導航定位專業中幾個與精度相關的術語辨析

許麗麗，劉英乾，楊文彬，夏 天

（北京東方計量測試研究所，北京 100086）

1 引言

國內導航領域廣泛使用 “精度”（精確度precision的簡稱）術語表征導航定位特性，但國際導航領域相關標準和技術文獻中均使用英文 “accuracy”（在相關國家標準中譯為 “準確度”）表達相應特性；而在對 “accuracy”特性的描述中，導航業內存在著概率包含區間、標準偏差（或其特定倍數）、均方根誤差等多種表示方式，且在這些表示方式的認識和使用上存在著一定的混亂。與此同時，在計量領域更多采用測量不確定度表達測量儀器的準確度特性，并以其對測量儀器進行合格評定或確定準確度等級。這些來自不同專業領域的關于準確度的不同表示方式，給從事導航設備檢測校準工作的技術人員帶來了相當的困惑。

本文作為一次溝通不同專業領域技術術語的努力，意在對目前國內導航領域常用的 “精度”一詞進行辨析，力圖使用規范的術語 “準確度”表達導航特性，并對 “準確度”的不同表示方式及其數據處理方法給予說明。

2 準確度相關術語

在幾個等同采用或參考采用國際相關標準的我國國家標準及 校準規范中，對 “準確度”及相關術語均給出了定義［1－3］，如表1所示。

由上述定義可以看出，在不同的國家標準和校準規范中，對準確度相關術語的定義并不完全一致。

在國家標準《GB／T 3358.2—2009統計學詞匯及符號 第2部分：應用統計》（idt ISO 3534—2：2006）和《GB／T 6379.1—2004測量方法與結果的準確度（正確度與精密度）第1部分：總則與定義》（idt ISO 5725—1：1994）中，準確度、正確度和精密度仍然可以進行定量表達：

（1）用術語 “準確度”表示的測量結果，包含了系統誤差分量和隨機誤差分量；準確度是正確度和精密度的結合。

（2）術語 “正確度”表示測量的系統誤差，一般用偏倚（bias）——重復測量的誤差平均值來估計。

（3）術語 “精密度”表示測量的隨機誤差，其量值用測試結果的標準差來表示。

在測量實踐中，系統誤差可以修正，而隨機誤差則不能修正，隨機誤差的分布范圍影響著測量結果的可信度。

而在國家校準規范《JJF 1001—2011通用計量術語及定義》（依據ISO／IEC GUIDE 99：2007最新修訂）中：

（1）準確度、正確度不再作為定量概念。

（2）精密度則只用于定義測量重復性、期間測量精密度或測量復現性，并明確指出用精密度指代準確度是錯誤的。

表1 相關國家標準／校準規范中對準確度相關術語的定義

（3）不確定度用于表征被測量量值分散性，由若干不確定度分量組成，用標準偏差（或其特定倍數）表示。

事實上，在計量學術領域，更多采用測量不確定度（簡稱 “不確定度”）給出測量儀器的準確度特性或評定其準確度等級［4－5］，且已被儀器制造行業廣泛接受。

顯然，術語 “準確度”并不能用術語 “精（密）度”代替，而在報告測量結果的準確度時，依據GB／T 6379.1—2004，一般要同時報告正確度（或稱 “偏倚”，一般稱為 “偏差”）和精（密）度；或者依據《JJF 1059.1—2012測量不確定度評定與表示》，同時報告被測量的估計值及其測量不確定度以及有關信息。后一種報告方式既是目前計量領域的學術要求，也是國家法制化計量的要求。

3 準確度特性的表征

目前廣泛使用的導航準確度特性有三種表征方式：

1）以標準偏差σ表示的準確度指標［6］，如1σ、2σ；

2）以概率包含區間表示的準確度指標，如CEP、SEP、95%概率誤差（的包含區間）等；

3）以均方根誤差表示的準確度指標。

其中，前兩種指標給出的是對隨機誤差的度量；均方根（root mean square，RMS）誤差則包括了系統誤差和隨機誤差。

在導航定位應用中，不同廠商的導航定位產品可能會采用上述不同的表征方式給出產品的準確度特性，因此，需要在不同的表征方式間建立數學關系，才能對產品的技術指標進行對比。在本文中，將以定位準確度指標為例，說明如何在不同的導航準確度表示方式間建立數學關系，對于其他導航準確度特性如速度準確度，可以按照相同的方式處理。

考慮到導航準確度常用于表示導航定位接收設備的關鍵技術指標，其測量方法、測量結果的報告以及準確度等級評定應遵循相關的國家校準規范，對如何計算定位結果及評定其不確定度亦將在下文予以討論。

3.1 以標準偏差表示的準確度

標準偏差（standard deviation）又稱標準差，是隨機變量分散程度的表征，對于隨機變量x，其標準差s的定義式為

對于較大樣本（n≥6 的測量值（隨機變量）x，其標準偏差s的估計值——實驗標準偏差σ一般用貝塞爾公式計算

標準偏差（或其特定倍數）用于表示導航定位準確度指標時，可以對定位誤差向量在直角坐標系下各方向的分量分別應用式（2），得到標準偏差的各方向分量，再通過向量合成得到多維標準偏差［4］。

