小學低年級兒童的等值分數概念發展及干預*

辛自強 韓玉蕾

(1中央財經大學社會發展學院心理學系, 北京 100081) (2北京市房山區考試中心, 北京 102412)

1 問題提出

等值分數是表示具有相等值的分數(Chapin &Johnson, 2006), 例如1/2 = 2/4。它建立在分子和分母之間的乘法關系不變性前提上。等值是分數知識體系中的基礎性概念, 對于學習通分、約分以及比例關系等內容具有重要意義。

國內外研究均表明, 學生普遍不能很好地掌握等值分數的概念(Mitchell & Horne, 2010; Nunes &Bryant, 2008; 蘇洪雨, 2007)。國外調查發現, 有60%的四年級學生和51%的六年級學生認為10/12是5/6的2倍(Mcnamara & Shaughnessy, 2010)。我國學生的數學成績盡管優于國外同齡者, 但同樣不能很好地理解這一概念。研究發現, 五年級以上學生對等值分數的運算程序較為熟練, 但對其概念的理解比較薄弱(蘇洪雨, 2007)。

新皮亞杰學派的代表人物Kamii等人(Kamii &Clark, 1995; Sophian, 2007)提出, 兒童不能理解等值分數的原因是未發展起等值分數的運算思維, 包括守恒觀念和乘法思維。守恒指物體某方面的特征(如重量或體積), 不因其另一方面的特征(如形狀)改變而改變(Piaget & Inhelder, 1997)。獲得守恒觀念的前提是對相對量的認識, 即整體的大小是由兩個部分量共同決定的。乘法思維指表征某一情境的數量之間存在著確定的倍數關系(Smith, Solomon,& Carey, 2005)。乘法思維的發展也要以相對量概念的發展為基礎, 尤其是要理解兩個量之間的協變關系, 即兩個量同向變化, 而它們之間的關系保持不變。可見, 相對量概念的發展是等值分數概念發展的基礎。

Piaget和Inhelder (1975)認為, 兒童要到抽象運算階段(11歲以后)才能獲得比例守恒的概念。但后來的研究發現, 兒童很早就具有對等值分數的非符號化的理解(Siegler, Fazio, Bailey & Zhou, 2013)。McCrink和Wynn (2007)發現, 6個月大的嬰兒能夠正確地分辨變化了的兩個因素的比例, 當重復呈現藍點與黃點的數量比為2：1的圖片時, 嬰兒表現出習慣化, 而當數量比變為4：1時, 嬰兒出現去習慣化。在Spinillo和Bryant (1991)的研究中, 6、7歲兒童能對由藍白兩種顏色填充的長方形模型與圖片進行匹配。

對于上述現象, 學者們經過多項研究證實, 這是由于兒童具有一個直覺數學系統—— 類比數值系統(Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004; McCrink& Wynn, 2007; van Marle & Wynn, 2009)。在非計數的條件下, 嬰兒和學前兒童能夠通過該系統以近似、抽象的方式表征兩個數的比。但當兒童初步發展起計數能力后, 就容易受整數等值的干擾, 當等值分數問題中有計數線索時, 傾向于使用按絕對量判斷的錯誤策略。

為了檢驗這一解釋, Boyer等人(Boyer, Levine,& Huttenlocher, 2008)采用橙汁濃度匹配實驗, 對幼兒園至小學四年級的兒童進行考察。實驗材料采用圖片呈現, 每幅場景包括一個原始項和兩個選項,要求被試從兩杯橙汁和水的混合物中選擇與原始項濃度相同的那杯。每一個杯子由兩種顏色填充,分別代表橙汁和水。在一些任務中, 杯子上標有刻度以便被試能夠對水和橙汁的量進行計數, 代表離散量任務, 另一些任務的杯子上未標刻度, 代表連續量任務。該實驗設置了4種組間條件, 分別為：原始項和選項均為連續量; 原始項為連續量, 選項為離散量; 原始項為離散量, 選項為連續量; 原始項和選項均為離散量。結果發現, 只有原始項和選項均為離散量條件下的正確率低于隨機水平, 且顯著低于其他3種條件下的正確率, 其他3種條件之間無顯著差異, 這表明只有在能夠進行數量匹配的條件下兒童才會被誤導, 兒童的錯誤是受整數等值的干擾造成的; 四年級的正確率顯著高于二、三年級, 后者又顯著高于幼兒園和一年級, 只有幼兒園和一年級的正確率低于隨機水平, 這說明隨著年齡的增長, 兒童解決等值分數問題的能力顯著提高。

在這里, Boyer等人(2008)的研究只說明了低年級兒童容易受整數等值思維的干擾, 并沒有進一步分析這反映了運算思維處于哪個水平, 也沒有深入揭示低年級與高年級兒童在等值分數概念水平的差異, 以及從低年級到高年級的概念發展過程, 而這些對于指導等值分數的早期教學是具有重要意義的。Boyer等人提出, 有必要進一步探討等值分數教學的有效方法, 可以借助兒童在連續量任務上的成功給離散量任務搭建支架, 通過兩種問題的比較可能使其運用正確的直覺性加工過程而非錯誤的計數策略來解決離散量問題。一些教育研究者(Fuson & Abrahamson, 2005; Pitkethly & Hunting,1996)也提倡將教學與兒童的直覺性知識聯系起來。這實際上體現了支架式教學的思想(Henderson,Many, Wellborn, & Ward, 2002), 它的理論基礎是“最近發展區”概念(Vygotsky, 1978)。“最近發展區”是兒童獨立解決問題時的實際發展水平和在他人指導下解決問題時的潛在發展水平之間的距離。因此我們需要確定兒童的等值分數概念的實際發展水平和潛在發展水平。具體來說, 各年齡兒童的運算思維處于哪個層次, 怎樣促進兒童的概念水平由低向高發展, 這些問題需要結合守恒觀念和乘法思維的發展來進行細致地分析和探討。當前的研究主要聚焦于個體對等值分數的加工特點(Boyer &Levine, 2012; Meert, Grégoire, Seron, & No?l, 2012)以及小學高年級及其后階段關于等值分數的正式教學(Fernández, Llinares, Van Dooren, De Bock, &Verschaffel, 2009; Jitendra et al., 2009; Nunokawa,2012), 很少專門探討我國小學低年級兒童等值分數概念的理解(這時兒童尚未正式學習等值分數)以及干預方法。

