用于非規則波導傳輸特性分析的高效坐標變換法

倪中非，黃斌科，師振盛

（西安交通大學電子與信息工程學院，710049，西安）

波導的傳輸特性一直是微波工程領域的一項重要基礎研究課題。隨著微波傳輸系統的不斷發展，大量性能各異的非規則截面波導應運而生，由于結構的復雜性，傳統方法在研究這類新型波導的傳輸特性問題時面臨重重困難。目前，非規則波導問題的求解大多是利用有限差分法和有限元法等數值方法直接進行求解［1-2］。由于非規則波導的截面具有不規則性，為保證計算精度，往往需要大量的剖分網格，導致計算資源消耗大、處理效率低、編程實現復雜等問題，因此如何高效、精確、方便地求解非規則波導的傳輸特性問題仍是目前微波工程領域的研究熱點之一。

早期的傳統坐標變換法以解析保角變換為基礎，其關鍵問題在于如何確定具體的變換函數，然而這一過程通常比較困難，導致其在解決實際工程問題上的局限性很大［3］。2006年，Pendry和Leonhardt提出的坐標變換理論為新型微波器件的分析和設計提供了一條全新的思路［4］。該理論依據Maxwell方程組基于坐標變換的形式不變性，將空間坐標變換和媒質參數變換有機聯系起來，使得以往復雜的分析和設計過程變得直觀高效。目前，該方法已被廣泛應用于隨機粗糙面散射、理想匹配層（PML）吸收邊界、新型微波器件設計和多尺度復雜邊值問題數值仿真等領域［5-7］。

本文將坐標變換法引入到非規則截面波導的分析中，通過坐標變換，將不規則邊界區域變換為規則邊界區域，而區域變換的影響則通過填充變換媒質來等效，從而將原非規則波導轉變為填充變換媒質的等效規則波導來處理，降低了邊界處理算法的復雜度和剖分區域的網格密度，有效提高了數值計算效率。本文利用有限元法結合坐標變換法計算了橢圓波導和矩形脊波導的截止波數和場分布，并且與利用有限元法直接對原問題求解的結果進行比較，充分驗證了本文方法的高效性。

1 坐標變換法基本理論

坐標變換法的理論基礎為Maxwell方程組的形式不變性［8］。首先，定義一個坐標變換F：Ω→~Ω，將原空間域Ω中的所有點P映射到變換域~Ω中，記為點~P，即

當原空間Ω中的媒質無耗時，變換媒質同樣為無耗媒質。

本文在分析非規則截面波導模型時，利用坐標變換法將非規則截面波導變換為規則截面波導進行數值仿真。在此取非規則波導為原空間域Ω，經坐標變換所得的規則波導為變換域~Ω。在原非規則波導中電場矢量E（r）和磁場矢量H（r）滿足

由Maxwell方程組的形式不變性可知，變換后的等效規則波導中電場、磁場滿足

由式（5）～式（8）可知，原非規則波導和變換后等效規則波導中的電場、磁場之間存在如下關系

取波導軸向沿z方向，由于波導軸向的均勻性，可將三維模型簡化為二維處理。在二維情況下，變換域中的縱向場方程為

由式（15）～式（17）可見，通過求解坐標變換所得等效規則波導的截止波數和場分量），即可獲得原非規則波導的傳輸特性。方程（11）和（12）中的截止波數和場分量）可利用有限元法轉化為廣義本征值問題來計算［9］

式中：A和B為有限元離散得到的稀疏矩陣。

本文在使用有限元方法計算時，剖分單元采用三角線性元，這樣式（4）的Jacobian矩陣就可方便地由剖分單元的基函數和節點坐標值計算得到［10］。

2 仿真驗證及分析

本文利用坐標變換法分析了橢圓波導和矩形脊波導的傳輸特性。通過坐標變換分別將橢圓波導和矩形脊波導轉化為等效的圓波導和矩形波導，然后利用有限元法分別計算了其截止波數和縱向場分量。截止波數和縱向場分量在原波導中記為k′c、E′z（x，y）（TM 模）、H′z（x，y）（TE模），在變換后的規則波導中記為經坐標反變換后所得原非規則波導橫截面上的縱向場記為Ez（x，y）和Hz（x，y），由等效波導求得的截止波數相對于原非規則波導截止波數的誤差系數記為δkc）×100%，縱向場的誤差系數記為δf）×100%，其中f′代表E′z（x，y）（TM 模）或者 H′z（x，y）（TE模），f″代表由Ez（x，y）或者 Hz（x，y）在原非規則波導剖分網格點上進行加權插值得到的場值。本文結果由Matlab 2012計算所得，計算機配置：內存為1GB，CPU為Celeron（R）。

