從錯誤效應提高數學教學有效性

☉江蘇省南通中學 唐仁霞

從錯誤效應提高數學教學有效性

☉江蘇省南通中學 唐仁霞

高中數學在培養學生三大能力，即運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力上有著突出的作用.但在數學學習過程中，學生往往會對某些問題產生理解上的偏差、知識整合上的缺陷，又會常常出現邏輯、理解、運算等錯誤，學生學習過程中的錯誤常常影響著他們對知識的深刻理解和知識更深層次的運用、掌握，這無疑對學生形成扎實的雙基和知識之間的整合，以及更進一步的數學思想體系的建立產生了負作用.本文將從獨特的錯誤效應利用的視角闡述，如何正確應對數學學習中出現的錯誤，并以這些錯誤為載體更好的提高數學教學的有效性.

一、問題的提出

在進入高中之后，隨著高中數學更具形式化、更抽象，學生對知識的理解遇到了困難.另外因為進度較快和數學形式化的結果不能熟練理解與掌握，久而久之的困難堆積形成了思維障礙，這些障礙造成了學生學習過程中大量錯誤的積累，在得不到及時的解決后造成了數學科成績低下，這種現象普遍存在于如今的高中新生之中.因此，筆者在想將這些錯誤成因進行歸類，并利用這些常見的錯誤引導學生分析、理解，利用錯誤產生的效應對教學產生一些積極的、指導的作業，減少其學習過程類似錯誤的產生，提高數學教與學的有效性和學生正確看待錯誤產生的緣由，并幫助其提高數學的思維能力，這對教師而言是具有重要意義的一項工作.

二、錯誤的效應與教學有效性

1.基本功錯誤效應

數學的基本功，也就是傳統的雙基教學，一直是我國數學教學的優良傳統，也是課程改革中堅持并發揚下來的東西.從高一到高二，學生一直致力于學習數學的新知，在此過程中打下堅實的基礎顯得尤為重要.相比初中數學，高中數學學習的特點發生了巨大的變化：新知的進度完全超乎學生的想像，使得高一新生學習數學非常疲憊；正是因為對形式化數學概念、定理等沒有本質上的深刻認知，導致學生覺得數學的題型變化多端，即使能理解教材中的數學基本知識的表象也難以完全應對千變萬化的試題；高中數學的運算水平陡然上升，使計算水平一般的學生止步不前等.這些都是雙基缺失的具體表象，在這些困難的背后，造成學生不斷在數學學習中出現錯誤.如何解決和利用這些錯誤使得學生學習更堅實、更有效呢？進而提升學生的思維能力呢？來看一個案例：

案例1（抽象函數）函數（fx）對任意的m、n∈R，都有（fm+n）=（fm）+（fn） -1，并且x＞0時，恒有（fx）＞1.

（1）求證：f（x）在R上是增函數；

（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）<2.

學生錯誤成因：（1）對于抽象函數來說，用教師的眼光看待此類問題是大同小異的，但學生卻難以理解：明明沒有解析式卻要分析其單調性、奇偶性，怎么使用條件中的抽象式是學生解決抽象函數的難點，這就屬于學生對雙基知識中——函數概念的理解還不充分；（2）在解決抽象不等式f（a2+a-5）＜2的時候，學生沒有利用最基本的——函數單調性脫去“f”的思想，致使問題停留在表層.

善用錯誤效應：抓住這樣的抽象函數問題，筆者對其進行舉一反三的分析：（1）對于抽象函數的單調性的證明，只能用定義.應該構造出f（x2）-f（x1）并與0比較大小.（2）將函數不等式中的抽象函數符號“f”運用單調性“去掉”是本小題的切入點；要構造出f（M）＜f（N）的形式，易錯點還要關注定義域的取值以及抽象函數的性質運用等.最后請學生改編此問題，請學生自己再次解決類似問題.

解析：（1）設x1＜x2，所以x2-x1＞0，因為當x＞0時，f（x）＞1，所以f（x2-x1）＞1，f（x2）=f［（x2-x1）+x1］=f（x2-x1）+f（x1）-1，所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1＞0圯f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上為增函數.

（2）因為m，n∈R，不妨設m=n=1，所以f（1+1）=f（1）+

f（1）-1圯f（2）=2f（1）-1，f（3）=4圯f（2+1）=4圯f（2）+f（1）-1=4圯3f（1）-2=4，所以f（1）=2，所以f（a2+a-5）＜2=f（1），因為f（x）在R上為增函數，所以a2+a-5＜1圯-3＜a＜2，即a∈（-3，2）.

