同一道“菜”，為何“味道”迥異

夏永立

【研究背景】

在一次教研活動中我聽了一節小學數學公開課 “三角形的內角和”，其中的一個教學環節引起了我的注意。執教教師期望學生通過度量發現三角形的內角和等于180°，便讓每個學生隨意畫一個三角形，用量角器量出三個內角的度數，然后把各個角的度數加起來。然而，大部分學生測量的結果都不是180°。教師就通過投影展示少數學生測量結果是180°的“作品”，然后得出結論。不料，有的學生開始反駁：“老師，大多數同學的三角形都不是180°，你為什么卻同意少數幾個同學的結果？”教師連忙解釋道：“因為你們的測量存在誤差，如果你們測量準確，也會得到三角形內角和為180°。”然而學生卻不依不饒：“就算我們測量準確，得到三角形的內角和為180°，我們班上30多個同學測量的也是成千上萬個三角形中的很少一部分，這怎么就能說明所有三角形的內角和都是180°呢？”這時候教師無言以對了，只好說：“等你們到中學后就可以證明三角形的內角和為180°，現在你們只要記住這個結論……”這一教學片段引起了我的思考：為何課堂會出現如此“尷尬”的局面？難道小學數學教學只要讓學生記住結論？課堂中的探究就是一種擺設？中小學數學教學有哪些差異？其實，“三角形內角和”在中小學的數學教材里面都出現過，這使我對這一課題產生了濃厚的興趣。課后，我通過研讀教材，發現多種版本的小學數學教材都是讓學生用量、折、拼的方法來探究三角形的內角和；通過訪談，發現多數小學數學教師不知道中學數學教材里這一內容是如何編排的，更不知道中學教師是如何進行教學的。為了便于研究，我將這位小學數學教師的課例和中學數學課堂中的常規教例呈現出來，從中比較中小學數學教學的差異，從做好中小學數學的教學銜接的角度提出自己的幾點思考和建議。

【課例呈現】

※“三角形內角和 ”（小學版）

1.創設情境。

出示多媒體課件，講述小故事：這是一個直角三角形，∠1、∠2、∠3是它的三個內角，平時，它們三兄弟非常團結。可是有一天，∠2突然發起脾氣來，它指著∠1說：“你憑什么度數最大？我也要和你一樣大！” ∠1說：“老弟，這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？”∠2很納悶。同學們，你們知道其中的道理嗎？學了今天的數學知識以后，你們就會知道它們三兄弟之間的關系了…… （板書課題：三角形的內角和）

2.合作學習。

（1）小組分工：測量、指導、記錄；

（2）用量角器測量你們小組內的三角形每個內角的度數，并記錄下來；

（3）最后要求計算出三個內角的和。

3.驗證三角形內角和。

（1）學生匯報、展示驗證方法；

（2）教師演示各種三角形內角和轉化為平角的過程。

4.得出結論：任何三角形的內角和都是180°。

※“三角形的內角和”（中學版）

1.做一做：在紙上畫一個三角形并將它的內角剪下，試著拼一拼，能有什么發現？

2.在獨立拼接后，小組交流拼接的方法，發現結論。

（讓學生通過拼接、觀察，初步得出： 三角形的內角和等于180°）

3.教師選定兩種有代表性的拼接方法展示。

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■

4.師：觀察上述兩種拼接方法，你能出說明“三角形內角和等于180°”的這個結論正確的方法嗎？

（1）師適時點撥：在圖1中，將∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三個角合起來形成一個平角。在我們的證明中，如何把∠B和∠C“移動”到∠A的左右呢？誰能幫助我們把一個角大小不變地移動到一個新的位置呢？（輔助線l自然產生）

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圖3

（2）學生獨立思考后，試著證明，再交流證法。

（3）師：根據圖2，你怎樣說明三角形內角和等于180°這個結論？（有圖1的證法，學生很容易找出圖2 的證法，順其自然地添加輔助線）

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圖4

5.師：還有別的拼接方法嗎？能根據你的拼接方法證明三角形內角和等于180°嗎？學生相互交流、討論。（一題多解）

6.教師介紹輔助線及其作用，重點引導學生總結為什么要添加這條平行線，它在不同的證明方法中起到一個什么作用。（多法歸一）

【對比分析】

此課小學版的教學設計中，采用“生成式”的教學方式，在學生原有基礎上展開教學，改善學生的學習方式，能夠充分調動學生學習的積極性。在教學中教師靈活運用多種教學方法，給予學生自主學習的機會，提高學生自主學習的能力。以上教學過程，教學層次清晰，但教師面對課堂的“意外生成”卻難以應對，表現出自身數學素養的缺失。雖然課堂開放，但卻少了應有的“數學味”，不利于學生數學思維的發展，更不利于學生的后續學習。

