直線傾斜角與斜率的概念教學設計

☉湖 北 省 仙 桃 中 學 汪慶紅

☉湖北省仙桃市教育科學研究院 曹時武

直線傾斜角與斜率的概念教學設計

☉湖 北 省 仙 桃 中 學 汪慶紅

☉湖北省仙桃市教育科學研究院 曹時武

人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學2（必修）第三章“3.1直線的傾斜角與斜率”第一課時——直線傾斜角與斜率的概念.

本節課是一節典型的概念課.筆者通過創設江漢大橋這一背景，以橋為線索展開教學，讓學生感到知識就在我們的生活中；在傾斜角與斜率這兩個概念的建構過程中，為幫助學生克服思維障礙，有效地實現教學目標，教學中采用幾何畫板來現場演示傾斜角的變化范圍，利用實物投影展示學生所畫的函數k=tanα的圖象，突破難點的同時，既滲透了數形結合的思想和函數觀點，又為學生直觀有效地抓住圖形進行分析，進一步理解斜率與傾斜角的對應關系提供了便利.

一、教學過程設計

【環節1：情景創設——江漢大橋話解幾】

動態畫面展示漢江大橋同時，借助笛卡兒建立坐標系靈感的小故事，簡單介紹坐標法的產生.

師：同學們：相信黃梅戲中的名段《天仙配》，大家應該是再熟悉不過了，圖1中的橋——仙桃漢江大橋也是一個天仙配.她連接著江漢平原中的天門市和仙桃市，這個橋給天、仙兩地人民的交通帶來了極大的便利.其實數學中也有一座橋梁，這就是直角坐標系，它溝通了幾何和代數的聯系，有了它就可以用代數方法來研究幾何圖形，使得幾何研究跨入了一個新的領域，這就是我們今天將要學習的一門新的學科——解析幾何.

師：知道直角坐標系是誰發明的嗎？我們來聽聽：

（畫外音）17世紀中葉法國數學家笛卡兒在研究能否用代數中的計算來代替幾何中的證明時，他想了很多辦法，但總是百思不得其解.笛卡兒被這個問題困擾了很長時間，有一天他想著、想著就趴在桌上睡著了，在夢境中他看見窗戶上有一只蜘蛛正忙著結網，蜘蛛順著吐出的絲在空中來回移動，忽然，一個念頭閃過腦際，如果將蜘蛛看作一個點，那么這個點到相鄰兩個窗框的距離是可以確定的，蜘蛛上、下、左、右移動的每一個位置——點，不就可以用一對有序實數來表示嗎？所有的平面曲線不就是由這些點運動而成的嗎？既然點可以用數來表示，那么曲線也能用數表示！

從夢的靈感中醒來后，笛卡兒又進行了深入的思考和研究，發明了直角坐標系，并直接促成了解析幾何的誕生.

師：我們來看看畫面中的橋，畫面中有直角坐標系嗎？

生：沒有.

師：我們可以建立一個直角坐標系，如何建立最方便呢？

生：用橋面上一側的水平線為x軸，用x軸同一平面內的鉛垂線為y軸建立直角坐標系.

師：恩，不錯，在這個直角坐標系下，這些斜拉索可以看成什么呢？

生：直線！

師：對，本節課就是要以這座橋為背景，在直角坐標系中來研究這些直線的傾斜角和斜率.（板書課題）

直線傾斜角與斜率的概念

【設計意圖】讓學生從身邊事例入手，用數學眼光觀察世界，指明課題，激發學生的學習興趣.

【環節2：問題探究——鐵索引出傾斜角】

在橋的畫面中引導學生建立合適的直角坐標系，將鐵索看成直線放在直角坐標系中進行研究.

問題1：在直角坐標系中，這些直線都過了定點P，它們的不同區別在哪里呢？

生：傾斜程度不同.

師：在直角坐標系中，任何一條直線與x軸都有一個相對的傾斜度，用哪些量來刻畫這種傾斜程度呢？

生1：角度.

生2：比值，在直角坐標系中可以是對邊比鄰邊.

生3：還可以是對邊比斜邊以及鄰邊比斜邊.

師：還可以有哪些量，比如兩點可以嗎？

生：可以.

師：下面我們將從這幾個方面來研究，首先來研究用角度刻畫直線的傾斜程度.

