壓電磁耦合振動能量俘獲系統的非線性模型研究

周生喜，曹軍義，Alper ERTURK，林京，張西寧

（1.西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室，710049，西安；2.佐治亞理工學院機械工程學院，30332，美國 亞特蘭大）

近年來，隨著電子技術的飛速發展，無線傳感器等微型設備的能量消耗越來越少，利用周圍環境能量為其供能已成為可能，也是未來工程應用研究的迫切問題。與太陽能、風能、溫差、射頻輻射等環境能量相比，振動能量具有來源廣泛、相對穩定且能量密度較高等優點，因此非常適合為無線傳感器提供能量［1-2］。壓電式振動能量俘獲系統由于具有能量密度高、裝置簡單、易于實現等優點［3］，已成為科學界和工程界期望的工程應用主角，其中懸臂梁式壓電能量俘獲系統是最受關注的壓電能量俘獲系統之一。由于傳統的懸臂梁式壓電能量俘獲系統的有效頻帶過窄，與周圍環境振動頻率匹配差，俘獲的能量嚴重受限于周圍環境的振動頻率，因此俘獲能量的效率較低，在很多情況下并不能滿足實際需求。

為了解決上述問題，國內外學者做了大量研究，目前主要根據機械原理［4-8］和引入非線性磁場因素的方法［9-15］來提高壓電能量俘獲系統的有效頻帶。其中，Ferrar等人將永磁鐵添加到壓電能量俘獲系統中，組成了新的非線性磁耦合壓電能量俘獲系統［9］，該系統的有效頻帶遠遠高于傳統的壓電能量俘獲系統。Zhou等人設計了一種外部磁鐵可旋轉的壓電磁耦合能量俘獲系統［10］，通過調整外部磁鐵的角度，得到了4～22Hz的有效頻帶，并分析了在升頻、降頻諧波信號激勵下系統的動力學響應。Sebald等人根據牛頓第二定律和諧波平衡法，建立了壓電磁耦合懸臂梁歸一化的簡化模型［11］，提出激勵信號和控制策略是影響系統有效頻帶的重要因素。Stanton等人由Duffing方程建立了單穩態壓電磁耦合能量俘獲系統歸一化的簡化模型［12］，研究了外部磁鐵的位置對懸臂梁動力學特性的影響，結果表明，不同外部磁鐵的位置可以得到6Hz以上的有效頻帶。Erturk等人由Duffing方程和基爾霍夫定律，建立了雙穩態壓電磁耦合懸臂梁系統歸一化的簡化模型［13-14］，研究了該懸臂梁的非線性運動特性。Lin等人提出以電子秤測量磁場力、以分式表達式來描述磁場力的方法［15］，并建立了壓電磁耦合能量俘獲系統的動力學模型。

上述研究的不足之處在于，歸一化的簡化模型雖然可以描述系統基本的動力學特性［11-14］，但是不能夠預測系統的跳躍頻率、最大電壓和有效頻帶等關鍵指標。使用電子秤測量磁力的方法［15］，雖然可以得到準確的磁力數據，但裝置比較復雜、通用性較差。因此，本文提出了以微型測力儀測量系統的非線性回復力，并采用多項式方程獲取回復力參數的方法，同時根據哈密頓原理、歐拉-伯努利梁理論、壓電理論、基爾霍夫定律等，建立了壓電磁耦合能量俘獲系統精確的非線性動力學模型。研究結果表明，該模型能夠準確地描述系統的動力學特性，仿真與實驗結果基本相一致。

1 壓電磁耦合能量俘獲系統的建模

如圖1所示，系統的結構由壓電片、中間金屬層、懸臂梁端部磁鐵、外部磁鐵等組成［10］，外部磁鐵在懸臂梁運動的空間產生磁場，使得懸臂梁受到非線性磁場力的作用，從而將懸臂梁的線性剛度調節成非線性剛度。當懸臂梁受到外界沿z方向的激勵時，懸臂梁將發生振動并產生變形，根部的壓電片隨之運動并受力產生變形，由于壓電效應，壓電片產生電荷并分布在z方向的2個側面上。

本文的實驗裝置符合以夾持、電學邊界條件為短路的第2類壓電方程［16］，其表達式為

式中：S為應變矢量；T為應力矢量；E為電場強度矢量；D為電位移矢量；e為壓電應力常數張量矩陣；eT為e的轉置矩陣；cE為電場強度為常數時壓電材料的彈性剛度系數；εs為應變為常數時的介電常數。