從“三角形的內角和”中學版教學設計來看，教師讓學生在紙上畫三角形并將它的內角剪下，通過剪、切、拼等操作活動，引導學生從實驗出發，根據觀察、實驗的結果，大膽猜想三角形內角和等于180°，然后讓學生探索、說明這一結論的正確性，也就是引導學生去進行“證明”。“證明”成為探索活動的自然延續和必要發展，由“合情推理”到“演繹推理”過渡自然，思路清晰，十分有利于學生對“證明”的全面理解。在組織學生探索證明的過程中，引導學生根據不同的拼接方法，尋找不同的證明方法，一題多解，并進行適當的比較和討論，這有利于開闊學生的視野，有助于激發學生對數學證明的興趣和掌握綜合證法的信心，在這一過程中學生演繹推理能力也自然得到發展和提高。在教學中，教師引導學生探究發現 “為什么添加這條平行線？平行線在不同的證明方法中起到了怎樣的一個共同作用？”從“一題多解”到“多法歸一”，引導學生對數學方法規律的總結，對提高學生解決問題的能力大有裨益。endprint

同一教學內容，在小學采用操作實驗的教學方式，而在中學卻運用推理證明的方法，這可能考慮到學生的身心發展特點和學生的思維發展規律。但我認為，在學生可能接受的情況下，小學數學教師要創造性地使用教材，不能將教學只停留在動手實踐的層面上。因此，要努力向中學數學教師學習，在教學中重視學生推理能力的培養，讓學生經歷從特殊到一般的思維歷程。

教師先從長方形的內角和是360度入手（在小學就可以把它看作公理），將它分成兩個完全一樣的直角三角形，讓學生發現直角三角形的內角和是180度；再引導學生將鈍角三角形和銳角三角形分別通過作高來分成兩個直角三角形，這樣得出其內角和也是180度；最后，讓學生歸納出任何三角形的內角和都是180度。有教師認為這樣的教學其實是在“循環論證”，但我認為在小學階段是可行的，學生完全可以接受，這有利于學生的后續學習，也讓小學的數學課散發出濃濃的“數學味”。

【問題思考】

“三角形的內角和”這一教學內容，在中小學的教材里都有，但教師教學設計的思路卻不同。同一道“菜”，為何味道迥異？中小學數學教師如何相互學習，才能更好地做好中小學數學教學的銜接？我通過調查、訪談學生，了解到有相當部分初中學生感到中學數學的內容多、難度大，這就使學生感到學習數學困難，從而產生畏懼感，甚至失去了學習數學的興趣。造成這種現象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于小學和初中數學教學上的銜接問題。要解決這一問題，必須靠中小學教師共同努力。

1.學習興趣的銜接問題

學習興趣是對學生學習活動或學習對象的一種力求趨近或認識的傾向。如對數學有興趣，則能喚起學生的求知欲，能推動學生去克服學習上的困難。小學版的教學設計中，教師通過“創設情境”來激發學生的學習欲望，放手讓學生用自己喜歡的方法探索，但感覺整節課沒有重點，這對學習有困難的學生就意味著放棄。在中學版教學設計中，教師采取“以舊引新”的方式引入，為學生架起了“舊知”與“新知”的橋梁。由于中學教師更多關注學生邏輯思維能力的培養，把數學課堂教學變得枯燥無味，讓不少學生聽到數學就頭痛，對數學學習 “望而生畏”。因此，小學數學教師要更加關注學困生，使學生樹立學習的信心，進而培養學生學習數學的興趣；中學數學教師要使課堂教學方式變得靈活多樣，注重激發學生的學習興趣，這是一項極其重要的銜接工作。

2.教學內容的銜接問題

從整體上講，小學數學是中學數學的基礎，中學數學是小學數學的延伸和發展。小學教師要重視基礎知識和技能的教學，為中學數學的教學作好孕伏、滲透和鋪墊的工作。從這兩節課中可以看到，小學數學課堂是通過讓學生量一量、畫一畫、拼一拼、折一折得到一些幾何概念，往往側重于計算，缺少邏輯論證，而學習中學平面幾何的關鍵在于需要邏輯推理論證的能力。可見，在小學數學教學中，需要充分挖掘教材里潛在的邏輯推理素材，培養學生的推理能力；中學數學教學也要基于學生已有的知識背景和生活經驗，而不能“另起爐灶”。