例如，在站心坐標系（NEU，北、東、天方向）下，計算n次（已選擇適宜的數據剔除準則對定位數據進行剔除后）定位測量數據的水平誤差（1σ）和高程誤差（1σ）的方法如下：

1）計算在站心坐標系下第i個實時定位數據（Ni，Ei，Ui）在各方向的定位誤差（ΔNi，ΔEi，ΔUi），其中（N0i，E0i，U0i）為第i個實時定位的標準點坐標

2）計算定位偏倚（bias，一般譯為 “偏差”，即系統誤差）的各方向分量為

3）計算標各方向誤差分量的標準偏差為

4）計算水平標準偏差σH、三維標準偏差σ3d

3.2 以概率包含區間表示的準確度

是基于落在一定的區間（一維）、面積（二維）、體積（三維）內的隨機誤差均有特定的概率而定義的導航準確度指標，例如CEP（圓概率誤差）是指二維隨機誤差以50%的概率落在其內部的誤差圓之半徑，R95則是95%概率誤差圓的半徑，而SEP（球概率誤差）則是三維隨機誤差以50%的概率落在其內部的誤差球之半徑［7］。

在誤差數據的處理上，需要基于誤差的統計分布等假設，對該指標進行計算。

設在直角坐標系下測得一組定位數據（xi，yi，zi），其標準點坐標為（xo，y0，z0）。假設定位誤差各方向分量不相關且均服從正態分布，即：x～N（μx，σ2x）、y～N（μy，σ2y）、z～N（μz，σz2）。其中：μx、μy、μz分別為定位誤差各方向分量的數學期望（即平均值）；σx、σy、σz為定位誤差各方向分量的標準偏差。

因n個服從標準正態分布的獨立隨機變量的平方和服從自由度為n的χ2分布［9］，即有

由此可知，對于三維定位誤差，概率為p（基于χ2（3）分布可計算其對應的k2值）的點分布在一個中心為（μx，μy，μz），三軸分別為σx、σy、σz的誤差橢球內，該橢球的方程為式（7）。

同理，對于二維定位誤差，概率為p的點分布在一個誤差橢圓內，橢圓方程為

表2給出了不同維度下典型概率p對應的包含因子k，其中一維情況下，χ2分布退化為正態分布。

表2 概率與包含因子對照表

對于一維定位準確度指標，如高程的95%概率誤差包含區間，由表2有U95＝1.96σU，其中σU為高程誤差的標準偏差，由式（5）計算得到。

對于二維或三維定位準確度指標，表2給出了概率p對應的誤差橢圓（球）各軸長度與定位誤差各方向分量標準偏差間的轉換因子k。不過，一般情況下更希望得到的是相同維度下不同準確度指標之間的轉換關系，例如水平定位標準偏差σH與概率為p的水平定位誤差圓半徑Rp之間的關系。如此，為簡化計算，假設誤差橢圓（球）的軸比近似為1，即σx＝σy（＝σz），則誤差橢圓（球）退化為誤差圓（球）［9－10］。

例如，在站心坐標系（NEU坐標系）下對水平定位準確度指標應用上述各關系式，有

故

對于水平方向，在隨機誤差接近正態分布，且誤差橢圓軸比約為1的假設下，可取放大系數2.448／≈1.74，或取其安全的近似值2（水平誤差落在半徑為2σH的圓內的概率在95.4%～98.2%之間，具體值取決于誤差橢圓的軸比，2σH值通常作為水平誤差大小的95%界限［7］）

3.3 以均方根誤差表示的準確度

測量值x的均方根誤差定義［11］為

其中，為x的真值，注意其與標準偏差定義式（1）的區別，標準偏差給出的是測量值與其平均值之差的平方和的均值，而RMS給出的是測量值與真值之差的平方和的均值。

事實上，可以證明［10］

即測量值x的均方根的平方等于其偏倚Bias（x）與標準差s（常用其估計值σ表示）的平方和，其量值中同時包含有系統誤差和隨機誤差。

式（10）常用于間接測量時RMS指標的計算，舉例如下

圖1 間接測量示例

假設對于待測量L，只能通過測量L″和L′后求差得到，即有

分別對L″和L′進行多次測量，得到測量值L″i和L′ii＝12n由誤差傳播規律 有（假設L″與L′不相關）

其中，和分別為L″i和L′i的平均值，為L的理論真值，σL″和σL′分別為其標準偏差。

由式（10）有

需要指出的是，式（9）給出的均方根誤差由其定義而來，系由高斯提出，并被國內導航、測繪領域采用。但在國外科技文獻中，類似國內業界的RMS用法并不常見［5］，一般將RMS與標準偏差σ混用，例如在本文的三篇外文參考文獻 ［7，9－10］中，均給出類似于的表達，顯然，將DRMS等同為二維標準偏差。為便于討論，本文未采用上述國外文獻對RMS的使用方式，仍沿用了國內學術慣例。