圖1 系統的結構原理圖

根據哈密頓原理［17］，壓電懸臂梁拉格朗日函數的變分vi在任何時間段t1、t2內應該恒為0，即

式中：δ為變分符號；Ek、Ep、Ea分別為動能、勢能、外部激勵能。由于懸臂梁端部質量塊變形微小，可將其視為集中質量，則式（2）可表示為

式中：Vs、Vp分別為中間層體積、壓電層體積；ρs、ρp分別為中間層密度、壓電層密度；u為z方向的撓度矢量；mt為端部集中質量；Nf、Nq分別為作用在懸臂梁上的力和電量的個數；fi（xi）為作用在xi處的力；v、qj分別為作用在懸臂梁上的電壓、電荷。

將式（1）代入式（3），可得

式中：cs為中間層的彈性剛度系數。Ek、Ep的變分為

將上式代入式（2）可得

為了求得式（4）的解，對壓電磁耦合能量俘獲系統做如下假設［17］。①假設壓電懸臂梁遵循Rayleigh-Ritz原理，即認為懸臂梁在x方向上各點的撓度是各階模態的組合，得到

式中：Nm為分析模態數；φi（x）、Φ（x）分別為第i階模態的振型函數、總的模態振型函數矩陣；ri（t）是第i階模態振型對應隨時間變化的系數矩陣；r（t）為總的模態振型函數矩陣對應的系數矩陣。②假設壓電懸臂梁遵循歐拉-伯努利梁理論，即懸臂梁上某點的應力是該點的撓度關于懸臂梁長度的二階導數和與中性層距離的乘積

式中：dz為懸臂梁上的點到中性層的距離。③假設電場在壓電片上的分布是常值。當壓電片并聯時

式中：ts、tp分別為中間層和壓電層的厚度。

當懸臂梁自身電容較大時具有較好的輸出特性，此時z方向的電壓常函數v（t）=v，場矢量函數為

將端部質量塊看作集中質量，得到系統的中間層質量、壓電層質量、端部質量塊的矩陣為

式中：Φ（dt）為端部質量塊在dt處的振型函數矩陣；dt為質量塊質心到懸臂梁根部的距離。總的質量矩陣

機電耦合矩陣為

式中：eT31為31模式（外界載荷方向與壓電陶瓷的極化方向垂直）下的壓電應力常數張量。系統的電容為

考慮到系統中存在阻尼，根據Rayleigh阻尼定理，得到的系統阻尼矩陣為

式中：K為無磁場作用時線性壓電懸臂梁的剛度矩陣；α、β分別為質量和剛度矩陣的加權系數。

在低頻激勵下，壓電磁耦合能量俘獲系統的運動主要集中在一階模態，可以用懸臂梁在一階模態下的動力學模型來描述懸臂梁的真實動力學特性［9-15，17］，因此本文只考慮占主要作用的一階模態（忽略其他模態）。懸臂梁主要是沿z方向運動，由于受到沿z方向的磁力，影響了懸臂梁總的回復力和動力學特性，因此系統總的回復力已經不再是線性值，而是非線性的表達式。本文使用微型測力儀測得z方向的回復力數據，并用多項式方程來描述回復力的變化，系統總的非線性回復力為

式中：w（t）為一階模態下懸臂梁端部沿z方向的瞬時位移；l、n分別為3次項和1次項系數。

系統輸出端連接負載電阻R，其電邊界條件為

式中：q（t）為t時刻壓電片兩端的瞬時電荷量。由于懸臂梁在根部受到激勵，因此可以等效為梁上均勻分布的慣性力。將上述假設和表達式代入式（4），得到系統在一階模態下的動力學方程為

創建一個純色填充調整圖層，選擇我們喜歡的顏色。本例中，我們選擇了亮祖母綠。關閉拾色器對話框之后，在圖層面板中將圖層的混合模式從普通更改為濾色，并調整圖層的不透明度設置。如果追求大膽的效果，可以將不透明度保留為100%，但我們更建議調整到15%左右得到更自然的效果。

式中：m1為質量單元系數；c1為阻尼單元系數；θ1為機電耦合單元系數；F為外界激勵力。

式（15）是非線性方程組表達式，而非線性方程的求解和仿真比較復雜，本文采用工程上廣泛應用的高精度單步算法四階龍格-庫塔算法進行仿真［18］。計算表達式如下

式中：h為步長；gi為自變量因子；k1、k2、k3、k4為區間［gi，gi+1］內預估4個點上的斜率，用它們的加權平均數作為平均斜率k，可求解出下一個點的函數值。