3.教學方法的銜接問題

目前，“銜接”上最大的問題是教學方法的嚴重脫節。從這兩節課中，我們可以發現：小學教學進度慢、坡度緩，而中學教學進度快、坡度大；小學重感性知識，口頭回答問題多，而中學重理性知識，書面回答多；小學強調直觀演示、偏重形象思維，而中學強調推理論證，偏重抽象思維。由于長期受到小學教學方法的影響，許多學生剛進中學就感到不適應。因此，小學教師也要不斷了解中學數學課堂中采用的教學方法，使學生的后續學習更有“后勁”。而小學采用“生成式”教學，靈活運用多種教學方法，使學生學習的積極性得到充分調動，這種教學方法對于中學數學教師來說，也是值得學習和借鑒的好方法。

【幾點建議】

作為一名小學數學教師，我認為要想更好地搞好數學教學，數學教師、教研部門和教材編寫者就要不斷改進，從而形成合力，使中小學數學教學真正實現“無縫對接”。

1.中學數學教師的課堂教學，多從學生的后續知識發展考慮，往往通過設置不同的變式練習來提高不同學生的學習水平，對于在學生原有基礎上發展教學重視不夠。作為一名中學數學教師要不斷思考：學生以前都學過哪些知識？哪些知識可以為這節課服務？要不斷研究小學數學教材，能夠從學生的認知基礎上去設計課堂教學。小學教師也要研讀中學數學教材，整體把握教材，了解小學數學教材中哪些核心知識對學生的后續學習更具有價值。

2.教研部門要多開展中小學數學教學銜接的主題教研活動，為一線教師搭建相互學習和交流的平臺。中小學教師要走進對方的課堂，了解各自的教學特點。中學教師要學習小學教師如何調動學生學習的積極性，靈活調控課堂，合理利用課堂中的生成資源。小學教師要學習中學數學教師課堂教學的嚴謹性。

3.目前，許多版本的中小學教材缺乏系統性。因此，建議中小學的教材編寫組成員在一起編寫教材，避免教學內容上的重復，從而構建科學合理的教學體系。

（責編 金 鈴）endprint

同一教學內容，在小學采用操作實驗的教學方式，而在中學卻運用推理證明的方法，這可能考慮到學生的身心發展特點和學生的思維發展規律。但我認為，在學生可能接受的情況下，小學數學教師要創造性地使用教材，不能將教學只停留在動手實踐的層面上。因此，要努力向中學數學教師學習，在教學中重視學生推理能力的培養，讓學生經歷從特殊到一般的思維歷程。

教師先從長方形的內角和是360度入手（在小學就可以把它看作公理），將它分成兩個完全一樣的直角三角形，讓學生發現直角三角形的內角和是180度；再引導學生將鈍角三角形和銳角三角形分別通過作高來分成兩個直角三角形，這樣得出其內角和也是180度；最后，讓學生歸納出任何三角形的內角和都是180度。有教師認為這樣的教學其實是在“循環論證”，但我認為在小學階段是可行的，學生完全可以接受，這有利于學生的后續學習，也讓小學的數學課散發出濃濃的“數學味”。

【問題思考】

“三角形的內角和”這一教學內容，在中小學的教材里都有，但教師教學設計的思路卻不同。同一道“菜”，為何味道迥異？中小學數學教師如何相互學習，才能更好地做好中小學數學教學的銜接？我通過調查、訪談學生，了解到有相當部分初中學生感到中學數學的內容多、難度大，這就使學生感到學習數學困難，從而產生畏懼感，甚至失去了學習數學的興趣。造成這種現象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于小學和初中數學教學上的銜接問題。要解決這一問題，必須靠中小學教師共同努力。