教學的有效性：抽象函數的問題，對新生而言有很多類似的問題，引導學生發現錯誤產生的原因并利用錯誤產生的效應進行有效的講解和舉一反三的鞏固嘗試，能從基礎層面理解、接受抽象函數，使其不再成為教學的難點.就本題而言，對函數的單調性的判斷是一個關鍵點.不會運用條件x＞0時，（fx）＞1.構造不出（fx2）-（fx1）=（fx2-x1）-1的形式，找不到問題的突破口.第二個關鍵應該是將不等式化為（fM）＜（fN）的形式.解決此類問題的易錯點：忽視M、N的取值范圍，即忽視（fx）所在的單調區間的約束.

2.整合能力錯誤效應

有別于基本功的錯誤，教學需要面對的凌駕于基本功之上的數學學習錯誤.這里筆者要談的正是整合能力方面的錯誤.整合能力，是學生學習到一定程度而言，將知識進行系統化后出現的.這方面的錯誤效應，其錯誤的體現相對級別更高、難度更大，要求教師精心分析學生錯誤產生的緣由，并在整合能力上對教學進行下一步的思考，來提高知識銜接處的教學有效性.

案例2（2014年省統測卷壓軸文）已知m∈R，設函數f（x）=x3-3（m+1）x2+12mx+1.求：（1）若f（x）在（0，3）上無極值點，求m的值；（2）若存在x0∈（0，3），使得f（x0）是f（x）在［0，3］上的最值，求m的取值范圍.

學生錯誤成因：這是最新的本省2014年統測卷上的導數壓軸題.其第（2）問的得分率是均分2分，難度系數0.16，筆者對本題做了一些統計和難點分析，并對部分錯誤做了歸納：

（1）第（1）問錯誤典型集中在對函數f（x）在（0，3）上無極值點的含義不理解，部分學生在解三次函數問題時忽視函數無極值的情形，對我們三次函數教學提出了全面性的要求；

（2）第（2）問是難點和易錯點.其錯誤的總體來說，體現在：其一，中低端學生對題意理解不到位，無從下手，很多學生不理解何為存在x0∈（0，3），使得f（x0）是f（x）在［0，3］上的最值？函數在閉區間上存在最值的最基本要求忽視——端點值和極值；其二，中高端學生錯誤集中在對分類討論思想的全面性處理上，往往只能分析某一種或兩種情形，還未能解決好運算的問題.

善用錯誤效應：本題是不可多得的一道典型好題，是利用錯誤效應教學提高有效性的典型問題.教師對問題分析要集中關注下面幾點，提高整合問題教學的有效性：

（1）函數閉區間的最值可能出現在哪些點處？

（2）動態函數討論最值，最需要關注極值點與區間的動態變化，屬于典型的動函數定區間問題.

（3）分類討論思想滲透進教學，對函數問題進行層層剝離式的分析，可以從區間［0，3］上極值點的個數下手進行分類，即兩大類四小類.

（4）運算環節是獲得高分的基本保障，教師教學要板演進而提高學生解決問題的真實性.

解析：（1）由題意知f′（x）=3x2-6（m+1）x+12m=3（x-2）（x-2m），由于f（x）在［0，3］上無極值點，故2m=2，所以m= 1.

（2）由于f′（x）=3（x-2）（x-2m），故

（ⅱ）當0＜2m＜2，即0＜m＜1時，列表如下：

x 0（0，2 m） 2 m（2 m，2） 2（2，3） 3 f′（x） ＋ 0 － 0 ＋f（x） 1 單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增 9 m＋1

x 0（0，2） 2 （2，2 m） 2 m（2 m，3） 3 f′（x） ＋ 0 － 0 ＋f（x） 1 單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增 9 m＋1

教學的有效性：整合性問題是錯誤較多的問題，但又是值得教師挖掘和關注的問題，從整合性問題中得到的典型錯誤，將這類錯誤的效應集中體現在教學之中，既豐富了教學的真實性也提高了整合性問題教學的有效性.

總之，本文在數學基本和整合的角度談了問題的錯誤效應，以及結合案例，從錯誤成因出發并做出合適的解析，既水到渠成又自然而然，并利用錯誤提升教學有效性的兩個方面.限于時間和篇幅，著重以“基本功的錯誤效應、整合性問題的錯誤效應”視角出發，以錯誤為載體尋求應對這些典型錯誤的方法展開敘述，期間還有很多問題沒有涉及，還有一些方面筆者未能從自身的教學實踐中提煉、總結出來，期待讀者補充.以上的筆者管窺之見，希望能夠不吝賜教.

1.崔景南.當學生偏離教師航向時［J］.數學通報，2008（9）.

2.曹軍.高中函數教學中避免不了的五個問題［J］.中學數學雜志，2013（7）.

3.展國培.有效教學，從關注學生開始［J］.中小學數學（高中），2013（1）.