三角網(wǎng)格上基于Lebesgue常數(shù)最小的混合有理插值

朱六三，趙前進(jìn)

（安徽理工大學(xué)理學(xué)院，安徽 淮南232001）

0 引言

近年來(lái)，基于連分式的二元有理插值方法被廣泛關(guān)注。檀結(jié)慶在文獻(xiàn)［1-2］中通過(guò)對(duì)Newton多項(xiàng)式插值和Thiele型連分式插值進(jìn)行加工，用類似于張量積的方法構(gòu)造了Newton-Thiele和Thiele-Newton兩種二元混合有理插值。趙前進(jìn)在文獻(xiàn)［3-4］中通過(guò)對(duì)插值節(jié)點(diǎn)集進(jìn)行分塊構(gòu)造了基于塊的混合有理插值，但連分式插值會(huì)受到可能有不可達(dá)點(diǎn)、偏逆差商不存在等瓶頸問(wèn)題的制約。另外，連分式插值無(wú)法避免極點(diǎn)同時(shí)又難以控制極點(diǎn)的位置。1945年，W.Taylor發(fā)現(xiàn)了多項(xiàng)式插值的重心公式，1984年，W.Werner給出了重心有理插值方法［5］。利用權(quán)的符號(hào)可判定重心有理插值在插值區(qū)間內(nèi)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)適當(dāng)選擇權(quán)可使重心有理插值避免極點(diǎn)和不可達(dá)點(diǎn)［6］。基于重心有理插值和Newton多項(xiàng)式插值，趙前進(jìn)和杜繼亮在文獻(xiàn)［7］中構(gòu)造了上三角網(wǎng)格上的混合有理插值方法用來(lái)逼近連續(xù)的已知函數(shù)。然而，文獻(xiàn)［7］中的方法不能用于逼近被插值函數(shù)未知的情形。為此，本文在上三角網(wǎng)格上構(gòu)造重心——牛頓有理插值，應(yīng)用Lebesgue常數(shù)最小建立優(yōu)化模型，解得最優(yōu)權(quán)。給出了數(shù)值實(shí)例來(lái)表明新方法所得的二元有理插值繼承了重心有理插值的計(jì)算量小、數(shù)值穩(wěn)定性好、沒(méi)有極點(diǎn)以及可以避免不可達(dá)點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn)。

1 基于上三角網(wǎng)格的重心-牛頓混合插值

設(shè)上三角網(wǎng)格

（c）wi（i＝0，1，…，n）分別為x0，x1，…，xn對(duì)應(yīng)的插值權(quán)。

由文獻(xiàn)［7］知，只要所有的權(quán)wi（i＝0，1，…，n）均不為零，則上述有理函數(shù)R（x，y）滿足插值條件。

2 上三角網(wǎng)格基于Lebesgue常數(shù)最小的重心-牛頓混合插值

在公式（1）中，選擇不同的權(quán)可得不同的重心-牛頓混合插值。文獻(xiàn)［7］中，當(dāng)被插值函數(shù)為表達(dá)式已知的連續(xù)函數(shù)時(shí)，以插值權(quán)為決策變量、插值平方誤差為目標(biāo)函數(shù)、以有理函數(shù)R（x，y）無(wú)不可達(dá)點(diǎn)、無(wú)極點(diǎn)為約束，增加權(quán)的規(guī)范化約束條件，建立了優(yōu)化模型求解最優(yōu)權(quán)。本文研究當(dāng)被插值函數(shù)為表達(dá)式未知時(shí)，基于Lebesgue常數(shù)

最小為目標(biāo)函數(shù)，以有理函數(shù)R（x，y）無(wú)不可達(dá)點(diǎn)、無(wú)極點(diǎn)為約束，增加權(quán)的規(guī)范化約束條件，建立如下優(yōu)化模型求解最優(yōu)權(quán)：

最后使用LINGO優(yōu)化軟件計(jì)算出最優(yōu)權(quán)。

3 數(shù)值實(shí)例

記上三角網(wǎng)格上基于Lebesgue常數(shù)最小的重心-牛頓有理插值為R1（x，y），文獻(xiàn)［7］中的有理插值記為R2（x，y），文獻(xiàn)［8］中記為R3（x，y）。被插值函數(shù)與插值函數(shù)R1、R2、R3的圖像以及誤差比較如下：

圖1 f（x，y）

圖2 R1（x，y）

圖3 R2（x，y）

表1 插值誤差的比較

記本文方法求得的混合有理插值為，

圖5 f（x，y）

可見(jiàn)，利用本文方法得到的插值函數(shù)與文獻(xiàn)［7］中得到的插值函數(shù)的逼近效果甚好，均明顯好于文獻(xiàn)［8］中插值函數(shù)的逼近效果，值得注意的是，本文方法適用于被插值函數(shù)表達(dá)式未知情形。

圖6 R（x，y）

圖7 ｜f（x，y）-R（x，y）｜

4 結(jié)論

本文利用Lebesgue常數(shù)最小為目標(biāo)函數(shù)求得三角網(wǎng)格上重心-牛頓有理插值的最優(yōu)權(quán)，使得該混合插值方法在被插值函數(shù)的表達(dá)式未知時(shí)仍可使用。給出的數(shù)值實(shí)例表明了新方法的有效性。

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