例談“數形結合”思想在教學中的滲透

徐國明

數形結合思想包含兩點內容。一是以形思數，在直觀中理解“數”。可以根據“數”引導學生通過想象，建立清晰的圖式表象，充分發揮圖式表象的中介作用，以使學生順利獲得有關“數”的知識；二是以數想形，在轉換中建立“形”。可以通過引導學生去讓“形”與“數”之間建立起一種關系，從而溝通學生的形象思維和抽象思維，進而使問題得以解決。下面就“數形結合”思想在小學數學中如何滲透談點實踐與體會。

一、以形思數，在直觀中理解“數”

1.以形思數，把握概念本質

教學中運用圖形創設一些問題情境，通過對圖形中的情境分析，抽象出數學概念的內涵和外延，能幫助學生理解數學概念。

如在教學“分數的認識”時，運用圖形創設了如下的問題情境：表示出下圖中的■。

■

思考：（1）表示過程中有什么相同點？有什么不同點？

（2）為什么都是■，但表示出的每份的個數不一樣？

（3）你能對這組圖進行分類嗎？（想以什么為標準？）

借助這些情境問題的分析、解決，學生直觀、形象地理解了“部分相同、整體相同，如果分法不一樣，表示的分數就不一樣”這一有關分數的概念特質。

2.以形思數，理解運算性質

教學中，對于一些運算性質的教學，也可以利用圖形讓學生觀察、分析，并組織學生結合操作來形象地理解相關性質。

如教學“積的變化規律”時，不少教師往往是先通過呈現一組組乘法算式，讓學生觀察、比較因數和積的變化關系，然后發現積的變化規律。實際上在教學這部分內容時，可利用長方形的模型，直觀地引導學生探究出積的變化規律。教學片段如下：

呈現寬12米，長20米的長方形。

■

讓學生觀察思考，當長不變，寬擴大或縮小3倍時，面積是怎么變化的。

■

（12×3）×12 （12÷3）×20

通過計算長方形的面積，比較長方形的面積變化，學生很直觀地看到當長不變，寬擴大3倍或縮小3倍時，它的面積也擴大3倍或縮小3倍。這里利用數形結合，讓學生很直觀地理解了積的變化規律。

3.以形思數，弄清數量關系

蘇教版教材中的“解決問題”這一板塊的內容，題目通常比較抽象復雜，有些學生較難理解其中的數量關系，從而造成解決問題的困難。要讓學生清晰地發現題目中的數量關系，可以通過引導學生畫線段圖，或采用數形結合的方法，因為數形結合是解決問題方法的一種有效手段。

例題：“有一個長方形花圃長20米，寬16米，因修路需要將長縮短4米，如果面積不變，寬應增加幾米？”

學生給出了兩種方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解決問題時多數學生采用第一種解法，而對第二種方法不少學生理解上有困難。

事實上可根據題意作圖如下：

■

學生通過圖明白了減少的面積直接除以現在的長等于增加的寬。通過數形結合，讓解題數量關系以及思路更加清晰了，數形結合的方法在這里起到了化繁為簡、化難為易，拓寬解題思路，優化解題方法等目的。

二、以數想形，在轉換中建立“形”

1.以數想形，理解公式的內涵

數學教材中有很多的計算公式，對于這些計算公式的教學，如果省去對它的推導過程，而選擇讓學生死記硬背，只會令學生知其然，而不知其所以然。鑒于此，教學時要讓學生經歷知識形成的過程，教師可以通過讓學生表達各種算式的含義，以達到深刻理解公式的內涵。

如在教學三角形面積計算公式時，在課前，部分學生已經通過自學等形式初步知道三角形的面積計算公式。根據這種情況，教學時，我首先出示下面這個圖形，請學生計算這個三角形的面積。

有極少數學生列出了不一樣的式子，他們用圖分別表示出了各自的解法。

生1：我是把一個直角三角形剪開，拼成一個長方形，長方形的長就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因為長方形的面積=長×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推導出直角三角形的面積計算公式，銳角三角形、鈍角三角形呢？我把任意一個三角形剪開，拼成一個平行四邊形，平行四邊形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因為平行四邊形的面積=底×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推導的，折法和學習三角形內角和時一樣。所以，三角形的面積=（底÷2）×（高÷2）×2。

■

最后，教師引導學生經過討論、比較、分析，發現三角形的面積計算公式還是“底×高÷2”。這里將圖形問題轉化為代數問題，突出圖像的形象思維，幫助學生獲得了準確的結論，使學生的思維能力、情感態度等都得到了發展，還有效地培養了學生“數中有形、形中有數”的意識。

