高中立體幾何教學的有效策略

【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0125-01

立體幾何是高中數學的重要內容之一，在高考中常以填空、選擇和綜合題等形式出現，旨在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，在歷年高考數學試卷中占有較大的比例，如今年全國數學文科卷的第11、19題和理科卷的第10、16、19題，主要體現在位置關系和量化求值問題上，淡化了以往復雜的幾何證明和繁瑣的幾何計算。但由于學生的空間想象能力不足，不能靈活地運用幾何語言進行嚴密的推理論證，以至學生在這一部分得分率低，難以取得令人滿意的成績。如何培養學生的空間想象、邏輯推理、類比歸納的能力，成為當前立體幾何教學亟待解決的問題。

一、平面幾何與立體幾何的關系

平面幾何和立體幾何彼此聯系，相輔相成，平面幾何是立體幾何的基礎，立體幾何是平面幾何的拓展與延伸。德國著名數學家高斯認為：“數學中的轉換是美的發現。”學生借助于已有的知識經驗、學習技能和學習策略對新知識、新技能的習得產生積極的影響，從而達到舉一反三、觸類旁通的學習效果，這就是學習遷移。立體幾何的一些問題可以通過添加輔助線將數量關系呈現在同一平面內，遷移轉化為平面幾何，使問題變得簡單化，如面面平行轉化為線面平行，再轉化為線線平行。

二、立體幾何的學習策略

1.創設教學情境。教者為達到一定的教學效果，有意識地引入豐富的情境，或創設形象逼真的場景，以引發學生產生解決問題的欲望，引發積極的思考、討論，以幫助學生構建知識網絡，提高解題能力。在立體幾何教學中，教者要根據學生已有的生活和知識經驗，或利用實物展示，或借助掛圖模型，或欣賞建筑物圖片，或動手制作幾何體模型，創設生動有趣的問題情境，激發了學生的學習興趣，讓他們通過制作、計算、繪圖等活動逐步形成空間觀念。如在“空間幾何體的三視圖”教學中，教者讓學生觀察“題西林壁”的掛圖，感受從不同的角度觀察物體產生不同的效果，品味“橫看成嶺側成峰”的意境。接著教者將籃球、粉筆盒、礦泉水瓶等實物放在講臺上，讓學生畫出它們的三視圖，并與同學交流，總結作圖心得。情境化教學讓學生產生身臨其境的教學效果，給學生留下了深刻的印象，學生通過動眼、動手、動口等多重感官活動激活了學生的思維，促進了學生創造性思維能力的發展。

2.培養學生的數學語言能力。語言是人類傳遞信息內容的工具，是交流的媒介。數學語言是表達數學思維和數學思維的載體，它具有準確、嚴密、簡明的特點。由于數學語言難懂難學，加之教師不夠重視，導致部分學生在理解和使用上存在困難。數學語言可以用文字、符號、圖形等三種方式表述：如“如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。”用符號語言表示為“若m？奐α，n？奐α，m∩n=O，l⊥m，l⊥n？圯l⊥α.”用圖形語言表示如右圖所示。三種語言彼此聯系，相輔相成，教師要樹立科學的數學語言觀念，加強數學語言的規范化訓練，強化三種語言之間的互譯，提高學生的理解能力，發展學生的數學思維。

3.借助多媒體技術。隨著科學技術的飛速發展，以網絡技術和多媒體技術為核心的信息技術給課堂教學帶入了新的生機與活力，電子白板、魔燈、電子書包、ipad正悄然步入課堂，“一支粉筆+一塊黑板”的傳統教學方式已無法滿足教育發展的需要，多媒體以其儲存大量教學資源、形象生動、交互性強等特點深受師生的青睞。

（1）利用多媒體技術直觀演示，加深理解幾何概念。教者可以將身邊唾手可得的物體，諸如文具盒、乒乓球、筆筒等用于立體幾何教學。但在作棱柱、棱錐、圓臺等結構分析時，可以利用多媒體制作動畫進行演示，如將直角梯形沿高所在的直線旋轉一周成圓臺，使學生對立體幾何圖形有了清晰的認識，促使學生主動發現、分析，從而很好地掌握所學內容。

（2）利用多媒體技術能化抽象為直觀，優化教學方式。在立體幾何教學中，常會遇到抽象難懂的問題，如果教師只作簡單的描述、枯燥的講解，學生往往難以理解和掌握。利用FLASH、幾何畫板等教學軟件可以將高度抽象的知識形象直觀地表示出來。如球的表面不是平面，而是曲面，難以展開來求表面積。教者利用多媒體將球自圓心切割成若干個相同的小錐體，每個小錐體的可以近似地看成一個棱錐，則所有小錐體的底面面積之和就約等于球的表面積，從而推導出球的表面積公式S=4πr2。

（3）利用多媒體技術能變動態為靜態，培養空間想象能力。由于物質世界是三維立體的，而眼睛所看到的物體在視網膜上成像卻是平面的，兩只眼睛通過不同的方位觀察物體，再通過大腦將單一物像合成為立體的感覺。而部分學生沒有空間感，缺乏空間想象能力，導致解題時思維受阻。利用多媒體技術可以實現立體圖形的平移、翻折、旋轉、分割、組合等運動變化過程，讓學生從多角度、全方位觀察圖形，富于變化的動態演示激發了學生的學習興趣，使學生對幾何學習產生了濃厚的興趣，使抽象、枯燥的立體幾何問題變得易于理解，培養了學生的空間想象能力。

4.利用向量法解決問題。向量法是架設代數知識與幾何知識的橋梁，它通過建系、設點、設法向量等將幾何問題代數化，實現由立體到平面、由線面到線線變換，達到以形變數的目的。通過兩條直線上的方向向量共線，將面面平行和線面平行問題轉化為線線平行；通過直線與平面的法向量共線，證明線面垂直；通過兩個平面的法向量數量積為零，證明面面垂直。還可以利用向量法知識求線面角、線線角以及二面角的大小。如：如圖所示，已知直角梯形ABCD，∠ADC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，且SA=AD=DC=2，AB=1，求平面SAD與SBC所成二面角的余弦值。

分析：以A為原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸建立空間直角坐標系A-xyz，則有S（0，0，2），B（1，0，0），C（2，2，0），■=（1，0，-2），■=（2，2，-2）。設平面SCB的法向量■=（x，y，z），則■·■=0，■·■=0，轉化為坐標運算：x+2z=0，x+y-z=0.取z=1，則■=（2，-1，1）

cos<■·■>=■=■=■

總之，立體幾何是培養學生空間想象能力的重要途徑，但因其理論抽象、推理嚴密、富于變化的特點成為高中數學教學的難點，學生往往談“立幾”而色變。傳統的立體幾何教學手段單一、方式落后，導致教學效果不盡如人意。教師要樹立以生為本的教學理念，通過強化技術手段、改進教學方式培養學生的空間想象和邏輯推理能力，提高學生的數學素養。