旋轉封閉薄壁球殼輻射噪聲的多極展開方法

侯明明，吳九匯，姜 寧

（1.西安交通大學機械工程學院，710049，西安；2.南通職業大學機械工程學院，226007，江蘇南通）

旋轉機械工作時產生的噪聲主要包括機械結構噪聲和氣動噪聲兩大部分。機械在正常運轉時，氣動噪聲占主要成分，也是比較難以控制的。由于氣動噪聲產生的機理十分復雜，目前還缺乏能完全駕馭復雜流動過程噪聲產生機理及其分布的成熟理論和系統設計體系。因此，旋轉機械氣動噪聲產生及分布機理的研究具有重要意義。

20世紀中后期，“聲比擬”理論的提出及應用使得氣動噪聲理論研究取得突破性進展［1］。1952年英國科學家Lighthill運用聲類比法得到了著名的Lighthill方程［2-3］，這成為研究氣動聲學問題的基本方程。1955年Curle采用Kirchhoff積分方法將Lighthill的理論推廣到考慮靜止固體邊界的影響的理論［4］。1969年 Fowcs Williams和 Hawkings應用廣義Green函數法將Curle的結果擴展到考慮運動固體邊界對流體發聲的影響，得到了著名的FWH方程［5］，FW-H方程被認為是迄今為止Lighthill聲學類比法最一般的表達形式。除“聲比擬”方法外，20世紀60年代，Powell和Howe等研究了聲波和湍流的相互作用問題［6-9］。研究表明，聲波的產生同流體中的旋渦具有密切的關系，從而提出了渦聲理論，該理論較“聲比擬”方法能更明晰地從物理意義的角度解釋聲波的產生以及聲波與渦之間的能量關系。另外，Lighthill詳細研究了點源作勻速直線運動時產生的聲場，得到了輻射聲場在遠場的結果［1］。Lowson詳盡研究了點聲源在任意運動情形下產生的聲場，并得到了該情形下點聲源在遠場的聲壓解［10］。

另一個經典的聲學公式是Kirchhoff方程，該方程是假設在聲源周圍有一個流動狀況已知的假想面，然后通過積分來求解線性聲學問題。為了確保在假想面外線性聲場占據主導地位，這個面所在的位置必須距離聲源足夠遠［11］。1882年Kirchhoff公式被首次提出，1930年Morgans用格林函數法推導出了運動聲源面的Kirchhoff公式，1988年Farassat和Myers運用廣義函數理論推導出了更一般形式的 Kirchhoff公式［12］。

對于葉片式旋轉機械來說，流激振動引起的外部輻射噪聲機理的研究可集中于該機械內部葉片旋轉過程中產生的氣動噪聲。氣動噪聲聲源可以通過多極展開分解為單極子噪聲源、偶極子噪聲源和四極子聲源，即旋轉葉片表面上任一微元的厚度源、力源和黏滯應力源分別對應單極子源、偶極子源和四極子源。因此，在線性條件下，旋轉過程中流激振動引起的外部輻射噪聲，就是由葉片上所有微元處的單極源、偶極源在殼體外部輻射噪聲場的疊加。

國內上海交通大學的鐘芳源教授、清華大學的居鴻賓等對旋轉運動點聲源近場聲學頻域解進行了研究［13］。2000年，西安交通大學的吳九匯從理論上推導出了自由空間旋轉點源的聲場［14］，并進一步研究了旋轉偶極聲源的輻射聲場。同年，吳九匯采用覆蓋域的概念，給出了任意形狀封閉薄殼的內部散射聲場的統一表達式，并用互易原理求解封閉薄殼在外力作用下的內部聲場［15］。2003年，吳九匯從球坐標中的聲波波動方程出發，利用本征函數展開方法和界面邊界條件，導出了雙層彈性封閉球殼的內部散射聲場表達式［16］。2006年，時勝國等以實際應用需求為背景，從理論上分析了平面聲波在彈性球殼上的衍射聲壓場［17］。2010年，劉志紅應用運動媒質聲學理論和克希荷夫積分方法，從運動聲源聲輻射預估模型和聲場特性兩個方面對聲輻射預估理論進行了深入研究［18］。2012年，夏琳琳利用解析法以及有限元法，以球殼、圓柱殼和兩端帶帽加肋圓柱殼為例，研究分析了點激勵下輻射聲場的標量及矢量特性［19］。

本文在此基礎上，利用聲學互易定理，對簡單封閉薄壁球殼作旋轉運動時的輻射聲場進行了研究。

1 聲學互易定理

聲學互易定理［20］將兩個聲源的聲場聯系起來，它適用于線性系統，滿足聲場的疊加原理，即由聲源和表面振動產生的空間任一點的聲場進行疊加而互不影響。

如圖1所示，當空間存在彈性物體或彈性殼體時，物體表面S與無限大半徑的球面S′圍成的聲場體積為V，q1（r）和q2（r）為兩個聲源，f1（r）和f2（r）為兩個分布力。