2.以數想形，明晰圖形的性質

通過以數想形，還可以有效幫助學生理解圖形的性質。

如，在教學“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質時，呈現“3×4”這個算式，讓學生根據這個算式在兩條平行線之間畫三角形，結果學生畫出了如下圖形：

■

通過觀察上圖，學生發現了“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質。再讓學生畫出底為6厘米、高為2厘米的三角形，引導學生通過觀察、比較，學生又能發現：“面積相等，圖形的形狀不一定相同”這一圖形的性質。

3.以數想形，培養空間想象能力

小學生的認知規律，一般來說是“直觀感知——圖式表象——抽取數學知識”的過程。這里不難看出，圖式表象是直觀感知和抽取數學知識的橋梁，充分發揮圖式表象的中介作用，有利于培養學生多角度靈活思考、大膽想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些圖形？學生想到的可能是一個長為5厘米、寬為4厘米的長方形；還可能想到是一個邊長為5厘米的正方形的周長；還可能想到是一個底為4厘米，高為5厘米的平行四邊形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎樣的三角形？這種穿梭于圖形與數字之間的學習，是一種自由游弋的學習，這種學習能實現學生對數學內容的深刻理解，同時也能有效地培養學生的空間想象能力。

教學實踐表明，根據小學生思維的年齡特征，利用數形結合，能夠讓學生把要學的知識和方法創造出來。在這過程中需要強調的是，“以形思數”和“以數想形”這兩點不是彼此獨立的，而是互相聯系的。教學中，教師應注意將這兩種思維有機結合，揚長避短，相互補充，從而有效地提高學生學習效率和數學能力。

（責編 金 鈴）endprint

數形結合思想包含兩點內容。一是以形思數，在直觀中理解“數”?？梢愿鶕皵怠币龑W生通過想象，建立清晰的圖式表象，充分發揮圖式表象的中介作用，以使學生順利獲得有關“數”的知識；二是以數想形，在轉換中建立“形”?？梢酝ㄟ^引導學生去讓“形”與“數”之間建立起一種關系，從而溝通學生的形象思維和抽象思維，進而使問題得以解決。下面就“數形結合”思想在小學數學中如何滲透談點實踐與體會。

一、以形思數，在直觀中理解“數”

1.以形思數，把握概念本質

教學中運用圖形創設一些問題情境，通過對圖形中的情境分析，抽象出數學概念的內涵和外延，能幫助學生理解數學概念。

如在教學“分數的認識”時，運用圖形創設了如下的問題情境：表示出下圖中的■。

■

思考：（1）表示過程中有什么相同點？有什么不同點？

（2）為什么都是■，但表示出的每份的個數不一樣？

（3）你能對這組圖進行分類嗎？（想以什么為標準？）

借助這些情境問題的分析、解決，學生直觀、形象地理解了“部分相同、整體相同，如果分法不一樣，表示的分數就不一樣”這一有關分數的概念特質。

2.以形思數，理解運算性質

教學中，對于一些運算性質的教學，也可以利用圖形讓學生觀察、分析，并組織學生結合操作來形象地理解相關性質。

如教學“積的變化規律”時，不少教師往往是先通過呈現一組組乘法算式，讓學生觀察、比較因數和積的變化關系，然后發現積的變化規律。實際上在教學這部分內容時，可利用長方形的模型，直觀地引導學生探究出積的變化規律。教學片段如下：

呈現寬12米，長20米的長方形。

■

讓學生觀察思考，當長不變，寬擴大或縮小3倍時，面積是怎么變化的。

■

（12×3）×12 （12÷3）×20

通過計算長方形的面積，比較長方形的面積變化，學生很直觀地看到當長不變，寬擴大3倍或縮小3倍時，它的面積也擴大3倍或縮小3倍。這里利用數形結合，讓學生很直觀地理解了積的變化規律。

3.以形思數，弄清數量關系

蘇教版教材中的“解決問題”這一板塊的內容，題目通常比較抽象復雜，有些學生較難理解其中的數量關系，從而造成解決問題的困難。要讓學生清晰地發現題目中的數量關系，可以通過引導學生畫線段圖，或采用數形結合的方法，因為數形結合是解決問題方法的一種有效手段。

例題：“有一個長方形花圃長20米，寬16米，因修路需要將長縮短4米，如果面積不變，寬應增加幾米？”

學生給出了兩種方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解決問題時多數學生采用第一種解法，而對第二種方法不少學生理解上有困難。

事實上可根據題意作圖如下：

■

學生通過圖明白了減少的面積直接除以現在的長等于增加的寬。通過數形結合，讓解題數量關系以及思路更加清晰了，數形結合的方法在這里起到了化繁為簡、化難為易，拓寬解題思路，優化解題方法等目的。