本研究擬通過分析不同年齡兒童的運算思維水平來確定個體的等值分數概念發展過程, 并基于“最近發展區”理論對小學低年級兒童的守恒觀念和乘法思維實施干預, 以提高其等值分數概念水平。實驗1改進了Boyer等人(2008)的橙汁濃度匹配任務, 考察小學一至三年級兒童在不同數量性質條件下的正確率和策略使用情況, 以確定其運算思維水平, 在此基礎上描述總體的概念發展過程, 并以此來界定各年級兒童所處的發展階段。鑒于一年級主要學習加法思維, 二年級主要學習乘法思維,三年級初步學習分數的正式知識, 考察這3個年級的等值分數概念特點, 能夠較為全面地揭示兒童的等值分數概念發展過程。在Boyer等人的研究中,連續量和離散量是通過杯子上有無刻度來區分的,但是在杯子上標刻度的情況并非完全的離散量, 因為兒童可能會忽視刻度而將其當作連續量, 即便如此也能正確解決問題。為此, 本研究中設置了一種新的離散量條件—— 將水和橙汁分別裝在一個個小杯子中, 而將有刻度的情況作為混合量條件(同時提供了連續量和離散量信息), 因此共有3種數量性質條件：連續量、混合量和離散量。另外, 為考察兒童對部分和整體的加工特點, 實驗設置了兩種干擾條件, 一種條件是干擾項和原始項的橙汁量相等(即部分絕對量相等), 另一種條件是干擾項和原始項的橙汁和水總量相等(即整體絕對量相等)。

實驗2和實驗3根據每個年級兒童的實際發展水平和潛在發展水平, 設計適合其水平的干預實驗,促進相應年級兒童的等值分數概念水平的發展, 以便從中概括適合特定發展階段的干預方法; 此外,這種干預實驗的結果也可用于說明實驗1所得到的概念發展階段模型的有效性。

2 實驗1：兒童的等值分數概念發展特點

該實驗采用3種數量性質條件下的橙汁濃度匹配任務, 考察小學一至三年級兒童的運算思維水平,并據此確定兒童的等值分數概念發展路徑。

2.1 方法

2.1.1 被試

從北京市某普通小學一至三年級中隨機抽取151名兒童, 其中一年級47人(男24, 女23), 平均年齡為80.86 (± 6.32)月; 二年級52人(男27, 女25),平均年齡為90.44 (± 4.28)月; 三年級52人(男27,女25), 平均年齡為104.22 (± 6.16)月。鑒于Boyer等人(2008)的研究中檢測到性別差異, 本研究的3個實驗中均保持了男女人數的基本平衡。

2.1.2 刺激材料和儀器

本研究采用電腦播放PPT圖片的方式來呈現任務。實驗儀器是17英寸彩色顯示器的聯想 PIV計算機, 屏幕分辨率是1024×768, 刷新頻率是70 Hz。

實驗材料為改編的橙汁濃度匹配任務, 給兒童呈現一杯橙汁和水的混合物(原始項), 讓兒童從后面兩杯(備選項)中選擇與原始項的橙汁濃度相同的那杯(如圖1所示)。為了便于直觀比較, 杯子的下部為橙汁(黃色部分), 上部為水(藍色部分)。設定3種數量性質的實驗條件：一種是連續量條件, 僅標出橙汁和水的分界線; 一種是離散量條件, 橙汁和水分裝在小杯子中; 一種是混合量條件, 在杯子上標刻度。為考察兒童對部分和整體的加工特點, 干擾選項的設置包括兩種干擾條件, 一種條件是干擾項和原始項的橙汁量相等(即部分絕對量相等), 另一種條件是干擾項和原始項的橙汁和水總量相等(即整體絕對量相等)。匹配項(即答案)的橙汁和水之比等于原始項的橙汁和水之比, 但對應部分的絕對量均不相等。

3種數量性質下各有16道測驗題目, 其中8題的干擾項為部分絕對量相等, 另外8題的干擾項為整體絕對量相等。為減小誤差, 干擾選項與原始項之間的差值絕對量在所有的題目上大體保持一致(如表1)。表中分數值是澄汁濃度, 即橙汁/(橙汁+水)。先前研究表明“一半”是一個比較特殊的分數(Spinillo & Bryant, 1991), 因此題目中沒有涉及“一半”, 并且所有的干擾項和原始項的分數值都分布在“一半”分界線兩側(即, 如果原始項的分數值小于二分之一, 那么干擾項大于二分之一, 反之亦然),這比在二分之一同側的情況下更加簡單。對所有題目的干擾項和匹配項的相對位置進行了平衡, 并對兩種干擾條件下的題目的呈現順序進行了平衡。

圖1 三種數量性質的橙汁濃度匹配測驗題目

表1 16道測驗題目的分數值

2.1.3 實驗設計和程序

實驗1為3(年級：一、二、三年級)×3(數量性質：連續量、混合量、離散量)×2(干擾條件：部分絕對量相等干擾、整體絕對量相等干擾)的三因素混合設計。其中年級、數量性質屬于被試間變量, 干擾條件屬于被試內變量, 因變量為被試的得分(正確答題的個數)。

實驗采用個別施測, 在學校的機房進行, 環境安靜、光線充足。每名被試由兩名主試負責, 其中一名主試給被試講解指導語并追問, 另一名主試負責記錄被試的反應以及口語報告。為增強實驗材料的趣味性, 采用卡通人物“懶羊羊喝橙汁”的故事情境來講解。首先用PPT動畫給兒童演示橙汁的調制過程, 指導語如下：“懶羊羊喜歡喝橙汁, 可是它嫌橙汁太酸了, 就會往橙汁里面加一些水, 變成自己喜歡的味道。” 接著給兒童演示橙汁濃度匹配的例子, 指導語如下：“懶羊羊先調了一大杯橙汁, 喝完后還想再喝一杯同樣味道的, 就又調了一小杯。”為了確保兒童理解, 演示完畢后, 讓兒童再陳述一遍懶羊羊是在干什么。然后進行正式實驗, 指導語如下：“現在懶羊羊遇到一個問題, 需要你幫忙解決一下。左邊這杯橙汁是懶羊羊喜歡的味道, 但它不知道右邊兩杯中哪一杯跟左邊的味道相同。你能幫它選出來嗎？”待被試作出選擇后, 主試追問：“為什么選這杯呢？”另一名主試記錄被試的答案、口語報告, 以及在此過程中的非言語表現。

