高分辨陣列測向技術及其仿真

陳悅龍

（電子科技大學通信與信息工程學院,四川 成都 610054）

1 MUSIC算法

1.1 陣列協方差矩陣的特征分解

由矩陣特征分解理論，可以特征分解陣列協方差矩陣.最初設想理想環境，即無噪聲的情況:

由均勻線陣得出，矩陣A是由上式所定義的范德蒙德(Vandemonde)矩陣，只需要:

則，此矩陣各列之間相互獨立，如果R為非奇異矩陣（各信號源兩兩不相關），且M＞D，則有：

即RX是Hemr tie矩陣，其特征值均為實數.又因為RS是正定矩陣，ARSAH是半正定矩陣，其中有D個特征值為正，M-D個特征值為零.

其次考慮有噪聲的情況

由于σ2＞0，RS為滿秩陣，所以RX有M個正的實數特征值 λ1，λ2,…,λM，分別相當于 M個特征向量v1,,v2,…,vM.又因為RX是Hemriet矩陣，所以特征向量互相是正交的[11]，即

只有D個特征值與信號相關，分別與矩陣ARSAH的各特征值與σ2之和相等，剩下的M-D個特征值為σ2，這表示，σ2是RX的最小特征值，它是M-D維的.相關的特征向量v1,v2,…,vM中，也同樣有D個與信號相關，此外M-D個與噪聲相關，在下一節里，將利用以上這些特征分解的理論求出信號源的波達方向θk.

1.2 MUSIC算法的實現

MUSIC算法的實現步驟:

(1)從N個接收信號矢量可以得出以下協方差矩陣的估計值:

對上式的協方差矩陣的特征值進行分解

(2)按照特征值的大小順序排序，把同信號個數D等量的特征值和相關的特征向量當作信號空間，余下的M-D個特征值和特征向量當作噪聲空間。則得出噪聲矩陣En:

1.3 MUSIC算法程序代碼

由圖1-3所示，圖像呈現一個明顯的波峰，由上述公式推導得出，波達方向的估計值在12度左右.由此圖可以看出，MUSIC算法可以清晰和準確的對信號源DOA進行估計.

1.4 修正MUSIC算法對信號DO A的估計

MUSIC算法是對信號源DOA的估計，通過對陣列接收到的信號協方差矩陣進行特征分解來估計波達方向的.然而，如果信號源中有某些源是相干的，相干的幾個信號就有可能合成一個信號，陣列接收的獨立的信號源將減少，即陣列輸出信號協方差秩序rank＜p，對信號協方差矩陣進行特征值分解后，有些相干源的方向矢量不正交于噪聲子空間，信號零點不出現.所以，有些源在空間譜曲線中將不呈現峰值，這就會引起系統誤差.對于小信噪比以及角度相隔比較近的信號，它們的陣列信號協方差矩陣進行特征值分解后同樣會出現類似的情況，從而不能準確地估計信號的DOA.因此要對MUSIC算法進行改進，就是要對陣列輸出信號協方差矩陣進行處理，使信號協方差的秩恢復為rank=p，使之能有效地估計出信號的DOA.

如圖1-4所示，改進算法有更明顯的譜峰，從而更有利于目標的分辨，特別是對于小信噪比信號.此外，利用MUSIC算法進行DOA估計時，隨著信號信噪比的提高，對于相隔比較近的來波信號的估計有明顯的改善.

由以上討論可知，修正MUSIC算法與普通MUSIC算法形式完全一樣，都是利用空間譜函數來對信號進行DOA估計地，只是修正MUSIC算法對用于求特征分解的協方差矩陣先進行處理，對其進行低秩逼近，使協方差矩陣滿秩，以使信號子空間不滲透到噪聲子空間去，從而使它們能夠充分正交，達到對信號DOA進行有效估計.這樣其實等效于提高了信噪比，同時也對特征根重新進行了排列，因而有助于減小DOA估計的方差.

2 ESPRIT算法

2.1 E SPRI T算法的實現

假設一個包含M個陣元的非立體傳感器接收陣列.每個陣元偶包含兩個相同響應特點的陣列，這兩個陣元間有已知位移矢量Δ的距離.若有K≤M個獨立、足夠遠的信號源同時以同一平面入射到此陣列上，通過空間譜估計理論，若這些信號源的中心角頻率w0相同，且w0已知，此外所有信號源都為零均值的隨機過程.則不同信號源可用其到達方向θk來表征.假設所有2M個陣元上都有與信號獨立的零均值，方差為σ2的獨立白高斯隨機過程[4].

