數學實驗與數學建模研究的程序基礎

盧振坤，葉海燕

（1.廣西民族大學 信息科學與工程學院，廣西 南寧530006；2.梧州學院 文法學院，廣西 梧州543002）

進入21 世紀，高等教育必須把培養高素質創新型人才作為根本目標。而數學作為一門基礎學科，已經滲透到各個領域，并越來越深刻地影響到相關學科的發展。數學建模與數學實驗是與解決實際問題聯系緊密的課程，如今各個高校都開設了該課程，而且有關如何進行數學建模與數學實驗的課程改革以及如何把數學建模思想滲透到平時的數學課中等問題已經有很多文獻進行探討[1—8]。文章主要針對數學建模與數學實驗研究程序，從數學的角度進行分析，給出一個量化的實現過程。

現實中，研究對象往往是復雜而且是隨機的。在數學建模與數學實驗中，我們可以在定性的和定量的程度上進行實驗。在定性實驗中，往往只得到研究對象的某一特征，其測量精度是未知的，其目的是研究對象的具體性質。而定量實驗則不同，是用模型的方法獲得研究對象的特征，可進行一定的誤差控制，主要目的是要精確測定我們所關心的特征。實驗中要完成的主要任務是：

（1）積累有關研究對象已知性質的信息；

（2）探索研究對象的新性質；

（3）檢驗建立的理論模型的正確性；

（4）求解反概率問題。

1 定量實驗研究及概率特征的鑒別泛函

當利用定量方法去研究某個對象時，我們要用一些函數去描述研究對象的性質，比如隨機過程x(t)就是這種函數理想化的模型。根據先驗信息a 和我們采用的假設h 來建立假設對象，相應的模型可表示為：

其中m=(a,h)是一個算子，它表示根據先驗信息a 和假設h 所選擇的模型的類型；ξi(t)，i=1,2,…，p 是隨機過程，假設它的概率特征是已知的。模型m∈M 必須形成集合M，并足以完整地描述實際研究對象的性質。

設θ(l|m)是與x(t)的模型m 相對應的隨機過程x(t)的概率特征，這里l=(l1，l2，…，ln)是研究過程中作為概率特征的自變量出現的獨立變量的集合（n 決定它的維數）。從它依賴于模型m 的觀點看，概率特征θ(l|m)是有條件的。若令πi(λ),i=1,2,…,p 為隨機過程ξi(t)的概率特征，λ=(λ1，λ2，…，λp)為對應的獨立變量的集合。根據定義，概率模型必須使我們能夠建立原始的概率特征{πi(λ)}和θ(l|m)之間的聯系，即

這里μm唯一地由算子m 所確定——即由隨機過程的模型所確定。

在定量的實驗中，我們必須求出概率特征θ(l|m)和這個特征的統計估值之間(l)數值的對應關系。實際上，不求出這一對應關系，我們就不能得到一個定量的實驗結果。

對于所研究的特征我們引入鑒別泛函ρθ(m)：

這里ρ 表示一個運算形式的算子，用這種運算形式來確定θ(l|m)和(l)之間的差別。

因此，ρθ(m)是一個數，這個數在某種意義上確定在由它們的自變量所描述的空間函數θ (l|m)和(l)之間的距離。

引入鑒別泛函使我們能夠確定統計測量的誤差，并能用數值估計的定量形式表示出試驗的結果。

其中A(q)和A（l）是相應的權函數。

2 研究基本模型

鑒于對研究對象性質的假設以不同的充分程度反映研究對象真實的性質，自然我們假定對于不同的模型m∈M 泛函ρθ(m)的值將會不同。在模型的集合中存在一個最小的泛函ρθ(m)。

