數學建模在高等數學教學中的體現

【摘要】數學的思想和方法與計算機技術的結合，使數學的內容物化為計算機的軟件技術，從而使人們認識到學會數學的重要性，而數學建模就是用數學方法去解決實際問題，數學思維的建設顯的尤其重要，如何在高等數學課程教學中體現數學模型建設更重要。

【關鍵詞】數學建模 高等數學 教學

【中圖分類號】O13【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0150-01

一、數學建模的重要意義

在人們認識世界和改造世界的過程中，對數學的重要性及其作用逐漸形成了自己的認識和看法，并不斷的發展。尤其是數學的思想和方法與計算機技術的結合，使數學的內容物化為計算機的軟件技術，從而使人們認識到學會數學的重要性。高等數學課程的教學就不能僅僅是傳授學生數學知識，教給他們一套從定義到定理的體系，而應該教會學生數學的思想方法，結合實際問題說明數學的來龍去脈，他們才覺得高等數學不是枯燥無味的，對現在的學習和今后的數學建模都是大有益處的。

數學建模是數學在實際應用的需求中產生的，要解決實際問題就必需建立數學模型。數學建模是指對現實世界的一些特定對象，為了某特定目的，做出一些重要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構，用它來解釋特定現象的現實性態，預測對象的未來狀況，提供處理對象的優化決策和控制。今天新技術、新工藝蓬勃興起，計算機的普及和廣泛應用，使數學以空前的廣度和深度向其它科學技術領域滲透，過去很少應用數學的領域現在迅速走向定量化，數量化，需建立大量的數學模型。特別是數學在許多高新技術上起著十分關鍵的作用。因此數學建模被時代賦予了更為重要的意義。

二、數學建模思想在高等數學課程教學中的運用

高等數學教學的重點是提高學生的數學思維，學生的數學思維主要體現為：抽象思維和邏輯推理的能力；數學模型是工程問題與數學問題之間的橋梁，也是數學思維與工程思維綜合的結果，所以將數學建模思想和方法融入高等數學課程教學中是非常重要的。如今在一些教材中也漸漸的補充了與實際問題相對應的例子，如：科學出版社出版的《大學數學（文科類）》在每章中補充了一個數學模型。其實這就是實際應用中的一個簡單的建摸問題。

下面我們就具體的例子來看看高等數學的數學建模的應用。

我們有如此的生活經驗： 把四條腿的椅子往不平的地面上一放， 通常只有三只腳著地， 放不穩， 但只要稍微挪動幾次， 就可以四腳著地放穩了。

如圖所示， 我們以A、B、C、D表示椅子的四只腳， 以正方形ABCD表示椅子的初始位置， 以原點為中心按逆時針將其旋轉θ角，到位置A′B′C″D′，設椅腳與地面的豎直距離為d ， 則d是否為零可以作為衡量椅腳是否著地的標準， 而旋轉椅子就是調整這一距離， 因此d是角θ的函數， 即 d = d（θ）。

由于椅子腿是中心對稱的， 所以只要考慮兩組對稱的椅腳與地面的豎直距離就可以了。

設A、C兩腳與地面距離之和為d1（θ）， B、D兩腳與地面距離之和為d2（θ）， 有

d1（θ）≥0 ， d2（θ）≥0，

可以假設（1）d1（θ）， d2（θ）均是連續函數；（2）d1（θ）， d2（θ）中至少有一個為零，即d1（θ）·d2（θ）=0，不妨設θ=0時

d1（θ）>0 ， d2（θ）=0，

將椅子旋轉90o后對角線AC與BD交換， 于是有

d1（■）=0 ， d2（■）>0，

設輔助函數f（θ）=d1（θ）-d2（θ），則f（θ）在[0，■]上連續， 且

f（0）=d1（0）-d2（0）>0， f（■）=d1（■）-d2（■）<0

故由零點定理可知， 至少存在一點θ0∈（0，■）， 使得f（θ0）=0， 從而

d1（θ0）=d2（θ0）

所以在旋轉椅子時至少會有一次四個腳同時落地， 即可以放穩。

數學建模的思想引入高等數學的教學中，其主要目的是通過數學建模的過程來使學生進一步熟悉基本的教學內容，培養學生的創新精神和科研意識，提高學生應用數學解決實際問題的思想和方法。

三、數學建模思想在高等數學教學中的滲透

數學模型引入高等數學可以通過分析、計算或邏輯推理，正確、快速地求解數學問題，同時用數學語言和方法去抽象、概括客觀對象的內在規律，構造出待解決的實際問題的數學模型。在講述有關內容時與相應的數學模型有機結合，將看來十分枯燥的教學內容與豐富多彩的外部世界架起橋梁，可以收到事半功倍的效果。如講解導數應用的過程中，可安排邊際成本、邊際利潤、易拉罐的形狀等實際問題的例子；講解積分應用可介紹曲頂柱體的體積、單位流量、轉動慣量等例子。

在數學概念中滲透數學建模思想，一切數學概念都是從客觀事情的某種數量關系或空間形式中抽象出來的模型，數學概念是因為實際需要而產生是其他定理和應用的前提，因此在教學中應重視從實際問題中抽象出數學概念的過程，讓學生從模型中切實體會到數學概念是因有用而產生出來的。在各章節學完之后，適當選編一些實際應用問題，引導學生進行分析，通過抽象、簡化、假設、確定變量、參數、確立數學模型，解答數學問題，從而解決實際問題，有利于教學中貫徹理論和實際相結合的原則。教學中科學根據不同的內容選編不同的數學模型進行案例教學，可以先啟發學生在課堂中觀察、思考、再引導學生建立數學模型。選編案例時應遵循目的性、趣味性、代表性、科學性等原則。