基于“卓越工程師”的高等數學課程教學案例分析

孫玉芹+劉建軍+李康弟

摘 要：“卓越工程師教育培養計劃” 是教育部率先啟動的改革計劃，依托這項改革，高等數學課程教學也需要進行改革。主要闡述了高等數學課程五個方面的教學案例，并介紹了一些試點改革的教學內容。

關鍵詞：卓越工程師；高等數學；教學案例

中圖分類號：G642.3 文獻標識碼：A 文章編號：1002-4107（2014）03-0028-03

“卓越工程師教育培養計劃”（簡稱“卓越計劃”）是我國由工程教育大國邁向工程教育強國的重大舉措，旨在培養造就創新能力強且能夠適應經濟社會發展需要的高質量各類型工程技術人才，對提高工程教育人才培養質量具有十分重要的示范和引導作用[1]。作為第一批實施“卓越工程師教育培養計劃”的高校之一，上海電力學院從各個層面開展了相關工作，其中核心變化體現在要求教師授課過程中必須要結合生產實踐進行，課程內容要不斷更新，更必須及時補充新理論和新技術、新材料和新方法，注重激發學生的求知欲和培養學生的動手能力。不僅要求學生掌握課本上的知識，還要追究和思考知識的背景、應用的條件以及存在的問題，力求做到學生畢業10年后還記得住知識的出處、查得著方法的應用、用得到具體問題的解決方法。

工程教育下的大學數學基礎課包括高等數學等多門課程。其中作為通識教育重要組成部分的高等數學教學應如何改革？又怎樣提高課堂教學質量和培養學生的動手能力？這些是我們每位大學數學教師深入思考和科學踐行的問題。本文介紹一些教學案例和高等數學課程教學中的改革思路。

一、激發學生學習興趣的案例

高等數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學。一般的課堂上，教師習慣性地把多年對教學內容的理解娓娓道出，雖然具有精心設計的引入，但也存在諸多問題：學生思考得少，動手的機會不多，與教材對話的深度不夠等。為克服這些缺點，我們根據不同的教學內容以研究式、案例式的教學方法開啟一章的內容。以下分針時針的重合問題是學習函數與極限這一章的例題之一[2]。

案例一：分針時針的重合問題。在鐘面上，一天之中零點和12 點對應的分針和時針重合，除此之外，分針時針還有哪些位置會重合？具體在什么時刻？

說明：因為時鐘是生活中特別經常遇到的物體，所以學生充滿了熱情來解答這個問題，大家會各抒己見，用多種方法給出自己的答復，甚至有學生用心去觀察，從鐘面上看出答案。在高等數學課程進行到極限概念和極限運算法則之后，解答這個問題的方法可以如下。

解答：首先將鐘面分為60格，分針1分鐘轉過1格，1小時轉過60格，時針1小時轉過5格。引入兩個數列和一個數值的記號。

（1）分針的位置的數列 ；（2）時針的位置的數列

；（3）分針時針重合的位置α。

從k（k=1，2，…，11）點開始，分針的位置和時針的位置分別為：

分針和時針重復的位置 。

分別討論k（k=1，2，…，11），得到每個小時內分針和時針都有一次重合，具體時刻是k點 分，一天之中，時針和分針共重合22 次。從本例的解題過程中，學生體會到了數學的妙用，體會到了感性思維和理性思維的交叉，體會到了極限過程的變化，體會到了極限值的含義。

案例二：函數的應用——上海出租車計價函數。

上海的出租車是計程和計時雙功能型的，當車子行駛時度低于12公里時開始計算等候時間，每等候5分鐘折算成1公里，按超里程基準單價計算，且沒超過5分鐘的等候也要根據公式計算，以下按照平均等候單價計算。計價器上不出現角和分，最后的結果四舍五入到元，即車費的最小單位是人民幣1元。等候時間的單位是分鐘，里程的精確度是百米。

白天運營時段為5：00—23：00，起步費14元（包括1元的燃油費），可運營3公里，超過3公里后每公里2.40元，總里程超過10公里后超過部分按每公里3.60元計算，平時每等候1分鐘按0.48元計算。夜間運營時段為23：00—次日5：00，起步費18元（包括一元的燃油費），可運營3公里，超過3公里后每公里3.10元，總里程超過10公里后超過部分按每公里4.70元計算，平均每等候1分鐘按0.62元計算。