2.1.4 資料分析

各題目采取做對記1分, 做錯記0分的計分方式, 計算每個被試在兩種干擾條件下的得分以及總分, 并對兒童的解題策略進行編碼和分析。

根據本研究中兒童的表現和口語報告, 總結出兒童在解決此類等值分數任務時使用的正確策略和錯誤策略類型。正確策略有6種, 分別為：知覺相似性、部分-部分比較、部分-整體比較、同增同減、部分-部分比例、同增同減比例。錯誤策略有5種, 分別為：部分絕對量、整體絕對量、加減運算、部分未對應、不理解題意。對各種策略的界定說明詳見表2和表3。

表2 正確策略編碼表

表3 錯誤策略編碼表

結合以往研究結論, 以及本研究中不同年級兒童的表現, 將正確策略劃分為3種水平。水平一是知覺相似性策略, 反映了兒童運用直覺性知識來解決問題, 在該水平上, 兒童主要依據整體性的、籠統的知覺經驗來判斷兩個量的關系; 水平二是部分比較系列策略, 包括部分-部分比較、同增同減、部分-整體比較, 反映了兒童初級的等值分數概念,在該水平上, 兒童能夠同時考慮兩個量的變化來比較其關系, 但這種關系往往是簡單的相對多少比較,是一種粗略的比較策略; 水平三是正式的等值分數運算策略, 包括部分-部分比例、同增同減比例, 反映了兒童運用正式的等值分數概念來解決問題, 在該水平上, 兒童能夠精確計算兩個量的比例關系。

由兩名主試(發展與教育心理學專業的碩士)對被試的口語報告進行評估, 對照策略編碼表進行策略歸類。對兩名主試的評估結果進行評分者信度分析, 計算Kappa系數平均值為0.91, 說明主試對策略歸類的評判具有較高的一致性。

2.2 結果與分析

2.2.1 得分分析

表4列出一至三年級兒童在3種數量性質下的人數、得分的平均數和標準差, 包括在兩種干擾條件下(部分絕對量相等、整體絕對量相等)的得分(滿分為8)以及總分(滿分為16)。

單尾

t

檢驗的結果表明, 在整體絕對量相等的干擾條件下, 3個年級在3種數量性質下的得分均顯著高于隨機水平; 在部分絕對量相等的干擾條件下, 一年級在連續量條件下、二年級在連續量和離散量條件下、三年級兒童在3種數量性質下的得分均顯著高于隨機水平(

ps

＜ 0.05)。以年級、數量性質為被試間變量, 以干擾條件為被試內變量, 以得分為因變量, 進行3(年級)×3(數量性質)×2(干擾條件)的重復測量方差分析。由于球形檢驗不成立,

df

= 0, 需校正單變量檢驗的自由度, 取Greenhouse-Geisser Epsilon (G-G)校正系數。重復測量變量干擾條件的主效應顯著,

F

(1, 142) = 35.89,

p

＜ 0.001, η= 0.20, 整體絕對量相等的干擾條件下的得分顯著高于部分絕對量相等條件下的得分(

p

＜ 0.01); 干擾條件和數量性質的交互作用顯著,

F

(2, 142) = 3.87,

p

＜ 0.05, η= 0.05,簡單效應分析的結果表明, 這種交互作用是次序性交互作用, 即條件變量只影響了自變量對因變量的作用程度而非方向。具體來說, 從連續量到離散量再到混合量任務, 兩種干擾條件下的得分差距逐次拉大; 而部分量相等的干擾條件與整體量相等的干擾條件相比, 3種數量性質之間的差異更大。對于被試間變量, 年級的主效應顯著,

F

(2, 142) = 13.88,

p

＜ 0.001, η= 0.16, 三年級的得分顯著高于二年級的得分(

p

＜ 0.05), 二年級的得分顯著高于一年級的得分(

p

＜ 0.01); 數量性質的主效應顯著,

F

(2, 142)= 10.21,

p

＜ 0.001, η= 0.12, 連續量任務的得分顯著高于離散量任務的得分(

p

＜ 0.05), 離散量任務的得分顯著高于混合量任務的得分(

p

＜ 0.01)。

表4 各年級在不同實驗條件下的人數、平均分及標準差

2.2.2 策略分析

為了清楚地分析兒童的策略變化, 我們對一至三年級兒童在不同數量性質條件下使用每種正確策略的頻次和百分比進行統計(如表5)。頻次統計依據每個被試在每道題目上的表現, 百分比的計算方法為頻次/(人數×題目數)。

在連續量任務上, 3個年級運用正確策略的總頻次都比較高, 卡方檢驗表明年級差異顯著, χ=20.14,

p

＜ 0.01。3個年級均使用了水平二的策略,且使用頻次最高的策略均為部分-部分比較。此外,部分一年級兒童還使用了水平一的知覺相似性策略, 部分三年級兒童還使用了水平三的兩種比例計算策略。在離散量任務上, 3個年級使用正確策略的總頻次有較大差異, 卡方檢驗表明年級差異顯著, χ=40.10,

p

＜ 0.01。一、二年級都使用了水平二的部分-部分比較策略和同增同減策略, 三年級使用了水平二的3種策略以及水平三的部分-部分比例策略。在混合量任務上, 3個年級使用正確策略的總頻次有較大差異, 卡方檢驗表明年級差異顯著, χ=55.86,

p

＜ 0.01。一、二年級兒童均使用了水平一和水平二的策略, 三年級兒童則使用了水平二和水平三的策略。

對一至三年級兒童在3種數量性質下使用錯誤策略的頻次和百分比進行統計, 方法同上, 結果如表6。

表5 一至三年級兒童在不同數量性質下使用正確策略的頻次及百分比

表6 一至三年級兒童在不同數量性質下使用錯誤策略的頻次及百分比

由表6可知, 兒童在連續量條件下出現的錯誤策略較少, 而在離散量和混合量條件下出現的錯誤策略較多; 隨著年級升高, 兒童使用錯誤策略的頻次降低。兒童使用頻次較高的錯誤策略是部分絕對量相等和整體絕對量相等。

