簡(jiǎn)述素?cái)?shù)定理與哥德巴赫猜想

摘 要：素?cái)?shù)定理和哥德巴赫猜想歷來(lái)就是數(shù)學(xué)家們?yōu)橹L(zhǎng)期奮斗的數(shù)學(xué)難題，也是高校數(shù)學(xué)教師較為頭痛的問(wèn)題，本文主要闡述了關(guān)于素?cái)?shù)的定理及證明、中外數(shù)學(xué)家對(duì)哥德巴赫猜想的研究等。

關(guān)鍵詞：素?cái)?shù)定理；哥德巴赫猜想；高校數(shù)學(xué)；理論

中圖分類(lèi)號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）29-005-01

關(guān)于素?cái)?shù)的第一個(gè)問(wèn)題是，有多少個(gè)素?cái)?shù)，這個(gè)問(wèn)題約在2300年前已由希臘人回答了，其解答見(jiàn)于歐幾理得的《幾何原本》第九卷素?cái)?shù)定理20。

一、關(guān)于素?cái)?shù)定理及證明

素?cái)?shù)定理1 素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)

證：歐幾里得的證法是反證法，假定素?cái)?shù)只有有限個(gè)，將它們羅列如下：P1=2，P2=3，…，PN

那么數(shù)P1P2…PN+1將不為上述素?cái)?shù)中任一個(gè)所整除。因此，或者它本身是素?cái)?shù)，或者它有不同于上述素?cái)?shù)的新的素因子。這與假定矛盾，素?cái)?shù)定理證畢。

由歐幾里得的證明我們引出另一個(gè)有趣的問(wèn)題。對(duì)一個(gè)素?cái)?shù)P，用p#表示所有小于等于P的素?cái)?shù)的乘積。我們把形如P#+1的數(shù)叫做歐幾里得數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)出現(xiàn)在素?cái)?shù)是無(wú)窮的歐幾里得證法中。有趣的是，前五個(gè)歐幾里得數(shù)都是素?cái)?shù)：

都不是素?cái)?shù)。是否存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)P，使P#+1是素?cái)?shù)，這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有解決。是否存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)P，使P#+1是合數(shù)，這個(gè)問(wèn)題也沒(méi)有解決。

素?cái)?shù)定理2 相鄰素?cái)?shù)的間距要多大有多大。

易見(jiàn)，第一個(gè)數(shù)能被2整除，第二個(gè)數(shù)能被3整除，…，最后一個(gè)數(shù)能被1000整除。這就造出了999個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中沒(méi)有一個(gè)是素?cái)?shù)。同樣的辦法可以造出更大的間隔，這就完成了素?cái)?shù)定理的證明。下面研究素?cái)?shù)分布的情況。

考察一下素?cái)?shù)表就會(huì)發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)的出現(xiàn)是無(wú)規(guī)則的。但是素?cái)?shù)無(wú)序后面隱藏著有序。最終，素?cái)?shù)的間隔也表現(xiàn)出某種秩序。

1791年高斯通過(guò)對(duì)素?cái)?shù)表的調(diào)查注意到，雖然間隔呈無(wú)序狀態(tài)，但平均間隔增長(zhǎng)得很慢。他猜測(cè)到如下的素?cái)?shù)素?cái)?shù)定理，但沒(méi)有證明。

用丌（x）表示不超過(guò)x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。觀察下表：

二、關(guān)于哥德巴赫猜想

1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫（1690—1764）在和他的好朋友、大數(shù)學(xué)家歐拉的幾次通信中，提出了關(guān)于正整數(shù)和素?cái)?shù)之間關(guān)系的兩個(gè)推測(cè)，用現(xiàn)在確切的話(huà)來(lái)說(shuō)，就是：

1、每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和；

2、每一個(gè)不小于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。

歐拉未能證明這兩個(gè)猜想，但對(duì)其正確性深信不疑。因而，二百多年來(lái)這兩個(gè)猜想一直吸引了許多數(shù)學(xué)工作者和愛(ài)好者，特別是著名數(shù)學(xué)家的注意和興趣，并為此作出了巨大的努力。

1921年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代在哥本哈根數(shù)學(xué)會(huì)作的一次講演中認(rèn)為：哥德巴赫猜想可能是沒(méi)有解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題中的最困難的一個(gè)。但是他們沒(méi)料到，或者沒(méi)意識(shí)到對(duì)哥德巴赫猜想的研究正在開(kāi)始從幾個(gè)不同方向取得了重大的突破。

1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾克拉多夫（Vinogradov.A.I 189l—1983）證明了：每一個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。巴雷德金算過(guò)，布郎1920年證明（9，9）：素?cái)?shù)定理5（布郎）每一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表示為素因數(shù)個(gè)數(shù)不超過(guò)9的兩個(gè)殆素?cái)?shù)之和。

從1937年維諾克拉多夫的工作開(kāi)始到現(xiàn)在已經(jīng)60多年了。這期間哥德巴赫猜想了得了巨大的進(jìn)展。盡管如此，人們還不能預(yù)測(cè)哥德巴赫猜想解決的最后日程。研究哥德巴赫猜想產(chǎn)生的方法不僅對(duì)數(shù)論有廣泛的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)的其它分支也有廣泛的應(yīng)用。