以下里程變量記作s，等候時間變量記作t，出租車費用記作C，白天費用函數記作C1，夜間費用函數記作C2。則兩個函數表達式分別為：

請學生計算下白天打車走13公里，且等候10分鐘，需要花費車費多少錢？顯然使用C1函數可計算得46.4，四舍五入后即46元。若這個路程是送行動不便的客人，回程路是繼續打表還是重新打表劃算呢？重新打表假設等候時間不變，則依然是46元，來回合計92元。倘若繼續打表則最后付費的總里程是26公里，總等候時間是20分鐘，利用C1函數計算可得應付費用為98元，比先前多付費6元。倘若是夜間這么來回的話，兩次打表和一次打表的差額更大。

再請學生思考一個實際問題：在地面道路上行使的車輛由于紅綠燈限制以及行人影響等原因，往往等候時間比較長，而高架道路雖然不會受到這些因素影響，但往往會繞路幾公里，選擇哪種道路作為行使路線劃算呢？

學生認為這是一個能真實幫到自己決策的函數例題，在教學中選擇一些這樣的例題有助于提高他們實際問題的解決能力[3]。

二、培養學生思維能力的案例

高等數學的各章節知識內容之間構成了一個嚴密的邏輯系統。掌握好這樣的邏輯很重要的一點是掌握概念。概念的教學無須完全重復前人的思維過程，應該能夠簡潔明了地指出概念的本質，建立必要的抽象概念也是思維過程鍛煉中必需的項目。

案例三：級數求和問題。分別考慮級數

和級數1+2+4+8+16+…+2n+1+…的求和問題。

對于第一個級數，假設 ，兩邊同乘以2，可得

，

于是，有s=2。

但用同樣的方法對第二個級數求和就會導致錯誤，過程如下：

假設t=1+2+4+8+16+…+2n+1+…，兩邊同乘以2，可得

2t=2+4+8+16+…+2n+2+…=t-1，

由此應有t=-1，這顯然是荒謬的，原因在哪呢？

說明：前一個級數是收斂的，它的和s（也就是極限）真實存在，因此可以進行相應的運算；而后一個級數是發散的，它的和t（極限）本就不存在，當然不能再進行相關運算，如果硬去照搬形式進行運算的話，已經犯了邏輯錯誤，只能得出一個錯誤結論[4]。

三、培養學生動手能力的案例

高等數學中許多繁雜的推導可以利用計算機來完成，很多難以用手工繪制的圖形同樣利用計算機容易顯示出來，這些特點給包括高等數學在內的許多課程的教學提供了有利影響。數學軟件（如Matlab）有強大的數值計算能力，更具有作圖能力強的特征。把使用數學軟件的技能教給學生，能增強學生獨立分析問題和檢驗問題的能力，加深對概念和理論的理解，輕松地弄懂艱澀抽象的數學知識，也能提高應用能力，增強學習效果，更為今后工程運算能力打下堅實的基礎。這是工程教育下的對學生解決問題的能力和動手操作能力的很重要的培養。下面案例結合使用Matlab軟件進行操作。

案例四：在同一坐標系下畫出函數f（x）=ex及在x=0處的2次、4次、6次泰勒多項式，并探究自然對數的底數e的兩種算法在趨近效率上的差異。

在Matlab命令窗口編程如下：

>>x=-1：0.1：4；

>>f=exp（x）；

>>t2=1+x+x.^2/2；

>>t4=1+x+x.^2/2+x.^3/6+x.^4/24；

>>t6=1+x+x.^2/2+x.^3/6+x.^4/24+x.^5/120+x.^6/720；

>>plot（x，f，'k'，x，t2，'b'，x，t4，'y'，x，t6，'r'）

運行結果在圖中由下而上藍黃紅三條曲線分別對應了2次、4次、6次泰勒多項式的曲線，而最上面的黑色曲線則是指數函數f（x）=ex的圖象，顯然泰勒多項式冪次越高越好地接近了指數函數。這個圖象的描述比空洞的語言描述來得一目了然，也教給了學生一個自己進行比較的技能。

另外e存在兩種算法，一種是 ，另一種是 ，兩種算法的趨近效率有何差異呢？

這里的第一種算法就是上面所采用的方法，而第二種算法則是高數第一章的兩個重要極限之一，兩種方法計算的數值過程都借助于計算機完成。思路是設定循環運算，并確定該循環停止的條件，如前后值的絕對值小于百分之一。比較兩種算法所耗費的循環步數，比較可知，前一種方法的逼近效率較高[5]。

說明：工程教育要培養的人才要在“做中學”，即在做數學的過程之中學會思考以達到個人能力的提高。要進入解決實際問題的全過程， 通過親自建立數學模型，建立解題思路，挑選可以使用的數學軟件，求解結果，并能對結果進行合理解釋，如果出現結果與事實不符的情況，要能尋找原因以求改進， 在體會數學解決問題的整個流程中， 有失敗有成功最終發展自己的綜合實力。

