在數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)思想的應(yīng)用

摘 要 導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，并且已由解決問題的輔助工具上升為解決問題必不可少的工具。導(dǎo)數(shù)題目注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識的交互點上設(shè)計試題，所以解決導(dǎo)數(shù)問題需要一定的策略。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；思想

一、分類討論思想的應(yīng)用

解答導(dǎo)數(shù)問題時，往往需要按某一標(biāo)準(zhǔn)把問題分成若干部分或情況，分別加以研究逐一解之，從而得到清楚完整的結(jié)果，分類要注意分類要科學(xué)，既不重復(fù)，又不遺漏。導(dǎo)數(shù)中需要分類情況很多：如對參數(shù)討論、對根的大小關(guān)系討論、對極值點與區(qū)間的位置討論等等。

例1.已知函數(shù)f（x）=x2e-ax（a>0），求函數(shù)在[1，2]上的最大值。

分析：通過求導(dǎo)先判斷單調(diào)性再求最值。在求最值時，對a的情況要進(jìn)行討論。

解：f（x）=x2e-ax（a>0），

∴f′（x）=2xe-ax+x2·（-a）e-ax=e-ax（-ax2+2x）。

點評：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，首先應(yīng)判斷函數(shù)的單調(diào)性，一般情況下是先利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，分清單調(diào)區(qū)間與已知區(qū)間的關(guān)系，本題實質(zhì)上就是對極值點與區(qū)間的相對位置進(jìn)行討論分別求解。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，即在代數(shù)與幾何的結(jié)合上尋找解題思路。最常用的是以形助數(shù)的解題方法，其實質(zhì)就是對圖形性質(zhì)的研究，使要解決的數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的討論，實現(xiàn)“由一種代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為幾何形式”的數(shù)學(xué)化歸。導(dǎo)數(shù)中研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及恒成立等問題都需要利用數(shù)形結(jié)合直觀的求解。

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、定積分求曲線圍成圖形面積的計算等，解決本題的關(guān)鍵之一是正確畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，題目有一定的難度。

三、轉(zhuǎn)化化歸思想

點評：以上兩種解法，法1是從集合關(guān)系入手，而法2則轉(zhuǎn)化為一個恒成立問題，各有優(yōu)點。