對各條件下每個年級的錯誤策略進行具體分析。在連續量條件下, 兒童的錯誤類型比較一致。除了有少數一年級兒童(3.13%)沒有理解題意以外,3個年級兒童的錯誤策略均為部分絕對量相等和整體絕對量相等。在離散量條件下, 一、二年級兒童的錯誤策略呈現多樣化特點, 均出現了部分絕對量相等、整體絕對量相等、加減運算以及不理解題目的錯誤, 少數二年級兒童還出現了部分未對應的錯誤。在混合量條件下, 一年級使用部分絕對量相等和整體絕對量相等策略的頻次較高, 一、二年級使用加減運算的頻次較高。

2.3 討論

2.3.1 一至三年級兒童的等值分數概念發展特點

本實驗考察了一至三年級兒童在不同數量性質的等值分數任務上的表現。得分分析表明, 兒童的表現受到數量性質的制約; 隨著年級升高, 兒童的正確率顯著提高。這與Boyer等人(2008)的研究結果是一致的。策略分析表明, 在3種數量性質條件下, 一至三年級兒童出現的錯誤主要是按絕對量進行判斷, 表明他們容易受整數等值思維的干擾而作出錯誤選擇, 從等值分數的運算思維來看, 這反映了兒童的相對量概念發展不夠成熟。另外, 干擾條件對兒童的表現有顯著影響, 當任務中有部分絕對量相等的干擾條件時, 比在整體絕對量相等的干擾條件下, 兒童更容易出現錯誤。這驗證了兒童在加工過程中傾向于關注部分, 而非整體(Spinillo,2002; Spinillo & Bryant, 1991)。

下面結合不同數量性質的任務來分析各年級兒童的等值分數概念特點。連續量任務最為簡單,少數一年級兒童運用了知覺相似性策略, 表明他們借助直覺性知識來解決問題。這種兒童在早期獲得的、對量的相對大小的認識是基于整體量圖式(global quantitative schemas) (Resnick & Singer,1993)。或者說, 兒童本來無須通過認識數, 就可以基于知覺經驗初步認識兩個量的關系。Sophian(2004)的研究表明, 在面積相對大小判斷任務中, 5歲兒童在連續量任務上的成績要好于離散量任務,而10歲兒童在離散量任務上的成績要好于連續量任務, 這是由于與10歲兒童相比, 5歲兒童更少依賴計數策略。事實上, 另有研究表明, 5歲兒童即使在完成離散量的相對大小比較任務時可能也并不使用計數策略(Wing & Beal, 2004)。本研究中也體現了這一點, 在混合量任務上, 少數一、二年級的兒童采用了知覺相似性策略。

兒童獲得數量化的相對量概念的時間要大大晚于獲得整體量圖式的時間。在需要計數的離散量任務中, 年齡較小的兒童往往只關注一個優勢維度的絕對量, 而忽視另一個維度的變化, 表現出整數偏向(Ni & Zhou, 2005)。例如, Piaget和Inhelder(1975)的彈珠概率實驗發現, 年齡較小的兒童是根據紅色彈珠個數來判斷摸到它的概率的, 沒有同時考慮白色彈珠的個數。在本實驗中, 一年級兒童在離散量任務上表現不理想, 出現較多的按絕對值判斷的錯誤, 這表明他們尚未獲得成熟的數量化的相對量概念。二、三年級兒童的表現較好, 能同時考慮兩個數量的變化來比較其關系, 表明具有了數量化的相對量概念, 但部分二年級兒童使用了加減運算的錯誤策略, 這說明他們的乘法思維尚不夠成熟。二年級兒童使用的正確策略為部分-部分比較和同增同減, 這在很大程度上仍依賴于加法思維。在本實驗中, 為了降低任務難度, 干擾項和原始項的分數值都是位于二分之一兩側, 兒童采用這種策略有助于解決問題。

混合量任務具有雙重線索, 兒童既可以忽視刻度, 將其看作連續量任務來進行判斷, 也可以通過數格子, 將其看作離散量任務來進行判斷, 因而導致該條件下兒童的策略不夠穩定, 出錯也更多。兒童在混合量任務上的表現要差于離散量, 可能有兩個原因：一是從離散量任務而言, 為了避免兒童將離散量當做連續量, 將橙汁和水排成兩列, 這樣可能會提示兒童通過比較橙汁和水的相對多少來進行判斷, 因而正確率高; 二是混合條件下的刻度線索較為突出, 容易吸引兒童進行計數, 這一點也體現在兒童的口語報告中, 但對于一、二年級的兒童而言,由于尚未掌握成熟的乘法思維, 計數后更容易采用加法思維來進行判斷, 從而出現較多的錯誤。

值得注意的是, 在沒有計數線索的連續量條件下, 仍有部分三年級兒童運用了精確的比例計算,這表明他們獲得了成熟的相對量概念和乘法思維,初步具有了正式的等值分數概念。

2.3.2 兒童的等值分數概念發展階段

相對量概念和乘法思維的發展是獲得等值分數概念的基礎。根據上文對一至三年級兒童的分析,我們認為等值分數概念的發展可以劃分為3個階段。第一階段是“整體量概念”, 代表的是初步的直覺性理解, 在這一階段兒童借助直覺性的整體量圖式解決非符號化的等值分數問題。第二階段是“數量化的相對量概念”, 在這一階段, 兒童對相對量的認識從籠統的、直覺性的狀態發展為具體的、量化的狀態, 能夠克服整數等值思維的干擾, 同時考慮兩個維度的數量變化來進行等值判斷。但由于受加法思維的限制, 經常采用相對多少比較或是加減運算, 不能進行比例運算。第三階段是“正式的等值分數概念”, 在該階段, 兒童發展起成熟的乘法思維, 能夠同時關注兩個維度, 并計算兩者的比例關系。這個發展過程可表示為圖2。

圖2 兒童的等值分數概念發展階段圖

根據以上階段劃分, 我們可以確定小學一至三年級兒童各自所處的發展階段。一年級兒童尚未獲得成熟的數量化相對量概念, 這表明他們處于第一階段到第二階段的過渡期。二年級兒童在連續量和離散量任務上表現較好, 在混合量任務上表現較差,錯誤策略中有較多的加減運算策略, 說明二年級兒童處于第二階段到第三階段的過渡期, 已發展起數量化的相對量概念, 但不具有成熟的乘法思維。三年級兒童在3種數量性質條件下均表現較好, 并且一些個體能夠使用比例計算策略, 表明這部分兒童發展起較為成熟的相對量概念和乘法思維, 初步獲得了正式的等值分數概念。