3.4 以不確定度表示的準確度

依據國家校準規范《JJF 1069—2007法定計量檢定機構考核規范》的要求，法定計量機構開展各種類型的檢定、校準和檢測業務，均應按照JJF1059進行不確定度評定并予以報告，但目前在導航領域，不確定度并未得到廣泛應用。

不確定度是測量結果分散性的表征，用標準偏差（或其倍數）表示，由未修正的系統誤差分量以及各種隨機誤差分量合成得到［5］。下面仍就3.1給出的示例，說明如何用GUM法對水平定位測試結果的不確定度進行評定。

計算方法見式（4）。

2）分析各坐標軸（N、E）方向定位誤差的標準不確定度

首先以N向為例進行計算。

N向定位誤差的標準不確定度主要由三個分量構成：由重復性引入的不確定度分量uNA、由測量標準（標準點位）引入的不確定度分量uNB1、由被測導航接收設備的分辨力引入的不確定度分量uNB2，分別計算為

（1）對于由重復性引入的標準不確定度分量uNA，采用A類評定方法（統計方法）。對于n次重復測量得到的定位誤差結果（即誤差的算數平均值）的標準偏差，有

（2）對于由標準點位的坐標誤差（各方向均不超過a）引入的標準不確定度分量uNB1，采用B類評定方法，假設標準點位誤差為均勻分布，則

在一般的導航應用中，導航接收設備的定位準確度一般在米級以上，而標準點位坐標的各方向的誤差a均可以在分米級以下，對于準確度為米級以上導航設備，該分量小于總標準差的的1／3，根據微小誤差的取舍準則［12］，該分量可以不予考慮。

（3）對于由被測導航接收設備的分辨力引入的標準不確定度分量uNB2，導航接收設備的位置分辨力一般在經緯度方向上均優于0.001′，經計算可知，分辨力在N、E方向上均不超過2m，故

由上，可得到N方向定位誤差的標準不確定度uN

同理，可分析E方向定位誤差的標準不確定度uE。

由N、E方向的不確定度分量，得到水平定位誤差的標準不確定uH

3）計算定位誤差的擴展不確定度UH

一般情況下，取包含概率95%，基于3.2的分析，在服從二維正態分布的假設下，不確定度橢圓對應的包含因子k＝2.45，在不確定度橢圓的軸比為近似為1時，包含概率95%的不確定度圓的半徑U95為

一般擴展系數取其安全的近似值2，即

4）定位誤差測量結果的報告

4 結束語

在衛星定位導航領域，建議與國際學術慣例保持一致，使用 “準確度”而不是 “精度”表達導航特性。導航準確度特性是導航精（密）度和導航正確度的結合，一般而言，用準確度表示的測量結果由隨機誤差分量（由精密度表示）和系統誤差分量（由正確度表示）組成。系統誤差是可以修正的，而隨機誤差不可修正，其分散性影響測量結果的可信度。

在目前導航領域的實際應用中，導航準確度有三種廣泛使用的表征方式：以標準偏差表示的準確度、以概率包含區間表示的準確度、以均方根誤差表示的準確度。基于特定的統計分布等假設，可以在不同的準確度表示方式間建立數學關系，以對不同方式給出的準確度特性進行比較。

基于計量領域的學術要求和國家計量技術法規的要求，衛星導航業界未來也許會更多地采用測量不確定度表征導航定位設備的導航準確度指標，并以此進行合格評定或評定準確度等級。本文可以視為一次溝通不同專業領域技術術語和方法的嘗試，期待與業界同仁共同商榷，不當或謬誤之處敬請指正。

［1］ GB／T3358.2—2009，統計學詞匯及符號第2部分：應用統計［S］.

［2］ GB／T6379.1—2004，測量方法與結果的準確度（正確度與精密度）第1部分：總則與定義［S］.

［3］ JJF1001—2011，通用計量術語及定義［S］.

［4］ JJF1094—2002，測量儀器特性評定［S］.

［5］ JJF1059.1—2012，測量不確定度評定與表示［S］.

［6］ 趙芹，楊俊志.測量準確度及相關術語辨析［J］.測繪科學，2011，36（1）：75－76，89.

［7］ NATO STANAG4278－1995，Method of Expressing Navigation Accuracies［S］.

［8］ 周江文.誤差理論［M］.北京：測繪出版社，1979：109－119.

［9］ VAN DIGGLEN F.GNSS Accuracy Lies，Damn Lies，and Statistics［J］.GPS World，2007（January）：26－32.

［10］ KAPLAN E D，HEGARTY J.Understanding GPS Principles and Applications［M］.2nd.Boston：Artech House，2006：328－332.

［11］ 武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎［M］.武漢：武漢大學出版社，2003：20－21.

［12］ 費業泰.誤差理論與數據處理［M］.5版.北京：機械工業出版社，2004：63－67，73－74.