“矛盾”何處有 條條通“羅馬”——反證法證明過(guò)程中的歸謬分析

☉浙江省慈溪中學(xué) 陳紅沖

“矛盾”何處有 條條通“羅馬”
——反證法證明過(guò)程中的歸謬分析

☉浙江省慈溪中學(xué) 陳紅沖

反證法是間接證明中一種非常重要的證明方法，無(wú)論在高考中還是在競(jìng)賽中都能找到其強(qiáng)大的用武之地.本文針對(duì)反證法證明的關(guān)鍵步驟——?dú)w謬分析，詳細(xì)闡釋了何處發(fā)生矛盾、如何找出矛盾以及用“活”反證法這三個(gè)方面，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

一、問(wèn)題的提出與思考

筆者在很多堂的聽(tīng)課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：教師一般只講授反證法的概念、反證法的基本步驟以及反證法的適用題型，但是對(duì)如何準(zhǔn)確運(yùn)用好反證法中歸謬這一步驟缺乏詳細(xì)的指導(dǎo).筆者翻閱了高中數(shù)學(xué)選修2-2教師教學(xué)用書(shū)中“直接證明與間接證明”這一節(jié)，教材推薦3個(gè)課時(shí)，除去直接證明的教學(xué)課時(shí)，反證法的教學(xué)至多2個(gè)課時(shí)，同時(shí)學(xué)科指導(dǎo)意見(jiàn)（理科）推薦1個(gè)課時(shí).但在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，筆者認(rèn)為這些課時(shí)是不夠的，主要原因有以下兩點(diǎn)：

（1）反證法是廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)證明方法，甚至在某些問(wèn)題上，只能用反證法，其重要性可見(jiàn)一斑.特別是歷年高考數(shù)學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)反證法的試題足以說(shuō)明要重視反證法教學(xué)以及增加課時(shí)的必要性.

（2）雖然在平時(shí)的教學(xué)中時(shí)常出現(xiàn)反證法的試題，但是對(duì)反證法的證明缺少系統(tǒng)、詳細(xì)的認(rèn)識(shí)；雖然課堂教學(xué)中教師對(duì)反證法的概念、證明步驟以及適合反證法的題型講解較多，但對(duì)證明中的“歸謬”這一關(guān)鍵步驟何處發(fā)生矛盾、如何選擇矛盾的焦點(diǎn)缺乏準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，因此需要集中時(shí)間指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)反證法.

二、反證法步驟的“再認(rèn)識(shí)”

1.如何“引向矛盾”

對(duì)原結(jié)論否定的假定的提出，相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件，使得在證明過(guò)程中發(fā)生矛盾的可能性增加了，從而增加了反證法證明方法的總數(shù)，具體如何“引向矛盾”，筆者在例1中引用孫維剛［1］老師的一個(gè)經(jīng)典例題三種證明并補(bǔ)充第四種證明來(lái)說(shuō)明.

例1 求證a，b，c為正實(shí)數(shù)的充要條件是a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0.

分析：為了便于分析，將a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0分別標(biāo)記為條件（1），條件（2），條件（3）.

因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，顯然易得a+b+c＞0，且ab+bc+ ca＞0和abc＞0.即“必要性”的證明易于直接完成.

證明“充分性”時(shí)，要綜合考慮三個(gè)不等式，推出a，b，c∈R*，有些難度，于是，嘗試反證法.

證法1：證充分性：若a，b，c不全為正實(shí)數(shù)，由abc＞0，則它們只能是二負(fù)一正.不妨設(shè)a＜0且b＜0且c＞0，又由于ab+bc+ca＞0圯a（b+c）+bc＞0.

因?yàn)閎c＜0，所以a（b+c）＞0，（*）

又a＜0，所以b+c＜0，（**）

而a+b+c＞0圯a+（b+c）＞0，所以a＞0.

這與a＜0的假設(shè)矛盾.所以假設(shè)不成立，故結(jié)論成立.

小結(jié)1：在證明過(guò)程中，先利用條件（3）作出的假設(shè)與條件（2）得出中間結(jié)論（**）.

再結(jié)合條件（1）得出新的結(jié)論與假設(shè)矛盾.

證法2：證充分性：從（*）開(kāi)始，如下進(jìn)行推理：

因?yàn)閍+b+c＞0圯a+（b+c）＞0及a＜0，所以b+c＞0.

又由a＜0圯a（b+c）＜0，這與（*）式矛盾.