1.學習興趣的銜接問題

學習興趣是對學生學習活動或學習對象的一種力求趨近或認識的傾向。如對數學有興趣，則能喚起學生的求知欲，能推動學生去克服學習上的困難。小學版的教學設計中，教師通過“創設情境”來激發學生的學習欲望，放手讓學生用自己喜歡的方法探索，但感覺整節課沒有重點，這對學習有困難的學生就意味著放棄。在中學版教學設計中，教師采取“以舊引新”的方式引入，為學生架起了“舊知”與“新知”的橋梁。由于中學教師更多關注學生邏輯思維能力的培養，把數學課堂教學變得枯燥無味，讓不少學生聽到數學就頭痛，對數學學習 “望而生畏”。因此，小學數學教師要更加關注學困生，使學生樹立學習的信心，進而培養學生學習數學的興趣；中學數學教師要使課堂教學方式變得靈活多樣，注重激發學生的學習興趣，這是一項極其重要的銜接工作。

2.教學內容的銜接問題

從整體上講，小學數學是中學數學的基礎，中學數學是小學數學的延伸和發展。小學教師要重視基礎知識和技能的教學，為中學數學的教學作好孕伏、滲透和鋪墊的工作。從這兩節課中可以看到，小學數學課堂是通過讓學生量一量、畫一畫、拼一拼、折一折得到一些幾何概念，往往側重于計算，缺少邏輯論證，而學習中學平面幾何的關鍵在于需要邏輯推理論證的能力。可見，在小學數學教學中，需要充分挖掘教材里潛在的邏輯推理素材，培養學生的推理能力；中學數學教學也要基于學生已有的知識背景和生活經驗，而不能“另起爐灶”。

3.教學方法的銜接問題

目前，“銜接”上最大的問題是教學方法的嚴重脫節。從這兩節課中，我們可以發現：小學教學進度慢、坡度緩，而中學教學進度快、坡度大；小學重感性知識，口頭回答問題多，而中學重理性知識，書面回答多；小學強調直觀演示、偏重形象思維，而中學強調推理論證，偏重抽象思維。由于長期受到小學教學方法的影響，許多學生剛進中學就感到不適應。因此，小學教師也要不斷了解中學數學課堂中采用的教學方法，使學生的后續學習更有“后勁”。而小學采用“生成式”教學，靈活運用多種教學方法，使學生學習的積極性得到充分調動，這種教學方法對于中學數學教師來說，也是值得學習和借鑒的好方法。

【幾點建議】

作為一名小學數學教師，我認為要想更好地搞好數學教學，數學教師、教研部門和教材編寫者就要不斷改進，從而形成合力，使中小學數學教學真正實現“無縫對接”。

1.中學數學教師的課堂教學，多從學生的后續知識發展考慮，往往通過設置不同的變式練習來提高不同學生的學習水平，對于在學生原有基礎上發展教學重視不夠。作為一名中學數學教師要不斷思考：學生以前都學過哪些知識？哪些知識可以為這節課服務？要不斷研究小學數學教材，能夠從學生的認知基礎上去設計課堂教學。小學教師也要研讀中學數學教材，整體把握教材，了解小學數學教材中哪些核心知識對學生的后續學習更具有價值。

2.教研部門要多開展中小學數學教學銜接的主題教研活動，為一線教師搭建相互學習和交流的平臺。中小學教師要走進對方的課堂，了解各自的教學特點。中學教師要學習小學教師如何調動學生學習的積極性，靈活調控課堂，合理利用課堂中的生成資源。小學教師要學習中學數學教師課堂教學的嚴謹性。

3.目前，許多版本的中小學教材缺乏系統性。因此，建議中小學的教材編寫組成員在一起編寫教材，避免教學內容上的重復，從而構建科學合理的教學體系。

（責編 金 鈴）endprint

同一教學內容，在小學采用操作實驗的教學方式，而在中學卻運用推理證明的方法，這可能考慮到學生的身心發展特點和學生的思維發展規律。但我認為，在學生可能接受的情況下，小學數學教師要創造性地使用教材，不能將教學只停留在動手實踐的層面上。因此，要努力向中學數學教師學習，在教學中重視學生推理能力的培養，讓學生經歷從特殊到一般的思維歷程。

教師先從長方形的內角和是360度入手（在小學就可以把它看作公理），將它分成兩個完全一樣的直角三角形，讓學生發現直角三角形的內角和是180度；再引導學生將鈍角三角形和銳角三角形分別通過作高來分成兩個直角三角形，這樣得出其內角和也是180度；最后，讓學生歸納出任何三角形的內角和都是180度。有教師認為這樣的教學其實是在“循環論證”，但我認為在小學階段是可行的，學生完全可以接受，這有利于學生的后續學習，也讓小學的數學課散發出濃濃的“數學味”。

