一類混合時滯復值神經網絡的動態行為分析

徐曉惠， 張繼業， 趙 玲

(1. 西華大學交通與汽車工程學院，四川 成都610039;2. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都610031)

眾所周知，神經網絡在信號處理、模式識別、聯想記憶等領域取得了廣泛的應用［1-2］. 神經網絡平衡點的存在性與穩定性是其應用的前提條件，因此學者們對不同類型的神經網絡平衡點的動力學行為進行了深入研究，并取得了很多重要的研究成果［3-10］.文獻［1-10］的研究成果都是針對實值神經網絡進行展開的. 然而，實值神經網絡在一些領域里應用時具有一定的局限性. 例如在交通系統中，當采用復值神經網絡取代實值神經網絡進行路牌識別后，由于復值信號攜帶的信息較實值信號更加豐富，可明顯減少錯誤，提高路牌識別的準確度［11］.鑒于復值神經網絡應用越來越廣泛，并且具有比實值神經網絡更加復雜的性質，因此對復值神經網絡平衡點的動力學行為研究是非常必要的.文獻［12］研究了一類離散復值神經網絡，并給出了判定平衡點存在性、唯一性和指數穩定的判定定理.文獻［13］在假設復值激活函數關于神經元狀態分別滿足有界或Lipschitz 條件的情況下，利用LMI 方法研究了一類具有固定時滯的復值神經網絡平衡點的動態行為. 此外文獻［14-16］也對復值神經網絡的動態行為進行了深入研究.

綜上分析，雖然關于復值神經網絡動態行為的研究已經取得了一些成果，然而所研究的復值神經網絡模型都較為簡單.在實際應用時，一方面，在網絡的硬件實現中，由于信號傳輸速度的有限性，使網絡系統中時間滯后不可避免.在神經網絡中引入時間滯后參量，有利于移動目標的圖像處理、移動物體速度的確定和模式分類. 另一方面，一般情況下，在神經元較少的時滯神經網絡中，有限時滯是一種較好的近似模型. 然而，由于網絡中各種并行通道的存在，使網絡具有一定的空間特征，這使得學者們試圖通過分布時滯來模擬網絡的時滯.目前關于復值神經網絡動態行為的研究尚未在模型中考慮混合時滯的情形. 因此，本文將在一類復值神經網絡模型中同時考慮可變時滯和分布時滯，利用矢量Lyapunov 函數法和M 矩陣理論，研究其平衡點的存在性、唯一性以及指數穩定性.

1 模型描述、基本假設以及引理

考慮如下混合時滯復值神經網絡:

式中:μkj(β)是［0，δ)上的連續函數，且μkj(0)=1，這里δ ＞0.

假設系統(1)的初始條件是zk(s)=φk(s)，其中φi(s)為(-∞，0］上的有界連續函數.

記z#=(，…)T為系統(1)的平衡點.

定義1 若存在常數Γ ＞0 和λ ＞0，對于所有J∈Cn及t≥0，有

成立，則稱系統(1)的平衡點z#是指數穩定的.

令L=diag(l1，l2，…，ln).

引理1［2］對于矩陣A =(akj)n×n∈Rn×n，如果所有非對角元素akj≤0，k≠j，則下面陳述是等價成立的:

(1)A 是M 矩陣;

(2)A 的各階順序主子式均為正;

(3)存在u∈Rn＞0，使得Au ＞0;

(4)A 的所有特征根的實部為正.

定義H(z)=［H1(z)，H2(z)，…，Hn(z)］T是與系統(1)相關的一個映射，其中

若H(z)是Cn上的同胚映射，那么顯然系統(1)具有唯一平衡點z#.

2 主要結論

定理1 若假設1 是成立的，且矩陣W =(wkj)n×n是M 矩陣，那么對于任意輸入J∈Cn，系統(1)存在唯一平衡點z#，其中

證明 由于矩陣W=(wkj)n×n是M 矩陣，根據引理1 可知，存在正向量ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，使得

那么存在一個充分小的正數使得不等式(4)成立:

下面將證明映射H(z)是一個同胚映射.

(1)首先證明Hk(z)是單葉映射.

若存在u，v ∈Cn，且u ≠v，使得Hk(u)=Hk(v)，即

將式(5)兩邊同時乘以(uk-vk)*，整理有

將式(6)兩邊同時取模，并考慮到假設條件1，有

將式(7)進一步整理，有

其中

即

將式(9)兩邊同時取共軛，有

進一步，將式(9)和式(10)相加，并考慮到假設1，有

將式(11)兩邊同時乘以ξk，k =1，2，…，n，并求和得到

利用Holder 不等式，進一步整理式(12)，有

綜合(1)、(2)可知映射H(z)是Cn上的一個同胚映射，因此系統(1)存在唯一平衡點.