小結(jié)2：在證明過(guò)程中，先利用條件（3）作出的假設(shè)與條件（2）得出中間結(jié)論（*），再利用條件（1）與假設(shè)得出中間結(jié)論，這個(gè)結(jié)論與結(jié)論（*）產(chǎn)生自相矛盾.

證法3：證充分性：若a，b，c不全為正實(shí)數(shù)，由abc＞0，則它們只能是二負(fù)一正.

不妨設(shè)a＜0且b＜0且c＞0，因?yàn)閍b+bc+ca=c（a+b）+ab＞0，

所以ab＞c（-b-a）＞0及a+b+c＞0圯c＞-a-b＞0，

所以ab＞c（-a-b）＞（a+b）2，即ab＞（a+b）2.

小結(jié)3：在證明過(guò)程中，先利用條件（3）做出的假設(shè)與條件（2）條件（1）得出新的結(jié)論，這個(gè)結(jié)論與事實(shí)公理矛盾.

總結(jié)：以上充分說(shuō)明，可能發(fā)生的矛盾，主要有：新結(jié)論與題設(shè)相矛盾；新結(jié)論與假設(shè)相矛盾；新結(jié)論與客觀事實(shí)相矛盾；推理過(guò)程中的自相矛盾.

2.進(jìn)一步“例證”

筆者從《不等式的解題方法與技巧》［2］一書(shū)中選取了一道含有兩個(gè)條件的反證法試題，運(yùn)用前面指出的方法進(jìn)一步例證.

例2 證明或否定命題：若x、y為實(shí)數(shù)且y≥0，y（y+1）≤（x+1）2，則y（y-1）≤x2.

分析：結(jié)合條件y（y+1）≤（x+1）2與結(jié)論y（y-1）≤x2的結(jié)構(gòu)相似，猜測(cè)結(jié)論是成立，又此題從正面證明很難入手，故采取反證法.

證法1：假設(shè)y（y-1）>x2，因?yàn)閥（y-1）>x2≥0，所以y<0或y>1.又因?yàn)閥≥0，所以y>1.

這與條件y（y+1）≤（x+1）2相矛盾.所以假設(shè)不成立，原命題成立.

證法2：假設(shè)y（y-1）>x2，因?yàn)閥（y-1）>x2≥0，所以y<0或y>1.

若y>1，令函數(shù)t=y（y-1），易知t=y（y-1）在（1，+∞）單調(diào)遞增，則

這與假設(shè)y（y-1）>x2矛盾，所以y>1不可能.

則只可能y<0，但這與條件y≥0矛盾.所以假設(shè)不成立，原命題成立.

證法3：假設(shè)y（y-1）>x2，因?yàn)閥（y-1）>x2≥0，所以y<0或y>1.

有條件y（y+1）≤（x+1）2和y>1可知

三、用“活”反證法

筆者曾在一高級(jí)中學(xué)中聽(tīng)了《間接證明——反證法》一堂課，對(duì)聽(tīng)課過(guò)程中的一道例題，引發(fā)了我對(duì)反證法的解題方法的進(jìn)一步思考.

教師檢查了兩位學(xué)生在黑板上的解法，肯定了學(xué)生甲的做法，并對(duì)他的解題步驟作了有效的分析.當(dāng)遇到學(xué)生乙的解法，該教師雖然口頭上肯定了乙的想法，但由于事先的預(yù)設(shè)不夠充分，又怕講不完后續(xù)的例題，所以未將該例題講透，這確實(shí)是教師備課過(guò)程中的一種遺憾.其實(shí)，我們只要用“活”反證法，還可以延續(xù)上面的內(nèi)容……

證法1：要證明：x2+y2+x+y≥4xy，

即要證明：（x-y）2+2xy+x+y≥4xy，

只需要證明：2xy+x+y≥4xy，

即要證明：x+y≥2xy，

只需要證明x+y≤2.

從集合之間的關(guān)系看，題設(shè)中的條件x+y>2所表示的集合必須包含條件x+y≤2所表示的集合.顯然這是一對(duì)矛盾，所以假設(shè)不可能成立，即原命題成立.

解這個(gè)一元二次不等式得：0 2相矛盾.

筆者以為反證法雖然是間接證明的一種基本方法，但是當(dāng)對(duì)原結(jié)論否定的假定提出以后，命題的證明又回到了直接證明的狀態(tài)，因此我們就可以選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合使用，從而真正用“活”反證法.

1.孫維剛，著.孫維剛高中數(shù)學(xué)/孫維剛教育文叢［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2005.

2.蘇勇，熊斌，編著.不等式的解題方法與技巧［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.