師：當一條直線與x軸相交會形成四個角，選用哪個角要方便些呢？

生：直線與x軸的正方向所成的角.

師：說說你的理由.

生：因為前面我們學習三角函數中的在直角坐標系中表示任意角時是以x軸的非負半軸為始邊，旋轉到和終邊重合.按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角.如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個零角.

師：所以選這個方向的角比較合理.但是，這個角唯一嗎？如果不唯一怎么辦？

生：如果按照任意角的旋轉方法，那么這個角不唯一，但是我們可以只取正角中的最小角，也就是將x軸按逆時針方向旋轉到與直線重合時所成的最小角.

師：這個主意不錯，既保證了存在性，又保證了唯一性.既然這個角可以表示直線的傾斜程度，我們就該給它取個名字，下個定義，叫什么好呢？

生：傾斜角！

師：好！那么怎樣定義傾斜角呢？

生：當一條直線與x軸相交時，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角叫做直線的傾斜角.

師：也可以按照課本上的定義給出.定義中我們要注意哪幾點呢？

生：一定要按逆時針方向旋轉，同時還要注意必須是最小的角.

【設計意圖】由于學生已經學習了三角函數，通過旋轉得到角應該是學生現在最熟悉的，但是旋轉得到的角不唯一，因此一定要強調角的唯一性和合理性.

問題2：傾斜角的范圍是多少呢？

【設計意圖】通過學生自己動手畫圖和幾何畫板演示讓學生得到傾斜角的范圍是［0，π）.

【環節3：開放探究——引橋坡度出斜率】

師：我們繼續觀察大橋，看看它的引橋，大橋為什么會建引橋呢？

生：為了使坡度平緩，便于車輛通行.

師：講的好，這里描述傾斜程度時用了“坡度”，“坡度”是什么呢？

師：坡度中有兩個關鍵的量，升高量與前進量，這兩個量在實際中容易測量，這個比值是好度量的.再看看這個比值與坡角的關系，它就是坡角θ的正切函數.從變化的角度看坡角的范圍是多少呢？

師：那么我們能否直接用“坡度tanθ”刻畫所有直線的傾斜程度呢?

生1：可以，因為坡度反映了坡的傾斜程度，它同時也應該可以反映直線的傾斜程度.

問題3：如果將坡角θ換成傾斜角α，這時tanα能刻畫所有直線的傾斜程度嗎？同學們分組討論一下.

（學生通過分組討論，發言.）

生5：我們組認為余弦函數cosα在［0，π）上單調遞減，它具有唯一性應該可以表示所有直線的傾斜程度.

傾斜角α的范圍 0，π π α=0 tanα的2（ ） α=π 2 π 2，（）符號 tanα＞0 tanα不存在 tanα＜0 tanα=0直線的狀態 上升 l垂直于x軸 下降 l垂直于y軸

師：剛才同學們的發言太精彩了，通過你們的思考，討論，交流發現可以用cosα和tanα來表示直線的傾斜程度，因為它們都具有唯一性.究竟用哪一個表示就要看誰更合理了.想一想再討論一下.

生7：我覺得用tanα更合理，因為我們在表示坡度時用的就是正切，為了保持傾斜角為銳角時與坡度的一致性，應該用tanα.

生8：我也覺得用tanα更合理，除了他說的這個原因以外，關鍵是用α的正切值度量比余弦要簡潔方便，因為這里的升高量與前進量在平面直角坐標系中用坐標表示更方便.

師：大家同意他的觀點嗎？

生：同意.

師：好！我也同意，那么我們該給這個tanα取一個什么名稱要好呢？

生：斜率.

師：好，斜即傾斜，率即比值，這個名稱很形象！在大家的共同努力下我們得到了斜率的定義（板書）我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.即k= tanα.

【設計意圖】傾斜角只是從形上說明了直線的傾斜程度，還需要我們從數的角度來說明傾斜程度，讓學生借助圖形討論比值的各種不同形式的理解傾斜角與斜率之間的聯系，從而得到斜率的定義.

【環節4：認知升華——正切性質探斜率】

問題4：請同學們再仔細觀察一下斜率定義式的結構，看一看有哪些特點？

【設計意圖】除了加深對斜率定義理解外，還可以引導學生運用函數的觀點看斜率，拓展了學生學習的視角.

【環節5：課堂演練——師生合作用新知】

例1 下列說法正確的是（）.