四、培養學生綜合素質的案例

巧妙設置第二課堂，布置一些看似可以用其他方法解決的數學問題。如定積分的概念教學中，首先讓學生看三張圖片，一張是上海電力學院地圖，一張是辦公室日常擺放的花瓶，一張是小橋的閘門，然后布置給學生算出校園的面積，或計算這個花瓶容積，或測量這個閘門所受的壓力。對這些常見的物體，一般學生不會想起來拿它們當目標去做一些數學。

為嘗試計算校園面積，有學生在課余時間內利用測量工具對校園進行了估算，顯然不夠精確。回到課堂上以后，我們提出首先將校園邊界曲線進行模擬，不妨記作函數y=f（x）。設想在校園的平面圖上作互相垂直的網格線，得到系列長方形、正方形及一種特定的不規則圖形（這里引入曲邊梯形概念）。為計算曲邊梯形面積，進一步分析“分割——取近似——求和——取極限”這個過程，這個分析問題、解決問題的過程實際上是對學生綜合素質的培養過程。這正是定積分的核心思想，也就是微元法思想，真正掌握了這個思想，對今后學習多元積分（重積分，線面積分）有著很大的幫助。為增加科學計算能力以及工程實踐能力的培養，下面的例題是應用Matlab軟件進行操作的實例。

案例五：求圖形面積。不規則圖形由拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成。

解法一：利用定積分定義的方法，將圖形分割，近似計算其中小矩形的面積，并求和。多次改變分割的細密程度，利用計算機求和，觀察結果。

解法二：在Matlab命令窗口編程，

>>x=0：0.1：9；

>>plot（x，x-4，'b'，x，sqrt（2*x），'r'，x，-sqrt（2*x），'r'）

%畫出積分區域圖形

>>grid on

>>[x，y]=solve（'y^2-2*x=0'，'y-x+4=0'）

%計算兩曲線的交點

x=

8

2

y=

4

-2

>>syms y

%選取積分變量y

>>int（y+4-y^2/2，-2，4）

%確定積分上下限與被積函數進行積分計算面積

ans =

18

說明：第一種方法學生進行了大量的計算，目的是在反復改變劃分細密程度的過程中，讓學生感受極限過程。由于反復計算最后找到一個在固定數值附近變化的值，本題的結果為接近18的數，讓學生感受到了極限的本質。這里還可以拓展其他一些定積分的近似計算方法，如辛普森法、Monte Carlo法等。第二種方法是直接調用軟件的命令，容易上手，計算快，在工程計算中可以直接使用，這里也是能力的培養。

五、衡量學生工程素質的案例

在當今工業化和信息化時代各行各業急需各類應用型、行業特色型人才。為適應這一人才培養目標，高等數學教學體系應凸顯實踐性，但僅僅在教學過程中使用計算軟件還不夠，還要有配套的考核機制。我們采用上機完成大型作業和撰寫小論文等形式考核并計入總成績，最后學生的高等數學成績由筆試和大型作業等多個數據按比例合成。下面略舉兩例，不作詳細解釋。事實上，在實踐中，我們給出了近百個這樣的問題，學生也常常能寫出不錯的小論文，有些想法非常實用，有些想法非常新穎。

案例六：罐裝飲料罐的外形設計。

要求學生具體測量某品牌飲料罐的直徑、高度，飲料的容積，飲料罐的體積，頂蓋和側邊的厚度等數據。應用高等數學知識分析該飲料罐的優化成分體現在哪些方面，是否可以采用其他外形或有沒有更好的設計，給出翔實的理由。

案例七：方桌問題。

在不十分平坦但光滑的地面上，能否將四條腿的方桌放平穩，不允許將桌子移到別處，但允許繞其中心旋轉，是否總能設法使其四條腿同時著地？已知方桌的四條腿一樣長，且著地時底部構成正方形。