2.1 橢圓波導傳輸特性

利用坐標變換法將空氣填充的橢圓波導用填充變換媒質的圓波導來等效，Ω和~Ω分別為橢圓波導截面和等效圓波導截面，其坐標變換關系為F（r）：），即

式中：rα、rβ分別為空間~Ω和Ω中邊界點Pα和Pβ的位置矢量；r為空間Ω中點的位置矢量。橢圓波導到等效圓波導的坐標變換過程如圖1所示。

圖1 橢圓波導到等效圓波導的坐標變換示意圖

取橢圓波導截面的長、短半軸分別為a=10mm，b=6mm，等效圓波導截面的半徑為r=6mm。為較好地逼近曲線邊界，采用三角網格剖分。表1列出了橢圓波導和其等效圓波導前6個模式的截止波數及誤差系數δkc和δf。表2對本文方法和傳統方法的計算量和計算時間進行了對比。圖2所示為橢圓波導和其等效圓波導橫截面上主模TEc11模的縱向場分布。

表1 橢圓波導和其等效圓波導的截止波數及相對誤差

表2 本文方法和傳統方法的計算量和計算時間對比

由表1可見，經坐標變換所得的圓波導和原橢圓波導的傳輸特性完全等效，截止波數的最大相對誤差不超過3／10 000，場分布的最大相對誤差不超過8／10 000。由表2可見，本文方法在計算內存和計算時間上分別比傳統方法減少了近60%和50%，相比于利用有限元法直接求解橢圓波導，經坐標變換所得的等效圓波導不僅邊界條件處理更為簡單方便，而且能有效節省計算資源，這也是本文方法的主要優勢所在。

圖2 橢圓波導和其等效圓波導橫截面上TEc11模的縱向場分布

2.2 矩形脊波導的傳輸特性

利用坐標變換法，將矩形脊波導變換為局部填充變換媒質的等效矩形波導，如圖3所示。圖3中坐標變換將左圖中虛線框與脊所圍的區域Ω映射到右圖中的矩形陰影區域即變換域~Ω，坐標變換關系為

式中：rα、rβ、rγ分別為邊界點Pα、Pβ、Pγ的位置矢量；r為區域Ω內點的位置矢量；變換域~Ω中填充變換媒質的參數由式（2）、式（3）計算得到。

圖3 矩形脊波導到等效矩形波導的坐標變換示意圖

取矩形脊波導的長l、寬w為100mm、50mm，脊高度h分別為5mm、10mm和15mm；等效矩形波導的長l、寬w為100mm、50mm，填充變換媒質區域的長、寬取30mm、15mm。

表3給出了矩形脊波導和其等效矩形波導在不同脊高度下幾種模式的截止波數及誤差系數δkc和δf。同樣，表4對本文方法和傳統方法的計算量和計算時間進行了對比。

由表3可以明顯看出，加脊后主模TE10模的截止波數降低，且隨脊高度的增加，主模截止波數進一步減小，而TM模及TE01、TE20模的截止波數增加，從而使得矩形脊波導的工作頻帶變寬。由表4可知，相比于矩形脊波導復雜的導體邊界，等效矩形波導的邊界簡單規則，可以降低空間網格的剖分密度，有效節省計算資源。

表3 3種脊高度下矩形脊波導和其等效矩形波導的截止波數及相對誤差

圖4所示為脊高度取10mm時，矩形脊波導和其等效矩形波導橫截面上主模TE10模的縱向場分布。由圖4可見，等效矩形波導中通過填充的變換媒質控制電磁場分布，使得其內部場分布和原矩形脊波導的近乎相同。

表4 本文方法和傳統方法的計算量和計算時間對比

圖4 矩形脊波導和其等效矩形波導橫截面上TE10模的縱向場分布

值得強調的是，有限元求解時，對于取不同脊高度的情形，如果直接對矩形脊波導進行求解，每種情形都需重新建模剖分，而采用等效矩形波導時，僅建模剖分一次，每次只需重新計算填充變換媒質的參數即可，有效降低了處理過程的復雜度。

3 結 論

本文將坐標變換法引入到非規則波導傳輸特性問題的分析中，通過坐標變換，將非規則波導轉變為填充變換媒質的等效規則波導。仿真結果表明，與傳統直接對非規則波導進行數值求解相比，本文方法實現簡單，在保證高精度的同時，可有效降低數值仿真的復雜度。本文方法的研究結果可應用于曲面邊界、粗糙邊界等復雜邊值電磁問題的高效數值仿真中。

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