【問題思考】

“三角形的內角和”這一教學內容，在中小學的教材里都有，但教師教學設計的思路卻不同。同一道“菜”，為何味道迥異？中小學數學教師如何相互學習，才能更好地做好中小學數學教學的銜接？我通過調查、訪談學生，了解到有相當部分初中學生感到中學數學的內容多、難度大，這就使學生感到學習數學困難，從而產生畏懼感，甚至失去了學習數學的興趣。造成這種現象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于小學和初中數學教學上的銜接問題。要解決這一問題，必須靠中小學教師共同努力。

1.學習興趣的銜接問題

學習興趣是對學生學習活動或學習對象的一種力求趨近或認識的傾向。如對數學有興趣，則能喚起學生的求知欲，能推動學生去克服學習上的困難。小學版的教學設計中，教師通過“創設情境”來激發學生的學習欲望，放手讓學生用自己喜歡的方法探索，但感覺整節課沒有重點，這對學習有困難的學生就意味著放棄。在中學版教學設計中，教師采取“以舊引新”的方式引入，為學生架起了“舊知”與“新知”的橋梁。由于中學教師更多關注學生邏輯思維能力的培養，把數學課堂教學變得枯燥無味，讓不少學生聽到數學就頭痛，對數學學習 “望而生畏”。因此，小學數學教師要更加關注學困生，使學生樹立學習的信心，進而培養學生學習數學的興趣；中學數學教師要使課堂教學方式變得靈活多樣，注重激發學生的學習興趣，這是一項極其重要的銜接工作。

2.教學內容的銜接問題

從整體上講，小學數學是中學數學的基礎，中學數學是小學數學的延伸和發展。小學教師要重視基礎知識和技能的教學，為中學數學的教學作好孕伏、滲透和鋪墊的工作。從這兩節課中可以看到，小學數學課堂是通過讓學生量一量、畫一畫、拼一拼、折一折得到一些幾何概念，往往側重于計算，缺少邏輯論證，而學習中學平面幾何的關鍵在于需要邏輯推理論證的能力。可見，在小學數學教學中，需要充分挖掘教材里潛在的邏輯推理素材，培養學生的推理能力；中學數學教學也要基于學生已有的知識背景和生活經驗，而不能“另起爐灶”。

3.教學方法的銜接問題

目前，“銜接”上最大的問題是教學方法的嚴重脫節。從這兩節課中，我們可以發現：小學教學進度慢、坡度緩，而中學教學進度快、坡度大；小學重感性知識，口頭回答問題多，而中學重理性知識，書面回答多；小學強調直觀演示、偏重形象思維，而中學強調推理論證，偏重抽象思維。由于長期受到小學教學方法的影響，許多學生剛進中學就感到不適應。因此，小學教師也要不斷了解中學數學課堂中采用的教學方法，使學生的后續學習更有“后勁”。而小學采用“生成式”教學，靈活運用多種教學方法，使學生學習的積極性得到充分調動，這種教學方法對于中學數學教師來說，也是值得學習和借鑒的好方法。

【幾點建議】

作為一名小學數學教師，我認為要想更好地搞好數學教學，數學教師、教研部門和教材編寫者就要不斷改進，從而形成合力，使中小學數學教學真正實現“無縫對接”。

1.中學數學教師的課堂教學，多從學生的后續知識發展考慮，往往通過設置不同的變式練習來提高不同學生的學習水平，對于在學生原有基礎上發展教學重視不夠。作為一名中學數學教師要不斷思考：學生以前都學過哪些知識？哪些知識可以為這節課服務？要不斷研究小學數學教材，能夠從學生的認知基礎上去設計課堂教學。小學教師也要研讀中學數學教材，整體把握教材，了解小學數學教材中哪些核心知識對學生的后續學習更具有價值。

2.教研部門要多開展中小學數學教學銜接的主題教研活動，為一線教師搭建相互學習和交流的平臺。中小學教師要走進對方的課堂，了解各自的教學特點。中學教師要學習小學教師如何調動學生學習的積極性，靈活調控課堂，合理利用課堂中的生成資源。小學教師要學習中學數學教師課堂教學的嚴謹性。

3.目前，許多版本的中小學教材缺乏系統性。因此，建議中小學的教材編寫組成員在一起編寫教材，避免教學內容上的重復，從而構建科學合理的教學體系。

（責編 金 鈴）endprint