六、高等數學教學內容的改革嘗試

上海電力學院采用的是同濟大學數學系編寫的《高等數學》第六版教材。為增強“卓越”班學生的動手能力，壓縮部分理論推導內容的教學課時，調整為使用Matlab數學軟件演示該內容在工程計算等相關問題實踐中的應用。如在《高等數學》上冊的“函數與極限”這一章，弱化函數各種性質的理論推導，采用Matlab數學軟件的圖像功能，演示函數的圖像，并通過圖像分析函數的單調性、奇偶性、周期性、有界性等性質。在“導數與微分”這一章，弱化可微性的詳細討論，演示利用微分的近似計算和求方程的近似解，擴充迭代法解線性或非線性方程。在“微分中值定理與導數的應用”這一章，略去中值定理的詳細證明，補充演示零點定理在解線性方程和非線性方程中的重要作用。加強經濟效益等問題在一元函數極值、條件極值等方面的應用。在“定積分及其幾何應用”這一章，略講定積分的概念和分析，補充演示辛普森法、Monte Carlo法計算不規則圖形面積，旋轉體體積等。在《高等數學》下冊的“微分方程”這一章，補充演示機械振動（包括簡諧振動、振動合成、阻尼振動、受迫振動等）模擬。在“無窮級數”這一章，略講Fourier級數的理論計算和收斂性詳細討論，演示各種函數用Fourier級數逼近的情況。增加通過數學軟件求多元函數極值和條件極值的方法。

通過對教學內容的調整，使高等數學課成為一門既普及高等數學知識，又培養數學建模能力，并重視數值計算與編程的學科，最終目的是加強學生的創新能力、科學計算能力以及工程實踐能力。

參考文獻：

[1]馬曉峰，畢漁民.“卓越工程師教育培養計劃”視閾下的

大學數學教學模式構建[J].黑龍江高教研究，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把數學建模融入高等數學教學

中的兩個案例[J].北京聯合大學學報：自然科學版，

2010，（1）.

[3]龍薇.將數學建模思想滲入高等數學教學的思考[J].黑

龍江科技信息，2008，（36）.

[4]王曉東，史麗敏，劉林.高等數學教學與創新能力培養

[J].新鄉學院學報：自然科學版，2012，（6）.

[5]杜鳳英，錢靖.基于R軟件的數學實驗在高等數學教學

的應用[J].產業與科技論壇，2009，（3）.

五、衡量學生工程素質的案例

在當今工業化和信息化時代各行各業急需各類應用型、行業特色型人才。為適應這一人才培養目標，高等數學教學體系應凸顯實踐性，但僅僅在教學過程中使用計算軟件還不夠，還要有配套的考核機制。我們采用上機完成大型作業和撰寫小論文等形式考核并計入總成績，最后學生的高等數學成績由筆試和大型作業等多個數據按比例合成。下面略舉兩例，不作詳細解釋。事實上，在實踐中，我們給出了近百個這樣的問題，學生也常常能寫出不錯的小論文，有些想法非常實用，有些想法非常新穎。

案例六：罐裝飲料罐的外形設計。

要求學生具體測量某品牌飲料罐的直徑、高度，飲料的容積，飲料罐的體積，頂蓋和側邊的厚度等數據。應用高等數學知識分析該飲料罐的優化成分體現在哪些方面，是否可以采用其他外形或有沒有更好的設計，給出翔實的理由。

案例七：方桌問題。

在不十分平坦但光滑的地面上，能否將四條腿的方桌放平穩，不允許將桌子移到別處，但允許繞其中心旋轉，是否總能設法使其四條腿同時著地？已知方桌的四條腿一樣長，且著地時底部構成正方形。

六、高等數學教學內容的改革嘗試

上海電力學院采用的是同濟大學數學系編寫的《高等數學》第六版教材。為增強“卓越”班學生的動手能力，壓縮部分理論推導內容的教學課時，調整為使用Matlab數學軟件演示該內容在工程計算等相關問題實踐中的應用。如在《高等數學》上冊的“函數與極限”這一章，弱化函數各種性質的理論推導，采用Matlab數學軟件的圖像功能，演示函數的圖像，并通過圖像分析函數的單調性、奇偶性、周期性、有界性等性質。在“導數與微分”這一章，弱化可微性的詳細討論，演示利用微分的近似計算和求方程的近似解，擴充迭代法解線性或非線性方程。在“微分中值定理與導數的應用”這一章，略去中值定理的詳細證明，補充演示零點定理在解線性方程和非線性方程中的重要作用。加強經濟效益等問題在一元函數極值、條件極值等方面的應用。在“定積分及其幾何應用”這一章，略講定積分的概念和分析，補充演示辛普森法、Monte Carlo法計算不規則圖形面積，旋轉體體積等。在《高等數學》下冊的“微分方程”這一章，補充演示機械振動（包括簡諧振動、振動合成、阻尼振動、受迫振動等）模擬。在“無窮級數”這一章，略講Fourier級數的理論計算和收斂性詳細討論，演示各種函數用Fourier級數逼近的情況。增加通過數學軟件求多元函數極值和條件極值的方法。

通過對教學內容的調整，使高等數學課成為一門既普及高等數學知識，又培養數學建模能力，并重視數值計算與編程的學科，最終目的是加強學生的創新能力、科學計算能力以及工程實踐能力。

參考文獻：

[1]馬曉峰，畢漁民.“卓越工程師教育培養計劃”視閾下的

大學數學教學模式構建[J].黑龍江高教研究，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把數學建模融入高等數學教學

中的兩個案例[J].北京聯合大學學報：自然科學版，

2010，（1）.