2 實驗驗證

2.1 實驗設計

實驗中，由激振器、信號發生器和功率放大器組成激勵源發生系統，對壓電磁耦合能量俘獲系統進行激勵。用示波器實時顯示并俘獲電壓等實驗數據，其探頭的阻抗為10MΩ。用微型測力儀測量Fr。壓電材料PZT-5A的尺寸為24mm×15mm×0.5mm，中間金屬層為不銹鋼材料，尺寸為86mm×15mm×0.27mm。實驗裝置中的所有磁鐵均為銣鐵硼永磁鐵，懸臂梁端部磁鐵的直徑為10mm，厚度為5mm，外部磁鐵直徑為25mm，厚度為5mm。激勵信號選取正弦掃頻信號，頻率范圍在0～25Hz，加速度值為0.585g，頻率變化速度分別為0.45Hz／s（升頻）和-0.45Hz／s（降頻）。

去掉外部磁鐵后，本文中的壓電磁耦合能量俘獲系統將變成線性的壓電能量俘獲系統，使用微型測力儀測量得到線性壓電懸臂梁的剛度值為66N／m。結合式（9）～式（12）和實驗中材料的物理參數，得到式（15）中部分參數的理論值為：m1=6.01×10-3kg，θ1=5.45×10-5N／V，C=29.48nF，

pc1=2.46×10-2N·s／m。為研究建模方法的有效性，設置兩組位置參數進行驗證。在第1組實驗中，設 d=62.60mm，h=11.14mm，a=7°，l=236 513.238，n=18.859，Fr的測量數據和擬合曲線如圖2所示；第2組實驗中，設d=56.00mm，h=14.50mm，a=0°，l=399 783.973，n=24.990，由此得到的Fr的測量數據和擬合曲線如圖3所示。

圖3 第2組實驗系統的Fr-w（t）曲線

2.2 實驗分析

由圖2、圖3可知，磁耦合壓電能量俘獲系統不同于傳統的線性系統，由于磁場的引入，其回復力已經不再是線性的，而是近似為一個多項式曲線。由回復力與剛度之間的導數關系，可以發現系統的等效剛度不再是常數，而是一個與位移相關的非線性二次方程，這表明壓電磁耦合能量俘獲系統具有非線性的動力學特性。

如圖4所示，在第1組實驗參數下，當激勵信號為升頻的正弦信號掃頻時，仿真中的最大電壓為24.8V、跳躍頻率為15.3Hz、有效頻寬為11Hz，實驗中的最大電壓、跳躍頻率和有效頻寬與仿真值相近，分別為24.1V、14.4和11Hz。從系統產生的電壓值中可以看出，當激勵信號的頻率達到3Hz左右時，懸臂梁的振動開始明顯變大，隨著激勵信號頻率的繼續增大，振動幾乎是線性增大直至跳躍頻率處達到最大值并出現頻率跳躍現象，當激勵頻率超過跳躍頻率時，振動幾乎馬上停止。當激勵信號變為降頻激勵時，仿真中的最大電壓、跳躍頻率和有效頻寬分別為17.8V、10.9和6Hz，此時相應的實驗值分別為18.6V、11.4和7Hz，仿真與實驗數據的誤差較小。當激勵信號的頻率大于跳躍頻率時，懸臂梁的振動幅值較小。

圖4 第1組實驗參數下的實驗及仿真結果

圖5 第2組實驗參數下的實驗及仿真結果

2組不同實驗參數下的仿真與實驗結果表明，在整個運動過程中，壓電磁耦合能量俘獲系統出現一次頻率跳躍現象，跳躍頻率處的電壓值是整個掃頻中的最大值，當激勵信號的頻率超過跳躍頻率時，懸臂梁幾乎停止振動，產生的電壓接近0。另外，懸臂梁在升頻激勵下，其有效頻寬達到10Hz以上，所產生的電壓和有效頻寬均明顯高于降頻激勵條件下的值，這是由非線性系統中存在的遲滯現象所致。對非線性系統施加不同方向的掃頻激勵，相當于給系統設定不同的初始輸入條件，此外，還有壓電材料本身的影響，導致非線性系統在同樣的頻率范圍內，表現出不同的輸出響應特性，即本文中出現的遲滯現象，并與文獻［12］中的遲滯現象表現一致。

3 結 論

本文根據哈密頓原理等理論，建立了壓電磁耦合能量俘獲系統的非線性動力學模型，采用微型測力儀直接測量系統的非線性回復力，提出了以多項式方程擬合回復力的表達式方法，得出的結論如下。