3 實驗2：對一年級兒童的相對量概念的干預研究

針對實驗1的結論, 設計干預實驗以促進一年級兒童的相對量概念水平的提高。根據最近發展區原理, 可以在兒童已有的整體量圖式的基礎上促進其數量化的相對量概念的發展。實驗2(a)采用支架式教學的方法, 讓兒童先進行連續量任務的練習,激活相對量表征, 再讓兒童做離散量任務, 前一個任務會對后一個任務產生正遷移作用。受前一個任務的啟發, 兒童在離散量任務中能夠關注兩部分的數量變化, 從而發展起數量化的相對量概念。

若干預實驗有效果, 有可能是連續量對離散量的正遷移作用, 也有可能是任務熟悉性和練習效應。為了檢驗這兩種猜想, 下面又設計了實驗2(b)。該實驗中設置兩種對比條件：先做連續量任務再做離散量任務、先做離散量任務再做連續量任務。比較被試在兩種條件下的成績。如果第一種條件下被試在離散量任務上的成績顯著優于第二種條件下被試在該任務上的成績, 而第二種條件下被試在連續量任務上的成績與第一種條件下相比無顯著差異, 就說明并非是由于任務的熟悉性導致了成績提高。

3.1 實驗2(a)

3.1.1 被試

選取與實驗1的學校水平相當的另一所小學。兩所學校的在校人數、師資配置和配套設施大體相當,且兩校一年級的上次期末考試成績處于同一水平。

從一年級隨機選取50名被試, 隨機分配到干預組和對照組, 每組各25人。干預組男生13人, 女生12人, 平均年齡為80.86 (± 6.32)月; 對照組男生14人, 女生11人, 平均年齡為83.42 (± 3.54)月。

3.1.2 刺激材料和儀器

實驗儀器同實驗1。

實驗材料也是橙汁濃度匹配任務。干預組在干預階段做8道連續量題目, 在正式測驗中做16道離散量題目。8道連續量題目中包含部分絕對量干擾和整體絕對量干擾的題目各4道, 題目分數值見表7。16道離散量題目同實驗1。對照組只做16道離散量題目。對兩種干擾條件下的題目的呈現順序進行了平衡。

表7 8道測驗題目的分數值

3.1.3 任務和程序

采用2(干預條件：有, 無)×2(干擾條件：部分絕對量相等干擾、整體絕對量相等干擾)的兩因素混合設計。其中干預條件屬于被試間變量, 干擾條件屬于被試內變量, 因變量為被試的得分。

實驗條件和指導語同實驗1。干預組先做8道連續量題目, 過一小時后, 進行正式測驗, 做16道離散量題目。實驗組只做16道離散量題目。

3.1.4 資料編碼

對被試的得分和解題策略的編碼方式同實驗1。對兩名主試的評估結果進行評分者信度分析, 計算Kappa系數平均值為0.95, 說明主試對策略歸類的評判具有較高的一致性。

3.1.5 結果與分析

首先計算干預組兒童在干預階段的連續量任務上的得分情況。部分絕對量相等條件下的平均得分為2.95 ± 1.52(滿分為4), 整體絕對量相等條件下的平均得分為3.29 ± 1.24(滿分為4), 總分為6.24 ±2.21(滿分為8)。

對于正式測驗, 分別計算干預組和對照組兒童在離散量任務上的得分情況(表8)。對干預組和對照組的總分進行獨立樣本

t

檢驗,

t

= 2.142,

df

= 48,

p

＜ 0.05, 表明兩組的總分差異顯著。以干預條件為被試間變量, 以干擾條件為被試內變量, 以得分為因變量, 進行2(干預條件)×2(干擾條件)的重復測量方差分析。由于球形檢驗不成立,

df

= 0, 需校正單變量檢驗的自由度, 取Greenhouse-Geisser Epsilon (G-G)校正系數。重復測量變量干擾條件的主效應顯著,

F

(1, 48) = 9.02,

p

＜ 0.01, η= 0.16; 干擾條件與干預條件的交互作用不顯著,

F

(1, 48) =0.09,

p

＞ 0.05; 被試間變量干預條件的主效應顯著,

F

(1, 48) = 4.59,

p

＜ 0.05, η= 0.09。

表8 干預組和對照組得分的平均數和標準差

干預組和對照組使用正確策略的情況如表9。對兩組被試使用正確策略的總頻次進行卡方檢驗,χ= 32.26,

p

＜ 0.01, 表明存在顯著差異。兩組被試均使用了部分-部分比較和同增同減兩種策略。對照組使用部分-部分比較的頻次百分比高出控制組14.75%, 在同增同減策略的使用上則差別不大。

表9 干預組和對照組使用正確策略的頻次及百分比

干預組和對照組使用錯誤策略的情況如表10。其中使用頻次最高的依然是部分絕對量和整體絕對量策略。在這4種策略上, 干預組比對照組的使用頻次百分比分別下降了10%、5.5%、1%、1.75%,其中部分絕對量策略和整體絕對量策略的使用明顯減少, 加減運算則變化不大。

表10 干預組和對照組使用錯誤策略的頻次及百分比

3.2 實驗2(b)

3.2.1 被試

選取與實驗2(a)同一所學校的30名一年級被試, 他們均未參加實驗2(a), 將其隨機分配到兩種條件下。先做連續量任務再做離散量任務的條件下,男生7人, 女生8人, 平均年齡81.25 (± 5.42)月; 先做離散量任務再做連續量任務的條件下, 男生8人,女生7人, 平均年齡為84.64 (± 4.54)月。

3.2.2 刺激材料和儀器

實驗儀器同實驗1。實驗材料也是橙汁濃度匹配題目, 包括16道連續量任務和16道離散量任務。

3.2.3 任務和程序

采用組間設計, 自變量為測驗順序(先連續后離散, 先離散后連續), 因變量為被試得分。

實驗指導語同實驗1。一組被試先做16道連續量題目, 過一小時后, 再做16道離散量題目; 另一組被試先做16道離散量題目, 過一小時后, 再做16道連續量題目。

3.2.4 資料分析

對被試的得分和解題策略的編碼方式同實驗1。對兩名主試的評估結果進行評分者信度分析, 計算Kappa系數平均值為0.93, 說明主試對策略歸類的評判具有較高的一致性。

