數(shù)學(xué)分析中輔助函數(shù)的構(gòu)造及其作用

【摘要】本文主要論述了在數(shù)學(xué)分析中如何構(gòu)造輔助函數(shù)及輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，從而有助于提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】輔助函數(shù) 構(gòu)造 應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】江西省教育廳（JXJG-12-15-11）。

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）10-0158-02

在解題過程中，根據(jù)問題的條件與結(jié)論的特點(diǎn)，通過逆向分析，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本概念和原理，經(jīng)過深入的思考、縝密的觀察和廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造出一個(gè)與問題有關(guān)的函數(shù)，通過對函數(shù)特征的考查達(dá)到解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做構(gòu)造函數(shù)法。

構(gòu)造函數(shù)的方法內(nèi)涵十分豐富，沒有固定的模式和方法，構(gòu)造過程充分體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、類比、逆向思維及歸納、猜想、分析與化歸等思想。使用構(gòu)造函數(shù)法是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，一般無章可循，它要求既要有深厚堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)背景，又要有豐富的想象力和敏銳的洞察力，針對問題的具體特點(diǎn)而采用相應(yīng)的構(gòu)造方法，常可使論證過程簡潔明了。

1.數(shù)學(xué)分析中如何構(gòu)造輔助函數(shù)

1.1 輔助函數(shù)的基本特點(diǎn)

a.輔助函數(shù)題設(shè)中沒有，結(jié)論中也不存在，構(gòu)造輔助函數(shù)僅是解題的一個(gè)中間過程，類似于平面幾何中的輔助線，起輔助解題的作用，如我們熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明。

b.同一個(gè)命題可構(gòu)造不同的輔助函數(shù)用于解題（不唯一）。

c.表面上看構(gòu)造輔助函數(shù)的思路較寬廣（因?yàn)椴恢挂粋€(gè)），實(shí)質(zhì)上，不同的輔助函數(shù)直接關(guān)系到解題的難易（可比較性），因此，構(gòu)造最恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是解題的關(guān)鍵。

1.2 構(gòu)造輔助函數(shù)的基本方法

1.2.1 聯(lián)想分析

要構(gòu)造一個(gè)與所學(xué)結(jié)果有關(guān)的輔助函數(shù)，而后再運(yùn)用已知條件及有關(guān)概念，推理得出所要證明的結(jié)果，通常是先從一個(gè)愿望出發(fā)，聯(lián)想起某種曾經(jīng)用過的方法、手段、而后借助于這些方法、手段去接近目標(biāo)，或者再從這些方法和手段出發(fā)又去聯(lián)想別的通向目標(biāo)的方法和手段，這樣繼續(xù)下去，直至達(dá)到我們能力所及的起點(diǎn)或把問題歸結(jié)到一個(gè)明顯成立的結(jié)論為止，因此，聯(lián)想是我們構(gòu)造輔助函數(shù)的關(guān)鍵。

例1 已知x>0，證明x-■x2

這是一個(gè)含有變量不等式的證明，可以考慮通過移項(xiàng)將不等式化為大于0（或小于0）的形式，然后直接構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）通過F′（x）在（a，b）上恒正（或負(fù)），知F（x）>F（a）（或F（x）F（x′）（或F（x）

1.2.2 對比分析

運(yùn)用所學(xué)過的相關(guān)知識(shí)如定積分的定義；定積分計(jì)算中的矩形法、梯形法等，結(jié)合具體問題進(jìn)行分析對比，構(gòu)造輔助函數(shù)。

例2 ■[■+■+…+■]。

這是一個(gè)和式的極限，該和式又不能直接求和化簡，因而一般方法行不通，由定積分定義求和，定積分也是一個(gè)和式的極限，我們將和式的極限與定積分的定義式進(jìn)行對比：

■f（x）dx=■■f（ξ）△xi

■[■+■+…+■]=■■■

=■■■·■

對比后之后我們不難發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造的輔助函數(shù)為f（x）=■，[0，1]

解：

■[■+■+…+■]

