新課標(biāo)高考中均值不等式典型問題歸納

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0146-02

新課標(biāo)改革后，均值不等式部分有較大精簡，但是均值不等式求最值題型一直是高考數(shù)學(xué)中常見題型，我們經(jīng)常提到的是“一正二定三相等”。在解題的過程中，有題目需要湊，有題目需要構(gòu)造，還有題目需要用函數(shù)性質(zhì)，本文從基本概念到典型問題給予探究。

一、公式的意義

1.對于任意實(shí)數(shù)a，b，a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立。

證明：a2+b2-2ab=（a-b）2，當(dāng)a≠b時(shí)，（a-b）2>0；當(dāng)a=b時(shí)，（a-b）2=0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立。

2.如果a，b，是正數(shù)，那么■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，有等號成立。此結(jié)論又稱均值不等式或基本不等式。

證明：∵a+b-2■=（■）2+（■）2=（■-■）2≥0，即a+b≥2■，所以■≥■。

說明：1）我們稱■的算術(shù)平均數(shù)，稱■為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

2）a2+b2≥2ab和■≥■成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù)。

3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是等價(jià)。

二、均值不等式的幾何解釋

對于任意正實(shí)數(shù)a，b，以AB=a+b的線段為直徑做圓，在直線AB上取點(diǎn)C，使AC=a，CB=b，過點(diǎn)C作垂直于直線AB的弦DD′，連接AD、DB、如圖已知Rt△ACD-Rt△DCB，那么DC2=AC+BC，即CD=■。這個(gè)圓的半徑為■，顯然■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)，等號成立。

三、均值不等式推導(dǎo)極值定理

（1）若x+y=s（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，xy取得最大值是■；

證明∵x，y都是正數(shù)，■≥■，有x+y=s，xy≤（■）2=，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy取得最大值是■；

（2）若xy=p（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，x+y取得最小值是2■；

證明∵x，y都是正數(shù)，■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號成立，又xy=p，x+y≥2■。

注意：利用極值定理求最大值或最小值是應(yīng)注意：

①注意均值不等式的前提條件：函數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù)，在異號時(shí)不能運(yùn)用均值不等式，在同負(fù)時(shí)可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用均值不等式；②求積xy最大值時(shí)，應(yīng)看和x+y是否是定值；求和x+y最小值時(shí)，看xy是否為定值；③通過加減的方法配湊成使用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的形式；④注意“1”的代換；⑤等號是否成立： 只有具備了不等式中等號成立的條件，才能使函數(shù)式取到最大或最小值，否則不能由均值不等式求最值，只能用函數(shù)的單調(diào)性求最值。

運(yùn)用均值不等式的前提有口訣：一正二定三相等。

四、對勾函數(shù)與均值不等式

函數(shù)y=ax+■（a>0，b>0）在（-∞，-■）或（■，+∞）上單調(diào)遞增；在（-■，0）或（0，■）上是單調(diào)遞減

五、典型例題

（1）基本應(yīng)用

均值不等式的簡單應(yīng)用是常見題目，要注意“正、定、等”的具體概念和使用。

【例1】若x>0，則2+3x+■的最小值是____。

答案：2+4■

（變式1）求函數(shù)y=■（x>0）的最大值，以及此時(shí)x的值。

答案：當(dāng)x=2■時(shí)，y=1-2■

點(diǎn)評：第一題是一道基礎(chǔ)題目，均值不等式最基本應(yīng)用就是針對兩個(gè)分子分母乘積為定值的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算的。變式1涉及到了系數(shù)為負(fù)數(shù)的時(shí)候變化。

（2）項(xiàng)數(shù)變形

在利用均值不等式時(shí)，有時(shí)往往需要對項(xiàng)數(shù)加以變形處理，使之滿足均值不等式的要求，為利用均值不等式求解創(chuàng)造條件。

【例2】求函數(shù)y=3x2+■的最小值。

解析：

y=3（2+x2）+■-6≥2■=8■-6[3（2+x2）=■取等號]

所以當(dāng)x=±■，ymin=8■-6

點(diǎn)評：目標(biāo)求和的最值，盡可能湊定積，使得含變量的因子的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號，是解決本題的關(guān)鍵之所在。

練習(xí)1： 已知x>■，求函數(shù)f（x）=2x+1+■的最大值。

分析：題目中，又（2x+1）·■不是定值，所以要對常數(shù)加以增減、拆、湊等處理。

解析：

f（x）=2x+1+■=2x-5+■+6

≥2■+6=8，

當(dāng)且僅當(dāng)2x-5=■時(shí)，即x=3時(shí)等號成立，

所以當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為8。

練習(xí)2：設(shè)x>-1，求函數(shù)y=■的最小值。

解析：

y=■=x+1+■+5

≥2■+5=9（x+1=■取等）

所以僅當(dāng)x=1時(shí)，ymin=9。

點(diǎn)評：先盡可能的讓分子變量項(xiàng)和分母相同進(jìn)而湊出乘積定值的兩部分，必要的時(shí)候也可以進(jìn)行換元法。

（3）取不到等號（均值不等式失效情形的處理）

對策：在求解的過程中，有時(shí)會出現(xiàn)“湊出了‘常數(shù)’卻取不到‘等號’”的現(xiàn)象，建議用對勾函數(shù)圖象或者單調(diào)性的辦法。

【例3】已知x≥3，求y=x+■的最小值。

答案：顯然，函數(shù)在當(dāng)x≥3時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在時(shí)x=3，y=■即為最小值。

練習(xí)：（2013年北大附中高一下學(xué)期期中考試）求函數(shù)y=■（x∈R）的最小值。

解析：由y=■=■+■，令t=■≥3，則易證y=f（t）=t+■（t≥3）為增函數(shù)∴ymin=f（3）=3+■=■。所以當(dāng)■=3，即x=0時(shí)，ymin=■。

（4）“1”的使用

【例4】已知x，y均為正數(shù)，x+y=2，求■+■的最小值。

答案：由于x+y=2，所以■=1，■+■=（■+■）·（■）

展開獲得：2+■（■+■）≥2+■·2■=2+2■

當(dāng)且僅當(dāng)x=■-1，y=3-■時(shí)取到等號。

點(diǎn)評：這道題屬于固定題型，“1”的構(gòu)造方法常見于本題。

（5）配湊法

均值不等式給了兩個(gè)形式，而如何使用，經(jīng)常需要構(gòu)造，根據(jù)題目已知或者所求進(jìn)行變形，屬于比較困難的題目。

【例5】（2010年北京豐臺1模）設(shè)a>0，b>0，a+b+ab=24，則（ ）

A. a+b有最大值8 B. a+b有最小值8

C. ab有最大值8 D. ab有最小值8

答案：顯然a+b+ab≤a+b+■，即：24≤a+b+■

設(shè)t=a+b，（t>0），則24≤t+■，容易解出t≥8，故選擇B項(xiàng)。

總結(jié)：新課標(biāo)改革以后，均值不等式部分題型相對精簡了內(nèi)容，題型主要是上述題目，只要同學(xué)們抓住關(guān)鍵題型，深刻理解均值不等式的含義，相信這部分內(nèi)容會很快融會貫通。