3.2.5 結果與分析

表11列出兩種順序條件下兒童在連續量和離散量任務上得分的平均數和標準差。對兩組被試在連續量任務上的得分進行獨立樣本

t

檢驗,

t

= 0.59,

df

= 28,

p

＞ 0.05, 表明兩組得分差異不顯著。對兩組被試在離散量任務上的得分進行獨立樣本

t

檢驗,

t

= 2.44,

df

= 28,

p

＜ 0.05, 表明兩組得分差異顯著,先連續后離散條件下的得分顯著高于先離散后連續條件下被試的得分。

表11 兩種順序條件下被試得分的平均數和標準差

兩組被試使用正確策略的頻次情況如表12。在連續量任務上, 兩組被試使用正確策略的頻次沒有顯著差異, 使用的策略類型相同。在離散量任務上,兩組被試使用正確策略的頻次存在顯著差異, χ=34.25,

p

＜ 0.001, 先連續后離散條件下的頻次顯著高于先離散后連續條件下的頻次。

兩組被試使用錯誤策略的頻次情況如表13。在連續量任務上, 兩組被試使用錯誤策略的頻次沒有顯著差異。在離散量任務上, 先連續后離散條件下的被試比先離散后連續條件下的被試使用部分絕對量、整體絕對量、加減策略和不理解題意的頻次百分比分別下降了10%、5.42%、0.83%、2.92%, 其中部分絕對量策略和整體絕對量策略減少得較明顯, 加減運算則變化不大。

3.3 討論

實驗2(a)使用連續量任務給兒童搭腳手架, 從而促進兒童在離散量任務上的表現。結果表明, 干預組在離散量任務上的得分以及使用正確策略的總頻次均顯著高于對照組, 而干預組使用絕對量相等錯誤策略的頻次比對照組有較大幅度的下降, 這說明干預組被試能夠更有效地使用相對量概念進行判斷。但由于干預階段和正式測驗的實驗材料具有一定的相似度, 不排除被試成績的提高是由于練習效應。為了檢驗這一假設, 設計并實施了實驗2(b), 讓一組被試先做連續量題目, 再做離散量題目, 另一組被試先做離散量題目, 再做連續量題目。結果發現, 在離散量任務上, 第一組被試的得分顯著高于第二組被試的得分, 且前者比后者使用了更多的正確策略和更少的按絕對量判斷的錯誤策略; 而在連續量任務上, 兩組的得分和使用策略情況均無明顯差異。這表明只有連續量任務對離散量任務具有遷移作用, 而離散量任務對連續量任務沒有遷移作用, 說明被試成績的提高不是由于練習效應造成的, 也表明個體的相對量概念確實是從低層次的整體量概念向更高層次的數量化的概念水平發展。

本實驗的干預原理是依據最近發展區理論, 在原先的整體量概念的基礎上促進數量化的相對量概念的發展。因為兒童的頭腦中先具有了非符號的相對量圖式, 通過解決連續量任務可以激活這一相對量表征, 從而對離散量任務的解決產生啟發, 最終促使兒童發展起數量化的相對量概念。這是一種學習遷移。在個體原有的知識基礎上建構新知識是一種有效的教學方法, 例如, Nunokawa (2012)在研究中采用雙重數字線的形式, 通過類比整數數字線能夠有效地促進五年級小學生對比例和百分數的學習。

在本實驗中, 干預組對加減運算策略的使用與對照組差別不大, 這表明干預條件對發展乘法思維沒有顯著影響。

表12 兩種順序條件下使用正確策略的頻次及百分比

表13 兩種順序條件下使用錯誤策略的頻次及百分比

4 實驗3：對二年級兒童的乘法思維的干預研究

針對實驗1的結論, 設計干預實驗以促進二年級兒童的乘法思維的發展。通過對干預組進行乘法思維的訓練, 使其理解等值分數任務情境中各對應維度之間的乘法關系。

4.1 方法

4.1.1 被試

本實驗與實驗2是在同一所學校開展的。從二年級隨機選取50名被試, 隨機分配到干預組和對照組, 每組各25人。干預組男生14人, 女生11人,平均年齡為91.45 (± 5.26)月; 對照組男生12人, 女生13人, 平均年齡為90.32 (± 4.48)月。

4.1.2 刺激材料和儀器

實驗儀器同實驗1。

干預階段的實驗材料為8道桌椅組合題目, 呈現方式如下：首先給兒童呈現一套桌椅組合的示例圖片(單人桌椅/雙人桌椅/三人桌椅/四人桌椅), 然后給兒童呈現兩張測驗圖片, 內容包含若干桌子和椅子, 問能夠組成幾套示例圖片所示的桌椅組合。測驗材料如圖3所示, 左上為單人桌椅的示例圖片,右上為該條件下的一張測驗圖片; 左下為四人桌椅的示例圖片, 右下為該條件下的一張測驗圖片。這8道組合題目涉及的比例關系如表14所示。正式測驗階段的實驗材料為16道混合量的橙汁濃度匹配題目, 對兩種干擾條件下的題目的呈現順序進行了平衡。

圖3 桌椅組合題目示例

4.1.3 任務和程序

采用2(干預條件：有, 無)×2(干擾條件：部分絕對量相等干擾、整體絕對量相等干擾)的兩因素混合設計。其中干預條件屬于被試間變量, 干擾條件屬于被試內變量, 因變量為被試的得分。

實驗條件同實驗1。

表14 8道桌椅組合題目的分數值

實驗程序：對于干預組, 主試在干預階段指導其做8道桌椅組合題目。首先播放一張示例圖片,指導語為：“這是一套單人桌椅的圖片, 它是由一張桌子和一把椅子組成的, 請仔細觀察并記住它們的組合方式。”然后翻到下面的測試圖片, 主試問：“這張圖片上有一些桌子和椅子, 你看它們能組成幾套剛才看到的那種單人桌椅呢？”小朋友思考并回答。如果小朋友能夠回答正確則繼續播放下一張,如果小朋友不能回答正確則進一步引導其思考, 告訴他一張桌子對應一把椅子, 直到其能作出正確選擇。對于下面的雙人桌椅、三人桌椅、四人桌椅圖片, 指導語類似。當兒童不能回答正確時, 主試會對其引導, 保證兒童最終能夠正確理解和回答所有題目。過一個小時之后, 進行正式測驗, 主試讓被試做16道混合量題目。對于對照組, 也在正式測驗階段做16道混合量題目。正式測驗階段的指導語和記錄內容同研究一。

