淺談發散思維在中學數學中的應用

摘 要 美國心理學家吉爾福特把發散思維定義為一種不依常規，尋求變異，從多方面尋求問題答案的思維形式。發散思維是素質教育中創造性思維的重要成份。

關鍵詞 中學數學；素質教育；創造能力

據現代心理學家的見解，數學家創造能力的大小和他的發散能力成正比，詳細地說，任何一種科學家的創造能力可用如下公式來估計：創造能力=知識量×發散思維能力

加強發散思維能力的訓練，是培養學生創造性思維的重要環節。下面談談我在數學教學中培養學生發散思維的一點體會。

一、一題多解激發“求異動機”

用幾種不同的方法解答同一題目，就是不斷激發學生的“求異動機”，充分運用學生學過的基礎知識和基本技能，從各個不同側面尋求解決問題的途徑，這樣反復訓練，使學生養成發散思維的良好習慣。

例1、求證：方程（x-a）（x-a-b）=1有兩個實數根，并且其中一個根大于a，另一個根小于a。

證明1：將方程化為一般形式

x2-（2a+b）x+a（a+b）-1=0

∵△=（2a+b）2-4[a（a+b）-1]

=b2+4>0

∴方程有兩個不相等的實數根。

設為x1和x2，則

如能結合二次函數的圖像來看，本題的結論是十分明顯的。

證明2：設y=（x-a）（x-a-b）-1這是二次函數，其圖象開口向上，由于當x=a時，y=-1<0，且拋物線開口向上，于是拋物線與x軸必有兩個交點，且這兩個交點位于直線x=a的兩側，所以原方程有兩個實數根，且一個根大于a，另一個根小于a。

證明2的優點在于利用二次函數圖象，將證明的兩個步驟統一起來。

二、“執果索因”培養逆向思維

幾何教學中“執果索因”的逆推法，即數學的分析法。從一個結果推出盡可能多的原因，根據已知條件或命題（包括圖形）憑直覺選取可能的原因，直到已知條件或者命題。因此在幾何教學中，用“逆推法”組織教學，是培養學生發散思維的好途徑。

例2、已知，如圖，△ABC內接于⊙O1，AB=AC，⊙O2與BC相切于點B，與AB相交于點E，與⊙O1相交于點D，直線AD交⊙O2于點F，交CB的延長線于點G，

求證⑴EF∥CG；

⑵AB×EB=DE×AG

分析：⑴連結BD，從內錯角相等，兩直線平行考慮，證明∠FEB=∠ABC，可得EF∥CG，（運用等腰三角形的性質及圓內接四邊形的性質可證得：∠FEB=∠FDB=∠C=∠ABC）

⑵要證明AB×EB=DE×AG，須證AB：DE=AG：EB，聯想到AB=AC，所以必證AC：DE=AG：BE，須證：ΔACG∽ΔEDB，根據題目條件和（1）的結論，可以得：∠BDE=∠GCA，∠DBE=∠G，從而命題得證。

三、觀察分析培養獨特思維

發散思維的獨特性與學生的個性特征密切相關，在教學中通過細心觀察、分析、思考，對一道題的獨特思維方法，讓學生的思維在生動活潑的氣氛中得到鍛煉和發展，對于有新意、有創見的學生予以鼓勵，從而培養學生獨特的思維能力。

分析：從題目中若求出s，t的值均為無理數，再代入代數式求值，計算量可想而知，經過觀察、分析、思考，容易發現兩個等式的系數和常數有些微妙的聯系，因此，可想法把它們化為系數相等的同一個方程，這樣問題就簡單多了。

四、動態變化培養探索性思維

在數學學習中，學生可從某些熟知的數學問題出發，提出若干富有探索性的新問題，并憑借自己的知識和技能去探索，從而獲得新的知識和技能，逐步掌握數學方法的本質。近年來，探索性問題是中考數學的熱點，也是學生的一個難點。探索性題目揭示了數學知識應用的一般過程：即⑴提出問題；⑵抽象成數學模型；⑶從簡單情形入手；⑷發現規律；⑸歸納猜想結論；⑹驗證結論正確。

例4、AB是⊙O中的一條長為4的弦，P是⊙O上的一個動點，COS∠APB=1/3，問是否存在以A、P、B為頂點的面積最大的三角形，若不存在，試說明理由，若存在，求出這個三角形的面積。

五、開放探究培養創新意識

在現實生活中，有許多問題是已知條件而未知結論或已知結論而未知條件或條件結論均已知或未知（要有）最優化的策略等。因此在教學中就要多引導學生去發現問題，探究條件，探索策略等。

例5、如等腰梯形ABCD的兩對角線交于O點，AD∥BC，可得相等的線段，相等的角，全等的三角形，相似的三角形各幾對？（4對，12對，3對，4對），又如已知D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點，連結DE，在什么條件下有△ABC和△ADE這兩個三角形相似？（DE∥BC或∠ADE=∠B或∠AED=∠C或■=■或■=■等）這里抓住兩個三角形的公共角∠A及相似三角形的判定方法。

六、聯系實際培養應用能力

在初中數學教學中，要增強學生應用數學的意識，使之能夠運用已有知識將實際問題抽象為數學問題，建立起數學模型，從而解決問題并拓寬知識領域。應用性數學問題很多，如營銷類、工程設計類、生產類、統計類、決策類等.

例6、我數學組老師計劃在暑假到東山旅游，估計人數在10人至25人之間，甲、乙兩旅行社的服務質量相同，且兩社的價格都是每人旅游費200元，當與兩社聯系時，甲社表示可以給予每位游客七五折優惠，而乙表示可以免去一游客的旅游費，其余各游客八折優惠。問選哪一旅行社才使旅游總費最省？本題屬生活類決策性問題，可通過方程或不等式知識解決。答案：去16人旅游隨便選甲、乙社，少于16人選乙社，多于16人選甲社。

總之，教師必須積極迎合當前教育改革的大方向--素質教育，努力培養學生的創造性思維，而發散性思維是創造性思維最終形成的一個重要前提，我們必須在教學中有意識地、堅持不懈地培養學生的發散性思維。在多留一些思維空間給學生的前提下，注意處理好放開與引導之間的關系，最大限度地調動學生學習和思考的積極性，為努力培養學生的創造性思維，營造一個良好的環境。

參考文獻：

[1]彭向陽.談初中數學動態思維培養[J].數學教師，1997.

[2]馬志祥.發散思維能力的培養[J].數學報（初中版），2001（8）.

[3]李彬.中考特輯[M].延邊大學出版社，2012，26.