為了直觀的敘述陣列的移不變特性，我們把陣列分成兩個平移矢量為Δ的子陣Zx和Zy，分別的x1,x2,…,xM和y1,y2,…,yM來表示陣源偶.第i個陣元偶上兩個陣元的輸出信號可分別表示為：

其中Sk(t)，k=1，2，…，k為子陣Zx的參考陣元接收到的第k個信號，θk為第k個信號的相對平移矢量Δ的到達方向.αi(θk)為任意一個子陣列中的第i個陣元對第k個信號源的幅度響應，C為電波在介質中的傳播速度，將兩個子陣列的每個陣元t時刻的輸出信號進行重組，兩個子陣列的輸出信號矢量表達式即可表示為[14]：

矩陣Φ為K×K的對角矩陣，其對角元素為K個信號的波在任意一個陣元偶之間產生的相位延遲，表示為：

矩陣Φ為把子陣Zx和Zy的輸出聯系起來的一個酉陣，也就是旋轉算子.矩陣Φ為酉陣是因子陣互為平移陣列對，假設的信號為窄帶信號.因而，子陣的移不變性促成了兩子陣信號的旋轉不變性，子陣信號即為所得.等效于Zx陣的輸入信號與一個旋轉因子Φ相乘得到，或通過信號子空間旋轉得到.由上式可見，若能得到Φ矩陣，其對角元素通過計算即可得到信號到達角θk.把兩個子陣的輸出加以組合，即可得到整個陣列的輸出信號矢量Z(t)為：

根據數據矩陣Z我們可以估計信號源的個數K以及到達角θK，因此必須對矩陣Φ進行估計.ESPRIT算法的基本思想是研究因為陣列的移不變特性而引起的信號子空間的旋轉不變性來確定信號源的方向.而信號子空間是由上面提到的矩陣X和Y張成的，X和Y組成了維數相同的K維信號子空間，即矩陣A的列向量組成的空間，但Y組成的信號子空間比X組成的信號子空間多旋轉了一個空間相位μK.當然噪聲的干擾，數據矩陣X和Y也組成了另一個信號子空間，即噪聲子空間，此空間為正交子空間.

用陣列求出的自相關矩陣的特征分解來描述信號子空間和噪聲子空間的概念也是可行的.陣列輸出信號矩陣Z的自相關矩陣為：

其中，E{.}表示求期望，Rzz為到達的空間信號的自相關矩陣，σ2為每個陣元上的噪聲方差.為K維滿秩矩陣（假設各信號互不相關），且矩陣A的列向量之間線性獨立（假設各信號到達角θk互不相同），即子陣列流形是非模糊的.自相關矩陣的特征分解為:

其中Ψ=T-1ΦT.至此可知，Ex和Ey組成的子空間相似，且矩陣Φ的對角元素為Ψ的特征值.如果陣列流型A是滿秩矩陣，則可以得到:

所以上式中Ψ的特征值組成的對角陣一定等于Φ，而矩陣T的各列就是矩陣Ψ的特征矢量.所以一旦得到上述的旋轉不變關系矩陣Ψ，就可以直接得到信號的入射角度.

2.2 E SPR I T算法程序代碼

從圖2-1，圖2-2，圖2-3中可以看出，隨著采樣點數的增加，估計誤差會越來越小，得到的信號到達角度會越來越接近真實值，即估計精度會越來越高.

2.3 各參數對分析誤差的影響

2.3.1 信噪比SNR對估計誤差的影響分析

首先對信噪比SNR離散化取值，然后求得不同信噪比下的誤差，從而繪制出誤差隨信噪比改變的函數曲線如上圖所示，上圖中中信噪比SNR從-15取到15，間隔為1，運行次數為100次，從中可以清晰的看出，隨著信噪比的增大，估計的誤差會減小，估計精度會越來越好.

2.3.2 陣元數L對估計誤差的影響分析

首先對陣元數L離散化取值，然后求得不同陣元數下的誤差，從而繪制出誤差隨陣元數改變的函數曲線如上圖所示，上圖中陣元數從K+1取到K+25，間隔為1運行次數為100次.隨著陣元數的增加，估計誤差會越來越小，即估計精度會越來越高，但當陣元數大到一定程度后，對估計精度的影響則會慢慢的減小.

2.3.3 兩信號之間的角度差（GAP）對估計誤差的影響分析

由于采用ESPRIT算法對DOA進行估計，若兩信號的方位距離較近時，雖然能得出估計結果，但估計的精度會大受影響.因此，為了分析兩信號之間的不同間隔會對估計精度造成多大的影響，繪制不同GAP下的估計誤差曲線如上圖所示.其中GAP（單位為度）從0.1取到5，間隔為0.1，獨立運行次數為100次。由圖可知，GAP越大估計越準確，但當GAP大到一定程度后則估計精度趨于穩定.

2.3.4 快拍數對估計誤差的影響分析

為了分析快拍數會對估計精度造成什么影響，繪制在不同快拍數下的估計誤差曲線如下圖所示。其中快拍數從0到200間隔為20，獨立運行次數為100次快拍數K越大估計越準確，但當K大到一定程度后則估計精度趨于穩定.

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