4.1.4 資料分析

對被試的得分和解題策略的編碼方式同實驗1。兩名主試的評估結果進行評分者信度分析, 計算Kappa系數平均值為0.94, 說明主試對策略歸類的評判具有較高的一致性。

4.2 結果與分析

計算干預組和對照組兒童在混合量任務上得分的平均數和標準差, 分數包括在兩種干擾條件下的得分以及總分(如表15)。對干預組和對照組的總分進行獨立樣本

t

檢驗,

t

= 2.24,

df

= 48,

p

＜ 0.05,表明兩組的總分差異顯著。以干預條件為被試間變量, 以干擾條件為被試內變量, 以得分為因變量, 進行2(干預條件)×2(干擾條件)的重復測量方差分析。由于球形檢驗不成立,

df

= 0, 需校正單變量檢驗的自由度, 取Greenhouse-Geisser Epsilon (G-G)校正系數。重復測量變量干擾條件的主效應顯著,

F

(1, 48) = 9.37,

p

＜0.01, η= 0.16; 干擾條件與干預條件的交互作用不顯著,

F

(1, 48) = 0.09,

p

＞ 0.05; 被試間變量干預條件的主效應顯著,

F

(1, 48) = 5.02,

p

＜ 0.05, η= 0.10。

表15 干預組和對照組得分的平均數和標準差

干預組和對照組使用正確策略的情況如表16。對兩組被試使用正確策略的總體頻次進行卡方檢驗, χ= 22.89,

p

＜ 0.01, 表明存在顯著差異。兩組被試使用的正確策略類型存在差異。他們均使用了部分-部分比較、部分-整體比較、同增同減三種策略,三者的使用頻次百分比均達到60%以上。此外, 對照組還使用了知覺相似性策略, 干預組則使用了部分-部分比例策略和同增同減比例策略。

干預組和對照組使用錯誤策略的情況如表17。兩組被試均使用了部分絕對量、整體絕對量、加減運算這3種錯誤策略, 在這3種策略上, 干預組比對照組的使用頻次百分比分別下降了3.25%、2.5%、8.75%, 其中加減運算策略的使用明顯減少。此外,對照組有不理解題意的錯誤, 而干預組沒有, 但干預組出現了部分未對應的錯誤。

4.3 討論

實驗3通過桌椅組合問題的練習來促進二年級兒童的乘法思維的發展。在這里, 乘法思維不是指單純的乘法運算技巧, 更重要的是理解等值分數任務情境中各維度之間的倍數關系。一些研究發現,學前期甚至更小的兒童已經具有了直覺性的乘法思維(Barth, Baron, Spelke, & Carey, 2009; McCrink& Wynn, 2007; Xu & Spelke, 2000)。但小學低年級的數學教學過多訓練和使用了加法思維, 這在一定程度上阻礙了兒童的乘法思維的發展。很多兒童在初學等值分數時, 依然習慣性地運用加法思維來解題(Clarke & Roche, 2009)。McCrink和Spelke (2010)提出, 后天的教學不僅要教給兒童乘法運算法則,更重要的是讓兒童理解乘法問題情境的實際意義。在本實驗中, 桌椅組合是乘法思維的典型情境, 對兒童而言也是熟悉的問題情境, 因而兒童容易理解。本研究的干預原理是通過讓兒童對兩種事物按一定的對應關系進行組合, 促進其對一種情境中兩個維度之間對應數量關系的理解, 從而遷移到后面的混合量任務情境中。

結果表明, 干預組的得分和使用正確策略的頻次均顯著高于對照組, 且干預組的一些被試能使用比例計算策略。這是實驗1的三年級兒童才能達到的水平, 表明實驗3的干預確實對提高二年級兒童的乘法思維發揮了作用。在錯誤策略的使用上, 干預組比對照組在每種策略的使用頻次上都有所減少, 其中加減運算的減少最明顯, 使用頻次百分比下降了8.75%, 表明干預組中只有很少的兒童采用加法思維來解決問題, 這說明干預條件能比較有效地改變兒童錯誤的運算思維。此外, 對照組中有不理解題意的錯誤, 而干預組則沒有, 說明干預任務能幫助兒童理解混合量等值分數任務。需要注意的是干預組出現了部分未對應的新錯誤, 這可能是由于干預組過度關注題目中的數量關系, 而忽視了各部分之間的對應。例如, 已知原始項是4份橙汁對應2份水, 兩者之比是2：1, 兒童看到選項中有4份橙汁和8份水時, 認為兩者之比也是2：1, 所以味道一樣, 而忽視了原始項的2：1是橙汁和水的關系,選項的2：1是水和橙汁的關系。這提示我們, 乘法教學不僅要教給學生運算技巧, 還要讓學生真正理解乘法關系的意義。

表16 干預組和對照組使用正確策略的頻次及百分比

表17 干預組和對照組使用錯誤策略的頻次及百分比

5 總討論

5.1 兒童的等值分數概念發展特點及干預對策

本研究首先考察了一至三年級兒童的等值分數概念發展特點, 通過分析各年級兒童的運算思維水平, 概括出等值分數概念發展的3個階段, 接著基于“最近發展區”原理設計了兩個干預實驗, 分別來提高一年級兒童的相對量概念和二年級兒童的乘法思維。實驗結果表明干預有效, 這也驗證了等值分數概念發展三階段理論的合理性。本研究揭示了小學低年級兒童的等值分數概念發展過程, 并對等值分數的早期教學進行了富有成效的探索, 這是對以往研究的推進。

目前很多研究者都認識到兒童的認知發展過程是連續性和階段性的統一(Thatcher, 1991; van Dijk & van Geert, 2007)。兒童的認知發展具有質、量互變的形式。皮亞杰通過大量的實驗結果區分出不同年齡兒童表現出來的不同質的特點, 并據此劃分出認知發展的階段。后繼研究者通過改變任務條件, 在較低發展階段上揭示了兒童的認知發展潛力,為認知發展的連續性提供了證據(方富熹, 方格,劉范, 1988)。