圖1 彈性表面在聲源和力作用下的互易原理示意圖

彈性表面在一個簡單聲源q1（r）和一個外力f2（r）的作用下，空間任一點rt（rt，θt，φt）處的輻射聲壓P2（r，rt）和q1（r）聲源作用下的散射聲場P1（r，rt）之間的關系可表示為

2 封閉薄壁球殼散射聲場計算

根據聲學互易定理，為了求解封閉薄壁球殼在外力作用下的輻射聲場，首先要求解散射聲場。選取球坐標系（r，θ，φ），使薄壁球殼中心和坐標原點重合，球殼半徑為R，如圖2所示。假設在薄壁球殼內部任意一點r0（r0，θ0，φ0）處存在一單位強度的點聲源q。由于聲源q的作用，球殼內部的散射聲場可以表示為［21］

圖2 封閉薄壁球殼內部聲散射示意圖

球殼外部輻射聲場為

式（2）和（3）中：Bn、Cn為待定系數；波數k=ω／c，c為聲速（kr）為第一類Hankel函數；（cosθ）為第一類Legendre函數。下面用薄壁球殼徑向位移方程以及邊界條件來確定Bn、Cn的值。根據文獻［15］、［22］、［23］，由薄壁球殼徑向位移滿足的六階方程，以及薄壁球殼與周圍介質在交界面上滿足的邊界條件可確定Bn和Cn的值

式中：jn（kR）為球Bessel函數；h為球殼厚度；R 為封閉球殼半徑；μ為波松比；k=ω／c為波數；ω為聲場角頻率；c為聲速；ε=h2／12R2；kt=1+ε；kr=1+3h2／20R2。

同理，可以得到在封閉薄壁球殼外部某一點r1（r1，θ1，φ1）處存在一單位強度點聲源時，外部任一點r（r，θ，φ）處的散射聲場的表達式，即

3 旋轉薄壁球殼的空間輻射聲場

前面的計算中，都是以薄壁球殼自身的球心為坐標原點而建立的空間球坐標系。要研究薄壁球殼圍繞一個固定旋轉軸作旋轉運動，就要計算旋轉輻射聲場，而且要對坐標系進行轉換。

3.1 空間坐標系的轉換

如前所述，在應用式（10）求解聲場中某一點A的散射聲場時，得到的結果只是局部坐標下的散射聲場。下面進行坐標系的轉換，如圖3所示。

圖3 空間坐標系轉換示意圖

圖中oxyz為空間直角坐標系，ocxcyczc為空間局部直角坐標系。點oc為旋轉薄壁球殼的球心坐標為（xc，yc，zc），相應的球坐標為（rc，θc，φc），則空間任一點A在oxyz坐標系中的坐標為（x，y，z），相應的球坐標形式為（r，θ，φ）。經過數學計算可求解出點A在ocxcyczc坐標系中的表達式。

因此，將局部坐標下的散射聲場轉換為全局坐標下的散射聲場的表達式為

3.2 旋轉薄壁球殼空間輻射聲壓計算

對于任意運動物體的聲場結構，可由FW-H方程描述［5］。假設聲源處于無限空間中，聲學介質靜止且場是準定常的。首先建立坐標系，設觀察點位置和時間坐標分別為X，t；在此聲學環境中有一運動聲源分布V（τ），其強度為P（r，τ）；此運動聲源的位置和時間坐標分別為ξ和τ，此聲源產生的聲壓為

式中：rS=|X-ξ（τ）|表示源到觀察點間的距離；g=t-τ-rS／c為延遲時間。對上式做傅里葉變換［24］，可得任意運動聲源聲場的頻域解

下面討論封閉薄壁球殼作為聲源在做旋轉運動時的情形。采用如圖4所示的球坐標系，假設薄壁球殼在xy平面內旋轉，坐標原點取在旋轉中心處，z為極軸，也是旋轉軸，又設薄壁球殼初始位置在rb處，即球心在rb（r，π／2，φb）處，空間觀察點 A 在r0（r0，θ0，φ0）處。任意時刻τ，薄壁球殼旋轉運動到r處，即球心位置移到r（r，π／2，φ）處，若其旋轉角頻率為Ω，則φ=φb+Ωτ，rS=+r2-2r·r0cosβ）1／2為旋轉薄壁球殼球心到觀察點的距離，β為r0和r之間的夾角。

圖4 薄壁球殼旋轉運動示意圖

經過數學計算，式（13）可以改寫為

式中P（r，ω）是P（r，τ）的傅里葉變換。

根據文獻［25］有如下公式

式中：r＜和r＞分別表示r和r0中的較小值和較大值。Pm（cosβ）可根據 Legendre函數的加法公式［25］展開如下

式（18）即為封閉薄壁球殼作旋轉運動時空間任一點處輻射聲壓的計算公式。

3.3 旋轉薄壁球殼空間輻射聲壓的實例計算

如圖4所示，假設現有一封閉的薄壁球殼在自由空間做旋轉運動，旋轉平面在xy平面，旋轉軸是空間坐標軸z軸。空間有一觀察點A在ro（ro，θo，φo）處，球殼的初始位置在rb（r，θb，φb）處，在任意時刻τ球殼旋轉運動到r（r，θ，φ）處，若旋轉角頻率為Ω，則有φ=φb+Ωτ。