[3]龍薇.將數學建模思想滲入高等數學教學的思考[J].黑

龍江科技信息，2008，（36）.

[4]王曉東，史麗敏，劉林.高等數學教學與創新能力培養

[J].新鄉學院學報：自然科學版，2012，（6）.

[5]杜鳳英，錢靖.基于R軟件的數學實驗在高等數學教學

的應用[J].產業與科技論壇，2009，（3）.

五、衡量學生工程素質的案例

在當今工業化和信息化時代各行各業急需各類應用型、行業特色型人才。為適應這一人才培養目標，高等數學教學體系應凸顯實踐性，但僅僅在教學過程中使用計算軟件還不夠，還要有配套的考核機制。我們采用上機完成大型作業和撰寫小論文等形式考核并計入總成績，最后學生的高等數學成績由筆試和大型作業等多個數據按比例合成。下面略舉兩例，不作詳細解釋。事實上，在實踐中，我們給出了近百個這樣的問題，學生也常常能寫出不錯的小論文，有些想法非常實用，有些想法非常新穎。

案例六：罐裝飲料罐的外形設計。

要求學生具體測量某品牌飲料罐的直徑、高度，飲料的容積，飲料罐的體積，頂蓋和側邊的厚度等數據。應用高等數學知識分析該飲料罐的優化成分體現在哪些方面，是否可以采用其他外形或有沒有更好的設計，給出翔實的理由。

案例七：方桌問題。

在不十分平坦但光滑的地面上，能否將四條腿的方桌放平穩，不允許將桌子移到別處，但允許繞其中心旋轉，是否總能設法使其四條腿同時著地？已知方桌的四條腿一樣長，且著地時底部構成正方形。

六、高等數學教學內容的改革嘗試

上海電力學院采用的是同濟大學數學系編寫的《高等數學》第六版教材。為增強“卓越”班學生的動手能力，壓縮部分理論推導內容的教學課時，調整為使用Matlab數學軟件演示該內容在工程計算等相關問題實踐中的應用。如在《高等數學》上冊的“函數與極限”這一章，弱化函數各種性質的理論推導，采用Matlab數學軟件的圖像功能，演示函數的圖像，并通過圖像分析函數的單調性、奇偶性、周期性、有界性等性質。在“導數與微分”這一章，弱化可微性的詳細討論，演示利用微分的近似計算和求方程的近似解，擴充迭代法解線性或非線性方程。在“微分中值定理與導數的應用”這一章，略去中值定理的詳細證明，補充演示零點定理在解線性方程和非線性方程中的重要作用。加強經濟效益等問題在一元函數極值、條件極值等方面的應用。在“定積分及其幾何應用”這一章，略講定積分的概念和分析，補充演示辛普森法、Monte Carlo法計算不規則圖形面積，旋轉體體積等。在《高等數學》下冊的“微分方程”這一章，補充演示機械振動（包括簡諧振動、振動合成、阻尼振動、受迫振動等）模擬。在“無窮級數”這一章，略講Fourier級數的理論計算和收斂性詳細討論，演示各種函數用Fourier級數逼近的情況。增加通過數學軟件求多元函數極值和條件極值的方法。

通過對教學內容的調整，使高等數學課成為一門既普及高等數學知識，又培養數學建模能力，并重視數值計算與編程的學科，最終目的是加強學生的創新能力、科學計算能力以及工程實踐能力。

參考文獻：

[1]馬曉峰，畢漁民.“卓越工程師教育培養計劃”視閾下的

大學數學教學模式構建[J].黑龍江高教研究，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把數學建模融入高等數學教學

中的兩個案例[J].北京聯合大學學報：自然科學版，

2010，（1）.

[3]龍薇.將數學建模思想滲入高等數學教學的思考[J].黑

龍江科技信息，2008，（36）.

[4]王曉東，史麗敏，劉林.高等數學教學與創新能力培養

[J].新鄉學院學報：自然科學版，2012，（6）.

[5]杜鳳英，錢靖.基于R軟件的數學實驗在高等數學教學

的應用[J].產業與科技論壇，2009，（3）.