本研究將這兩種研究視角結合起來, 根據對3個年級兒童的概念水平的分析, 區分出不同質的特點, 從而將等值分數的概念發展過程劃分為3個階段, 但這3個階段并不是彼此割裂的, 而是一個連續體的不同節點。第一個階段是整體量概念, 在該階段兒童借助直覺性的整體量圖式來解決非符號化的等值分數問題。第二個階段是數量化的相對量概念, 在這一階段, 兒童對相對量的認識從知覺性任務上擴展到數量化任務上, 能夠克服整數等值思維的干擾, 同時考慮兩個維度的數量變化來進行等值判斷。但由于受加法思維的限制, 多采用相對多少比較或是加減運算, 不能進行比例運算。第三個階段是正式的等值分數概念, 在該階段, 兒童發展起成熟的乘法思維, 能夠進行精確的比例運算。

這3個階段與以往研究發現的兒童在解決等值分數問題時的錯誤類型是對應的。學者們發現, 兒童的錯誤主要集中在幾個方面：(1)整數偏向, 指通過單獨比較分子、分母或是其他的整數策略來比較兩個分數(Ni & Zhou, 2005)。(2)差值比較, 指比較每個分數的分子和分母之差, 或是將每個分數與整體1相比, 來確定兩個分數的比較結果。例如,Clarke和Roche (2009)發現, 當比較 5/6和7/8的大小時, 29%的六年級兒童認為兩個分數是等值的,因為它們都還差一份就湊成一個整體1。(3)加法策略, 指兒童受加法思維的影響, 對等值分數所采用的加法性解釋, 例如認為分子和分母加上同一個數,分數的大小不變(Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983)。不難看出, 前兩類錯誤是由于兒童未發展起成熟的相對量概念, 而第三類錯誤則是由于兒童不具有成熟的乘法思維。

實驗2和實驗3是對實驗1所概括的等值分數概念發展階段的延伸應用, 也是這一發展階段的效標。實驗2的干預原理是在原有的、低層次的整體量概念基礎上促進較高層次的數量化的相對量概念的發展, 具體在該實驗中, 是通過連續量任務給兒童搭腳手架, 從而促進其在離散量任務上的表現。為了排除任務熟悉性對干預結果的可能影響,設計了另外的檢驗實驗, 結果表明只有連續量任務對離散量任務具有遷移作用, 而離散量任務對連續量任務沒有遷移作用, 說明被試成績的提高并非由于練習效應造成的, 也表明個體的相對量概念確實是從低層次的整體量概念向更高層次的數量化的概念水平發展, 從而驗證了等值分數概念發展的第一到第二個階段。

實驗3的干預原理是通過熟悉的任務情境來促進兒童對乘法關系的實際意義的理解, 從而促進其乘法思維的發展。本實驗中, “桌椅組合”是乘法思維的典型情境, 兒童較為熟悉, 也容易理解。通過讓兒童對桌子和椅子按一定的對應關系進行組合,促進其對一種情境中兩個維度之間對應倍數關系的理解, 進而遷移到后面的混合量任務情境中。結果發現干預組的一些二年級兒童能使用比例計算策略, 這是實驗1的三年級兒童才能達到的水平,表明實驗3的干預確實對提高二年級兒童的乘法思維發揮了作用, 也驗證了等值分數概念發展的第二到第三個階段。

盡管本研究取得了一些有價值的結果, 但也存在有待改進之處。本研究通過考察一至三年級兒童的概念發展特點, 概括出兒童的等值分數概念發展路徑圖, 這是橫向比較的方法, 今后有必要采用縱向追蹤或是微觀發生法對這一概念發展過程進行進一步的驗證。另外, 兩個干預實驗雖然均證明有效, 但時間均比較短, 因而還有待進一步考察這一效果的持久性。

5.2 本研究的教學實踐價值及啟示

本研究發現, 等值分數概念的發展是一個連續的過程, 未接受正式分數教學的低年級兒童就具有了等值分數的非正式知識, 根據各年級兒童的概念特點, 進行有針對性的干預, 能夠促進兒童的等值分數概念的發展。這對于正式的分數教學具有啟示意義。

第一, 嘗試開展等值分數的早期教學。從小學低年級入手, 在個體的非正式的整體量基礎上逐步推進對正式概念的學習, 對促進概念的掌握將是非常有意義的。例如, 對于一年級兒童, 可以在“認識物體和圖形”一章中, 進行空間化等值分數任務和數量化等值分數任務的組合練習。需要注意的是,開展早期教學的任務不僅是為了促進當時的學習,而且要幫助兒童獲得能支持將來學習的基本知識。因此, 不僅要考慮如何最好地達到短期教學目標,還要關注如何使兒童長遠受益(Sophian, 2013)。

第二, 在教學中, 我們應更加注重概念的理解,促進實際應用。比如, 在初步學習乘除法時, 不僅讓兒童學會運算法則, 也應該讓兒童認識到事物之間的對應關系, 明確乘法關系所代表的意義。比如在將水果分盤時, 讓兒童認識到一個果盤對應著3個水果; 在分筷子時, 讓兒童明確根據一個人對應著兩支筷子來分配。這是各國數學教學中普遍提出的要求。我國的《小學數學課程標準(實驗稿)》明確提出數學不是空洞的抽象運算, 而應當是現實的、有意義的(教育部, 2001)。全美數學教師協會在制定課程標準時, 強調數學教學不只是發展概念和解題技能, 也應該讓學生學會使用知識, 理解知識在不同情境下的意義(NCTM, 2000)。

6 結論

兒童的等值分數概念發展是連續的過程, 可分為3個階段, 第一階段是整體量概念, 第二階段是數量化的相對量概念, 第三階段是正式的等值分數概念。一年級兒童處于第一階段到第二階段的過渡期, 尚未獲得成熟的相對量概念; 二年級兒童處于第二階段到第三階段的過渡期, 尚未獲得成熟的乘法思維。通過整體量圖式任務對離散量任務的啟發,能有效促進一年級兒童獲得數量化的相對量概念。通過讓兒童關注等值分數任務情境中各對應維度之間的乘法關系, 能有效促兒童的乘法思維發展。

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