=■■■=■■■·■=■■dx=ln（1+x）|■■=ln2

1.2.3 綜合分析

有些命題通過分析，解題中確需構(gòu)造輔助函數(shù)，但上述兩種方法都無從下手，這時(shí)就需要逆推分析或雙推分析（指由條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行推理分析，以期得出某個(gè)相同的中間命題），先得出要構(gòu)造的輔助函數(shù)的一些特征（性質(zhì)），然后再根據(jù)這些性質(zhì)構(gòu)造輔助函數(shù)，即使較為復(fù)雜的問題，同樣也能構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)。

例3 設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)（0

此結(jié)論中涉及兩點(diǎn)，因此需要應(yīng)用微分中值定理，且只用拉格朗日中值定理還不夠，還需要用柯西中值定理，為此只有一個(gè)函數(shù)f（x）還不行，還需再構(gòu)造一個(gè)函數(shù)g（x），假設(shè)g（x）已確定，且滿足柯西中值定理的條件，則（a，b）在上至少存在一點(diǎn)η，使得

■=■ （1）

又因?yàn)閒（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以在（a，b）上至少存在一點(diǎn)ξ，使得

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a） （2）

由（1），（2）知：

f′（ξ）=■f′（η），ξ，η∈（a，b）

這與欲證結(jié)論進(jìn)行對照不難發(fā)現(xiàn)需構(gòu)造的函數(shù)g（x）需具有如下性質(zhì)：

g′（x）=x，g（a）=0，g（b）=■（或g（b）-g（a）=■）

如果對變上限的積分較熟悉，自然就會(huì)想到：g（x）=■tdt，x∈[a，b]

證：設(shè)輔助函數(shù)g（x）=■tdt，x∈[a，b]

則g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，且g′（x）=x≠0，g（b）-g（a）=■（b2-a2）

由柯西中值定理知：？堝η∈（a，b），使得■=■=■

所以η（f（b）-f（a））=f′（η）·（g（b）-g（a））=f′（η）·■（b2-a2）

又因?yàn)閒（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，

所以？堝ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

代入上式得η·f′（ξ）·（b-a）=f′（η）·■（b2-a2），故f′（ξ）=■f′（η）。

總之，輔助函數(shù)離不開分析，推理和聯(lián)想，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)思、巧妙的假設(shè)、充分的推理論證是每個(gè)研究數(shù)學(xué)分析的人們所不可缺少的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì)。

2.構(gòu)造輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中幾個(gè)方面的應(yīng)用

2.1 輔助函數(shù)在討論根的存在性問題中的應(yīng)用

例4 證明：設(shè)函數(shù)f（x）在[0，2a]上連續(xù)，且f（0）=f（2a），則在[0，a]上至少有一點(diǎn)，使f（x）=f（x+a）。

證：令F（x）=f（x）-f（x+a），則因?yàn)閒（x）在[0，2a]上連續(xù)，f（x+a）在[0，a]上連續(xù)，所以f（x）在[0，a]上連續(xù)。

由于F（0）=f（0）-f（a），

F（a）=f（a）-f（2a）=-[f（0）-f（a）]，

故若f（0）-f（a）=0，則f（a）=f（0）=f（2a），即當(dāng)x=a時(shí)，有f（x）=f（x+a）。

若f（0）-f（a）≠0，則F（0）F（a）<0，由零點(diǎn)存在定理，必存在至少一點(diǎn)ξ∈（0，a），使f（ξ）=f（ξ+a）。

2.2 輔助函數(shù)在應(yīng)用微分中值定理證題中的應(yīng)用

微分中值定理主要是指三大微分中值定理，即羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。解決這類相關(guān)命題的問題，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是關(guān)鍵。在前面綜合分析中的例3，我們已經(jīng)利用構(gòu)造輔助函數(shù)解決了一些微分中值定理相關(guān)的命題。

2.3 輔助函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

在不等式證明的問題中，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是關(guān)鍵，可以將不等式通過恒等變形，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為容易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式。

作輔助函數(shù)的目的是化未知為已知、化難為易、化繁為簡。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)過程中，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生掌握構(gòu)造法并且能夠運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法來解決問題，有助于他們加深和概括所學(xué)知識(shí)、拓寬視野、培養(yǎng)學(xué)生良好的邏輯思維能力。

參考文獻(xiàn)：

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