數學活動，讓學生在現實情境中體驗和理解數學概念，獲得基本的數學知識和技能，從而發展學生的思維能力。

（責編 林 劍）