催化模型在醫學中的應用

趙曄

摘 要：通過討論幾種催化模型及其對應的流行病病例，解釋了數學學習與實際病例的關系，提高了學生學習數學的興趣。

關鍵詞：催化模型；陽性率；微分方程

在高等數學課的教學過程中，經常會有很多學生問這樣一個問題：學習高等數學在實際生活中會有什么樣的用處？在醫科院校里面這個問題尤其突出，這也從側面對教師提出一個要求：如何把嚴肅枯燥的數學內容與鮮活的醫學案例結合起來，提高學生的學習興趣，使學生能夠真切地感受到數學在醫學實際中的用處。

在大多數醫學院校的高數教材中，關于醫學的例子并不少見，但是，卻讓學生興致缺失，主要是因為這些數學課本中的例題有兩大不足：一是對許多實際病例作了簡化處理，推出了一些數學模型，但是，結果這些數學模型不能很好地對實際病例做出合理的解釋，給學生一種生搬硬套的感覺；另外一個是給出的模型過于復雜，其中涉及的數學和醫學知識層次較深，或者解決模型的過程異常繁瑣，使學生望而生畏，不愿去解決模型問題。

針對這個問題，筆者根據教學實踐，結合流行病學中的“催化數學模型”，給出微分方程應用的一個教學實例。

一、催化模型的建立

催化數學模型在1959年由Muench提出的關于流行病學模型，這個模型主要應用于某些流行疾病的年齡性別陽性率資料。

該模型的建立需要三個假設條件：

1.要求研究對象在出生時都是易感者。

2.某種流行疾病在這組人群中的感染力是恒定不變的。

3.在該人群發生的人口流動、死亡等因素可以忽略不計。在這三個假設條件都成立的條件下，可以得到三個基本流行方程：

（1）簡單催化數學模型

二、模型問題的求解

催化數學模型自被Muench提出以來，憑借它的簡單和實用等特點受到各地醫務工作者的歡迎和喜愛。

在以上三種類型的公式中，方程（1）、方程（2）都屬于常見的可分離變量的微分方程。方程（3）屬于一階線性微分方程。在日常的課堂教學過程中，教師可以根據具體情況講解這些例子。一方面，可以作為可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的例

題，通過日常可見的熟悉病例來求解方程，這時只需對方程的流行病學的意義做個簡要說明即可引起學生的強烈學習興趣；另一方面，教師給出實際數據，進行模型間的擬合，這樣的教學效果相對更好一些，但卻面臨著擬合模型的過程需要用到很多數學知識，如：最小二乘法等。最后是全部解決問題過程的講解，依據講解步驟為：問題提出→建立假設條件→建立目標方程→方程求

解→實際應用的擴展。通過這樣的授課方式，能提高學生的解題能力和學習興趣，讓學生學以致用，取得良好的教學效果。

催化數學模型在微分方程部分的教學中，通過實際生活中熟悉的病例模型，能引起大部分學生強烈的學習興趣。通過這類數學模型的深入講解，學生能把數學知識與醫學實際合理地結合起來，并加深了對微分方程內容的理解。同時也會引導學生自己提出問題：這類數學模型的假設條件是否能夠繼續改進？應怎樣改進？隨著假設條件的變化，可以得到什么模型？這樣學生的學習將會很輕松地達成教學目標。

參考文獻：

周懷悟.數理醫藥學.上海科技出版社，1983.

（作者單位 西安工業大學理學院）