A.任一條直線都有傾斜角，也都有斜率

B.直線的傾斜角越大，斜率也越大

C.兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等

D.兩直線的斜率相等，它們的傾斜角也相等

答案：D

例2 將下列表格填寫完整：

傾斜角α π 6斜率k0 3■π 2 -1

【設計意圖】加深學生對定義的理解，鞏固傾斜角和斜率之間的聯系，學會融會貫通，最后又回到大橋，首尾呼應.

【環節6：知識歸納——課堂小結說新知】

（1）直線的傾斜角定義及其范圍：［0，π）；

【設計意圖】對本節課所學知識進行歸納、整理，明確本節課所學知識.

課后思考：如何用兩點來刻畫直線的傾斜程度？

【設計意圖】將探索進行到底.

二、課后反思

本節課涉及兩個概念——傾斜角和斜率.傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯系新舊知識的紐帶，研究斜率、直線的平行、垂直的解析表示等問題時都要用這個概念；斜率概念，不僅其建立過程很好地體現了解析法，而且它在建立直線方程、通過直線方程研究幾何問題時也起核心作用.由于我省按照必修數學1、4、5、2、3的順序，所以學生已經具備了較為系統的三角函數知識，所以對傾斜角和斜率的關系探究相對接受起來比較容易一些.

可取之處：在本節課教學中，一是問題的引入較好，達到內容和情境的和諧統一，吸引了學生注意力；二是六個環節設計環環相扣，引人入勝，特別是利用坡度引發沖突來體現傾斜角與斜率的關系，對學生的認知起到了較好的引導作用；三是因為有了三角函數的基礎，所以在傾斜角的教學中能夠避開課本上的分類定義而采用大綱版定義，這樣不僅簡潔，方便更是體現了數學的和諧美；有了三角函數的基礎，所以才有在斜率概念的意義建構中的這些探究內容，所以才能展示這些生動的探究活動；有了三角函數的基礎，所以斜率與傾斜角的關系才能夠從圖象上觀察，教學才有這樣的高度.

改進之處：教學容量偏大，時間不太夠，學生思考和做題時間比較倉促.建議將過兩點的斜率的坐標公式和應用放到下一節課時中去，將教學的重心放在核心概念的建構上，并增加利用幾何畫板，強化動態效果.

困惑之處：如果按照人民教育出版社的順序沒有三角函數的基礎，這一節課怎么上？還會有這樣的效果嗎？

三、教學點評

本課探索了將有效創設情景線、學生探究活動線、概念定義建構線、思想方法蘊含線貫通融合成為“四線交織”，將知識、方法和能力串通融合為“三位一體”的概念課教學的具體作法，通過自然流暢的六個教學環節，讓學生經歷了傾斜角和斜率的建構過程，真正體現了以知識理解為主要目標的概念課的教學特點，突出表現在如下三個方面：

一是凸現了對直線斜率的開放探究過程.當討論tanα能否刻畫所有直線的傾斜程度時，同學們的意見出現了分歧.教師因勢利導、恰時恰點組織課堂辯論，充分利用學生提出的sinα、cosα，作為比較性學習材料，利用三角函數知識，對sinα與tanα相比較而擇優，對cosα和tanα，相區別而共存.將本課例的核心內容直線的斜率定義的唯一性與合理性及其形成的過程展現得淋漓盡致.對cosα不急于否定，而是鼓勵同學們將探索進行到底，下一課時會有分曉.

二是展現出寓數學概念和理性思維于情境之中的融合之美.選用仙桃漢江大橋為素材，貫穿全課程，獨具匠心.高懸的鐵索，長長的引橋，承載了本課例所需的主要元素.教師引導學生用數學眼光觀察這座橋，抽象出直角坐標系、直線、傾斜角、坡度讓學生感到自然、親近，學生積極性倍增.這座大橋在本課例中起到引入、奠基、示例、反饋等作用.課后淡出，余香繚繞，耐人尋味.本課例散出教學設計的精細之美.

三是教師嫻熟地應用了各種教學方法和技巧.如問題引導，分組討論，課堂交流，課堂辯論.教學過程如行云流水、樸實、自然.學生廣泛參與，效果十分顯著.利用必要的電子視頻，配上和藹可親、富有激情的語言，使本課成為展現教學藝術的一個范例.