把m0∈M 定義為基本模型，它對應于泛函ρθ(m)的最小值，即

其中表示下確界。

顯然對一個具體的模型m，ρθ(m)的值越接近ρθ(m0)的值，則這個模型就越準確、越有效。某一個模型有效度E(m)的定量測度可以定義為：

模型m 的有效度E(m)有下面的性質：

其中sup 表示上確界。

在建立模型M 集合的過程中我們必須考慮所有可利用的先驗信息a，此外我們還必須考慮與研究對象可能的特性有關的假設h。在一般情況下，任何兩個模型mi和mj可以利用所考慮的形成的先驗信息量ai和aj，以及在確定這些模型時所作的假設hi和hj來加以區別。對于絕大多數有實際意義的情況，我們可以假設用來建立不同模型的先驗信息量是相等的，即ai=aj=a，而模型mi=(a,hi)和mj=(a,hj)的差別僅僅表現在所采用的假設hi和hj的性質方面。但是即使不是這樣，嚴格地講，所考慮的先驗信息量的不同原則上與對應假設的特征有關。這樣，在這種解釋中模型的差別來自所作的假設的差別。如果我們用H 表示可能的假設h∈H 的集合,顯然，集合M 唯一地被集合H 所確定。

3 試驗模型結果的解釋

試驗研究的一個重要的階段是試驗結果的解釋，它定義為對實際研究對象的性質進行判決的一個步驟，其目的是控制后來的試驗和導出使用所得的數據的推薦值。

采用的模型m 與實際對象的模型完全相匹配，用Δρθ(m)表示對應于這種情況的泛函ρθ(m)的值，顯然這樣一種情況是假定的，但盡管如此，從方法論的觀點出發還是值得研究的。考慮到以上的討論，看出在統計測量中Δρθ(m)的值應當作為算法誤差和設備的誤差來對待。

假定與第m 個模型相對應的概率特征θ(l|m)是研究對象的真實特征，則可以計算Δρθ(m)的值。自然希望對于基本模型m0來說Δρθ(m)是最小，也就是

以下述方法證實上式的正確性。統計測量的誤差（至少是算法誤差）取決于所采用的模型與實際研究對象一致的程度。在這種情況下，一致程度越高——也就是所研究的模型m 與基本模型m0越接近，這些誤差就越小。按照基本模型(m)的定義，它是在所有m∈M 中與真實模型最接近的。于是式（1）的正確性得到證明。

令ε 為一正數，則值

相當于最小統計測量誤差乘以(1+ε)。當然ε具體值的選擇必須合理，并要考慮到要解決的問題的特殊性質和利用實驗數據的特殊性質。ε 值起的作用是規定一個確定的置信范圍用以確定對于泛函ρθ(m)的容許值的限制。

如果作為一個實驗結果滿足條件

則選擇基本模型m0的任務便完成，試驗也就結束。將來，在不等式（2）所確定的這組條件下模型m0可以用來預測研究對象的性質。

但是，如果得出

則就不能認為得出的基本模型足以表示實際研究對象（當然對于假定的ε 值）。在這種情況下，可能的模型集合M 必須由另一個模型集合M1來代替，使得

其中Φ 表示空集。

進一步的研究變為在模型m1∈M1中尋求基本模型m10。如果得出

則試驗就結束。但是，如果

則必須依次引入模型的集合MR，R=2,3…，使得

并尋求基本模型mR0，直到對某個mR0不等式

成立為止。

其次，研究形成的概率模型的集合MR(R≥1)的一些特性，在模型集合M 的討論中曾把先驗信息a 和假設h∈H 用作原始數據。

如果考慮式（4）成立，有必要引入模型集合MR，MR的形成一方面用新的假設HR；另一方面用附加的先驗信息a+ΔaR，在這種情況下，信息ΔaR由試驗研究的下一個周期得到。

4 結 論

數學實驗與數學建模的改革是深化高校數學教學改革，全面提高教學質量，培養二十一世紀創新型高素質人才的有效途徑。而數學建模不能只是停留在感性認識上，否則面對實際問題時就無法找到切入點，無法建立合理的數學模型，更不能對結果做出合理的分析。文章從數學的角度進行分析，給出一個量化的實現過程，讓學生對整個數學建模和數學實驗的過程有一個理性的認識，從而更好地指導他們解決實際問題的能力。

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