（1）模型具有參數求解簡單、計算量小、無需直接求解磁場力等優點。建模過程中，可直接測量懸臂梁在不同運動位置上的非線性回復力，無需進行復雜的計算，得到的回復力比較接近于真實值，使建模過程得到了極大的簡化。

（2）仿真和實驗結果表明，該模型能夠準確地描述出壓電磁能量俘獲系統的動力學特性。理論仿真結果表明，系統的跳躍頻率、最大電壓和有效頻帶等關鍵指標與實驗值相符合，從而為今后研究系統真實的動力學機理問題等提供了理論基礎。

［1］ LIU Huicong，ZHANG Songsong，KATHIRESAN R，et al.Development of piezoelectric microcantilever flow sensor with wind-driven energy harvesting capability［J］.Applied Physics Letters，2012，100（22）：1-4.

［2］ CORNWELL P J，GOETHAL J，KOWKO J，et al.Enhancing power harvesting using a tuned auxiliary structure［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2005，16（10）：825-834.

［3］ ROUNDY S，JAN P K W，RABAY M.Energy scavenging for wireless sensor networks with special focus on vibrations［M］.New York，USA：Kluwer Academic Publisher，2004：15-20.

［4］ PRIYA S.Modeling of electric energy harvesting using piezoelectric windmill［J］.Applied Physics Letters，2005，87（18）：1-3.

［5］ RASTEGAR J，MURRAY R.Novel two-stage piezoelectric-based electrical energy generators for low and variable speed rotary machinery ［C］∥SPIE Smart Structures and Materials+Nondestructive Evaluation and Health Monitoring.International Society for Optics and Photonics.San Diego，USA：SPIE，2010：1-8.

［6］ SHAHRUZ S M.Design of mechanical band-pass filters for energy scavenging ［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，292（3）：987-998.

［7］ 謝濤，袁江波，單小彪，等.多懸臂梁壓電懸臂梁頻率分析及發電實驗研究 ［J］.西安交通大學學報，2010，44（2）：98-101.XIE Tao，YUAN Jiangbo，SHAN Xiaobiao，et al.Frequency analysis electricity generated by multiple piezoelectric cantilevers in energy harvesting ［J］.Journal of Xi’an Jiaotong University，2010，44（2）：98-101.

［8］ LELAND E S，WRIGHT P K.Resonance tuning of piezoelectric vibration energy scavenging generators using compressive axial preload ［J］.Smart Materials and Structures，2006，15（5）：1413-1420.

［9］ FERRARI M，FERRARI V，GUIZZETTI M，et al.Improved energy harvesting from wideband vibrations by nonlinear piezoelectric converters ［J］.Procedia Chemistry，2009，1（1）：1203-1206.

［10］ZHOU Shengxi，CAO Junyi，ERTURK A，et al.Enhanced broadband piezoelectric energy harvesting using rotatable magnets［J］.Applied Physics Letters，2013，102（17）：1-4.

［11］SEBALD G，KUWANO H，GUYOMAR D，et al.Simulation of a Duffing oscillator for broadband piezoelectric energy harvesting ［J］.Smart Materials and Structures，2011，20（7）：17-22.

［12］STANTON S C，MCGEHEE C C，MANN B P.Reversible hysteresis for broadband magnetopiezoelastic energy harvesting［J］.Applied Physics Letters，2009，95（17）：1-3.

［13］ERTURK A，HOFFMANN J，INMAN D J.A piezomagnetoelastic structure for broadband vibration energy harvesting［J］.Applied Physics Letters，2009，94（25）：2-3.

［14］ERTURK A，INMAN D J.Broadband piezoelectric power generation on high-energy orbits of the bistable Duffing oscillator with electromechanical coupling［J］.Journal of Sound and Vibration，2010，330（10）：2339-2353.

［15］LIN J T，LEE B，ALPENAAR B.The magnetic coupling of a piezoelectric cantilever for enhanced energy harvesting efficiency［J］.Smart Materials and Structures，2010，19（4）：7-12.

［16］張福學，王麗坤.現代壓電學：上冊 ［M］.北京：科學出版社，2002：84-101.

［17］SODANO H A，PARK G，INMAN D J.Estimation of electric charge output for piezoelectric energy harvesting［J］.Strain，2004，40（2）：49-58.

［18］BUTCHER J C.The numerical analysis of ordinary differential equations：Runge-Kutta and general linear methods［M］.New York，USA：Wiley-Interscience，1987：50-201.