二、以數想形，在轉換中建立“形”

1.以數想形，理解公式的內涵

數學教材中有很多的計算公式，對于這些計算公式的教學，如果省去對它的推導過程，而選擇讓學生死記硬背，只會令學生知其然，而不知其所以然。鑒于此，教學時要讓學生經歷知識形成的過程，教師可以通過讓學生表達各種算式的含義，以達到深刻理解公式的內涵。

如在教學三角形面積計算公式時，在課前，部分學生已經通過自學等形式初步知道三角形的面積計算公式。根據這種情況，教學時，我首先出示下面這個圖形，請學生計算這個三角形的面積。

有極少數學生列出了不一樣的式子，他們用圖分別表示出了各自的解法。

生1：我是把一個直角三角形剪開，拼成一個長方形，長方形的長就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因為長方形的面積=長×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推導出直角三角形的面積計算公式，銳角三角形、鈍角三角形呢？我把任意一個三角形剪開，拼成一個平行四邊形，平行四邊形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因為平行四邊形的面積=底×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推導的，折法和學習三角形內角和時一樣。所以，三角形的面積=（底÷2）×（高÷2）×2。

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最后，教師引導學生經過討論、比較、分析，發現三角形的面積計算公式還是“底×高÷2”。這里將圖形問題轉化為代數問題，突出圖像的形象思維，幫助學生獲得了準確的結論，使學生的思維能力、情感態度等都得到了發展，還有效地培養了學生“數中有形、形中有數”的意識。

2.以數想形，明晰圖形的性質

通過以數想形，還可以有效幫助學生理解圖形的性質。

如，在教學“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質時，呈現“3×4”這個算式，讓學生根據這個算式在兩條平行線之間畫三角形，結果學生畫出了如下圖形：

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通過觀察上圖，學生發現了“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質。再讓學生畫出底為6厘米、高為2厘米的三角形，引導學生通過觀察、比較，學生又能發現：“面積相等，圖形的形狀不一定相同”這一圖形的性質。

3.以數想形，培養空間想象能力

小學生的認知規律，一般來說是“直觀感知——圖式表象——抽取數學知識”的過程。這里不難看出，圖式表象是直觀感知和抽取數學知識的橋梁，充分發揮圖式表象的中介作用，有利于培養學生多角度靈活思考、大膽想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些圖形？學生想到的可能是一個長為5厘米、寬為4厘米的長方形；還可能想到是一個邊長為5厘米的正方形的周長；還可能想到是一個底為4厘米，高為5厘米的平行四邊形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎樣的三角形？這種穿梭于圖形與數字之間的學習，是一種自由游弋的學習，這種學習能實現學生對數學內容的深刻理解，同時也能有效地培養學生的空間想象能力。

教學實踐表明，根據小學生思維的年齡特征，利用數形結合，能夠讓學生把要學的知識和方法創造出來。在這過程中需要強調的是，“以形思數”和“以數想形”這兩點不是彼此獨立的，而是互相聯系的。教學中，教師應注意將這兩種思維有機結合，揚長避短，相互補充，從而有效地提高學生學習效率和數學能力。

（責編 金 鈴）endprint

數形結合思想包含兩點內容。一是以形思數，在直觀中理解“數”?？梢愿鶕皵怠币龑W生通過想象，建立清晰的圖式表象，充分發揮圖式表象的中介作用，以使學生順利獲得有關“數”的知識；二是以數想形，在轉換中建立“形”?？梢酝ㄟ^引導學生去讓“形”與“數”之間建立起一種關系，從而溝通學生的形象思維和抽象思維，進而使問題得以解決。下面就“數形結合”思想在小學數學中如何滲透談點實踐與體會。

一、以形思數，在直觀中理解“數”

1.以形思數，把握概念本質

教學中運用圖形創設一些問題情境，通過對圖形中的情境分析，抽象出數學概念的內涵和外延，能幫助學生理解數學概念。

如在教學“分數的認識”時，運用圖形創設了如下的問題情境：表示出下圖中的■。

■

思考：（1）表示過程中有什么相同點？有什么不同點？

（2）為什么都是■，但表示出的每份的個數不一樣？

（3）你能對這組圖進行分類嗎？（想以什么為標準？）

借助這些情境問題的分析、解決，學生直觀、形象地理解了“部分相同、整體相同，如果分法不一樣，表示的分數就不一樣”這一有關分數的概念特質。

2.以形思數，理解運算性質

教學中，對于一些運算性質的教學，也可以利用圖形讓學生觀察、分析，并組織學生結合操作來形象地理解相關性質。

如教學“積的變化規律”時，不少教師往往是先通過呈現一組組乘法算式，讓學生觀察、比較因數和積的變化關系，然后發現積的變化規律。實際上在教學這部分內容時，可利用長方形的模型，直觀地引導學生探究出積的變化規律。教學片段如下：