接下來將給出判定系統(1)的平衡點z#指數穩定的充分條件.

定理2 若假設1 是成立的，且矩陣W =(wkj)n×n是M 矩陣，那么任意外部常輸入J∈Cn，系統(1)的平衡點z#是指數穩定的.

證明 令～z=z-z#，則系統(1)可改寫為

式中:gj(～zj)=fj(zj)-fj().

方程(14)的初始條件為ψk(s)=φk(s)-，-∞＜s≤0.由定理2 條件可知系統(1)的平衡點z#存在且唯一，故方程(14)存在唯一平衡點～z=0.

構造函數:

根據式(3)可知:

由于Fk(β)是關于β 的連續函數，必然存在常數λ ＞0，使得Fk(λ)＜0，即

選擇如下向量Lyapunov 函數:

在不引起混淆的情況下，將Vk(～zk(t)，t)記作Vk(t)，k=1，2，…，n.

計算Vk(t)沿方程(14)的導數，并考慮到假設1，有

定義曲線ζ={η(χ)∶ηk=ξkχ，χ ＞0，k =1，2，…，n}和集合Ω(η)={h∶0≤h≤η，η∈ζ}.顯然當χ ＞χ'，Ω(η(χ))?Ω(η(χ')).

根據定義1 知，系統(14)的零解～z =0 是指數穩定的，也就是說系統(1)的平衡點～z#=0 是指數穩定的.

當系統(1)中矩陣P =0 時，該系統僅含有可變時滯，即

當系統(1)中矩陣B =0 時，該系統僅含有無窮時滯，即

系統(19)和(20)中的符號定義與系統(1)是相同的.進而，由定理1 和定理2 很容易得到如下推論:

推論1 若假設1 是成立的，且矩陣W =(wkj)n×n是M 矩陣，那么對于任意輸入J∈Cn，系統(19)存在唯一指數穩定的平衡點z#，其中

推論2 若假設1 是成立的，且矩陣W =(wkj)n×n是M 矩陣，那么對于任意輸入J∈Cn，系統(20)存在唯一指數穩定的平衡點z#，其中

注1 當系統(19)中可變時滯τkj為固定常數τj(j=1，2，…，n)時，文獻［13］采用LMI 方法對此類復值神經網絡的動態行為進行了研究，并得到了相應的穩定性判定條件，見定理4［13］. 由于基于LMI 方法(本質上屬于加權Lyapunov 函數法)所得到的穩定性判據含有待定矩陣，即文獻［13］中的判據是隱式的，因此不便于應用. 本文所得到的判據是基于向量Lyapunov 函數法所得到的顯式判據，不但形式簡單且應用方便.

注2 當系統(1)中的神經元狀態定義在實數域時，模型(1)與文獻［2］所研究的實值神經網絡模型相同，故本文所研究的模型更具有一般性. 此時，本文的研究方法和所建立的判據對相應的實值神經網絡仍然適用.

3 算 例

考慮如下復值神經網絡:

其中:z1(t)=x1(t)+y1(t)i，

z2(t)=x2(t)+y2(t)i.

假設自反饋矩陣

加權矩陣分別為

激活函數為

外部輸入J1=J2=0.

經計算，有

進一步計算，有

由引理1 可知矩陣W 是M 矩陣. 根據定理1和定理2 可以得出結論:系統(21)存在唯一平衡點，且該平衡點是指數穩定的.

令系統(21)中的可變時延為

令

令初始條件為

圖1 給出了系統(21)的神經元實部狀態曲線和虛部狀態曲線，圖2 給出了該系統的神經元狀態幅值曲線.由仿真結果可以看出系統(21)的平衡點是唯一存在且穩定的.

圖1 神經元狀態曲線Fig.1 The state curves of neuro of Eq. (21)

圖2 神經元狀態幅值曲線Fig.2 The amplitude curves of neuro states of Eq. (21)

4 結束語

本文研究了一類具有可變時滯和無窮時滯的復值神經網絡的動態行為. 假設神經元狀態、加權矩陣以及激活函數定義在復數空間.首先利用同胚映射相關引理以及M 矩陣理論，分析了系統平衡點的存在性和唯一性. 然后利用向量Lyapunov 函數法，研究了該系統平衡點指數穩定性，并得到了判定該系統存在性、唯一性和指數穩定性的充分條件.最后通過一個數值仿真算例驗證了所得到結論的正確性.

致謝:西華大學重點科研基金項目(No.zl320312);汽車工程四川省高等學校重點實驗室開放研究基金資助項目(szjj2013-030).

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