計算實例中的各參數分別設定如下：球殼自身半徑為R，球殼的壁厚為h=0.001m；球殼材質為鋼球，已知鋼材的密度為ρ=7 800kg／m3；彈性模量E=2.1×1011N／m2；泊松比μ=0.3；平均剪切系數ks=1.2；大氣壓強P0=1.013×105Pa；空氣介質密度為ρ0=1.293kg／m3；聲速c=340m／s；觀察點位置坐標，r0=2.0m，φ0=-π／4；球殼的初始相位角為φb=0；球殼的旋轉半徑r=0.5m。針對不同的旋轉頻率ω0或不同的球殼半徑，利用式（18）的公式進行以下3組計算：計算結果分別如圖5、6、7所示，它們表示在不同觀察角θ0處聲壓幅值的諧波分布。

圖5 旋轉薄壁球殼輻射聲壓幅值的諧波分布（第1組計算）

圖6 旋轉薄壁球殼輻射聲壓幅值的諧波分布（第2組計算）

圖7 旋轉薄壁球殼輻射聲壓幅值的諧波分布（第3組計算）

由圖可以看出，薄壁球殼旋轉時產生的輻射聲場受旋轉頻率和球殼半徑影響比較大，可得如下的聲場特性：

（1）隨觀察角θ0的增加，諧波分布越來越豐富，且對應的聲壓幅值在大部分區域都有所增強；

（2）旋轉頻率變化對諧波分布影響非常大，會出現明顯的多普勒效應；

（3）θ0較小時，當旋轉頻率增大，諧波分布變化不大，θ0較大時，隨著旋轉頻率增大，聲壓幅值諧波分布更加豐富，且聲壓幅值明顯增大；

（4）當旋轉頻率保持不變時，隨著薄壁球殼半徑的增大，在所有θ0范圍內，聲壓幅值都有所加強，諧波分布也愈豐富。

4 任意復雜形狀旋轉封閉薄殼空間輻射聲場

前面主要針對封閉的薄壁球殼展開研究，但在一般情況下，面對的都是一些復雜形狀的殼體結構，此時就不能直接、簡單地應用前文的推導結果來計算、分析旋轉輻射聲場及聲振耦合的問題。為此，引入覆蓋域的方法［15，26］，結合上文中簡單封閉球殼的散射聲場來求解出任意復雜形狀的封閉薄殼的散射聲場［15］，并在此基礎上，運用上文對旋轉薄壁球殼輻射聲場的分析方法進一步給出復雜形狀封閉薄殼旋轉時的輻射聲場的計算方法。

根據覆蓋域方法的基本原理，假設任意復雜形狀封閉薄殼的邊界是P，一般情況下，該邊界P總是可以看作是由若干片球面P1，P2，…，Pk，…，Pn（k=1，2，3，…，n）擬合而成的。根據覆蓋域的思想，現有n個組成復雜形狀薄殼B的覆蓋球殼Bk（k=1，2，3，…，n），其中每一個覆蓋球殼Bk都完全覆蓋了整個薄殼B，并且該覆蓋球殼有且僅有一片邊界MBk與球面發生重合。這樣n個覆蓋球殼的共同區域，即它們的交集，就組成了任意復雜形狀的封閉薄殼。

利用覆蓋域的思想，可將任意復雜形狀封閉薄殼的散射問題轉化為簡單薄壁球殼散射聲場的疊加問題。薄壁球殼的散射聲場計算，在上節中已經得到，因此任意復雜形狀封閉薄殼的散射聲場可以表示為

至此，就可以運用簡單薄壁球殼旋轉運動時輻射聲壓的求解方法與步驟，推導出復雜封閉薄殼旋轉運動的輻射聲場。

5 總 結

本文主要研究了封閉薄壁球殼旋轉運動時的輻射聲場問題。在封閉薄壁球殼的內、外部散射聲場的基礎上，利用聲學互易定理和氣體動力學的基本理論，推導出了封閉薄壁球殼做旋轉運動時的輻射聲場計算公式，并用該公式對一具體的旋轉薄壁球殼進行了實例計算，得出了旋轉薄壁球殼的一些聲場特性。在此基礎上，通過覆蓋域方法，給出了一種可計算任意復雜形狀旋轉封閉薄殼輻射聲場的思路和方法。這一研究為任意旋轉聲源輻射聲場的定量分析提供理論基礎，也為旋轉機械氣動噪聲內在機理的研究提供了一種新的思路與方法。

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