呈現寬12米，長20米的長方形。

■

讓學生觀察思考，當長不變，寬擴大或縮小3倍時，面積是怎么變化的。

■

（12×3）×12 （12÷3）×20

通過計算長方形的面積，比較長方形的面積變化，學生很直觀地看到當長不變，寬擴大3倍或縮小3倍時，它的面積也擴大3倍或縮小3倍。這里利用數形結合，讓學生很直觀地理解了積的變化規律。

3.以形思數，弄清數量關系

蘇教版教材中的“解決問題”這一板塊的內容，題目通常比較抽象復雜，有些學生較難理解其中的數量關系，從而造成解決問題的困難。要讓學生清晰地發現題目中的數量關系，可以通過引導學生畫線段圖，或采用數形結合的方法，因為數形結合是解決問題方法的一種有效手段。

例題：“有一個長方形花圃長20米，寬16米，因修路需要將長縮短4米，如果面積不變，寬應增加幾米？”

學生給出了兩種方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解決問題時多數學生采用第一種解法，而對第二種方法不少學生理解上有困難。

事實上可根據題意作圖如下：

■

學生通過圖明白了減少的面積直接除以現在的長等于增加的寬。通過數形結合，讓解題數量關系以及思路更加清晰了，數形結合的方法在這里起到了化繁為簡、化難為易，拓寬解題思路，優化解題方法等目的。

二、以數想形，在轉換中建立“形”

1.以數想形，理解公式的內涵

數學教材中有很多的計算公式，對于這些計算公式的教學，如果省去對它的推導過程，而選擇讓學生死記硬背，只會令學生知其然，而不知其所以然。鑒于此，教學時要讓學生經歷知識形成的過程，教師可以通過讓學生表達各種算式的含義，以達到深刻理解公式的內涵。

如在教學三角形面積計算公式時，在課前，部分學生已經通過自學等形式初步知道三角形的面積計算公式。根據這種情況，教學時，我首先出示下面這個圖形，請學生計算這個三角形的面積。

有極少數學生列出了不一樣的式子，他們用圖分別表示出了各自的解法。

生1：我是把一個直角三角形剪開，拼成一個長方形，長方形的長就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因為長方形的面積=長×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推導出直角三角形的面積計算公式，銳角三角形、鈍角三角形呢？我把任意一個三角形剪開，拼成一個平行四邊形，平行四邊形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因為平行四邊形的面積=底×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推導的，折法和學習三角形內角和時一樣。所以，三角形的面積=（底÷2）×（高÷2）×2。

■

最后，教師引導學生經過討論、比較、分析，發現三角形的面積計算公式還是“底×高÷2”。這里將圖形問題轉化為代數問題，突出圖像的形象思維，幫助學生獲得了準確的結論，使學生的思維能力、情感態度等都得到了發展，還有效地培養了學生“數中有形、形中有數”的意識。

2.以數想形，明晰圖形的性質

通過以數想形，還可以有效幫助學生理解圖形的性質。

如，在教學“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質時，呈現“3×4”這個算式，讓學生根據這個算式在兩條平行線之間畫三角形，結果學生畫出了如下圖形：

■

通過觀察上圖，學生發現了“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質。再讓學生畫出底為6厘米、高為2厘米的三角形，引導學生通過觀察、比較，學生又能發現：“面積相等，圖形的形狀不一定相同”這一圖形的性質。

3.以數想形，培養空間想象能力

小學生的認知規律，一般來說是“直觀感知——圖式表象——抽取數學知識”的過程。這里不難看出，圖式表象是直觀感知和抽取數學知識的橋梁，充分發揮圖式表象的中介作用，有利于培養學生多角度靈活思考、大膽想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些圖形？學生想到的可能是一個長為5厘米、寬為4厘米的長方形；還可能想到是一個邊長為5厘米的正方形的周長；還可能想到是一個底為4厘米，高為5厘米的平行四邊形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎樣的三角形？這種穿梭于圖形與數字之間的學習，是一種自由游弋的學習，這種學習能實現學生對數學內容的深刻理解，同時也能有效地培養學生的空間想象能力。

教學實踐表明，根據小學生思維的年齡特征，利用數形結合，能夠讓學生把要學的知識和方法創造出來。在這過程中需要強調的是，“以形思數”和“以數想形”這兩點不是彼此獨立的，而是互相聯系的。教學中，教師應注意將這兩種思維有機結合，揚長避短，相互補充，從而有效地提高學生學習效率和數學能力。

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