暴—露—從過一道程高三，范調研式試題引談起領

☉江蘇省蘇州高新區教研室 陳 勇

☉江蘇省蘇州實驗中學 丁益民

暴—露—從過一道程高三，范調研式試題引談起領

☉江蘇省蘇州高新區教研室 陳 勇

☉江蘇省蘇州實驗中學 丁益民

前不久，2014屆蘇州高三數學期初調研測試有如下一道題：

（1）略；

（2）如圖1，若k=2，試證明：AE，EF，FB成等比數列.

閱卷過程中，我們發現該題的得分較低，全區均分僅5.9分（滿分16分），成為卡住大部分學生的難題.一直以來，解析幾何的解題教學成為高三數學復習中難以突破的問題之一，師生付出了大量的時間與精力，但成效甚微.解析幾何解題教學究竟要講什么？怎么講？為此，筆者經過調研和思考，認為解析幾何解題教學要做到以下兩點：

一、暴露分析示范過程，提高問題分析的現場執行力

眾所周知，解析幾何試題的難點在于其繁雜的運算，而學生在解析幾何試題上普遍畏難的表現多為怕算、算不到底、不會算等，這與教師側重于方法傳授，而忽視對算理算法的分析、示范與指導不無關系，特別是在教學中對條件的表征，信息的加工，運算的優化以及方法的生成與調整很少體現，導致學生僅僅形成固定模式化的思維認知.我們認為，只有深度地參與到與學生共同思維活動的現場中去，并真實地剖析思維操作過程中的各個細節，對已有操作對象進行合理的調控與展示，提高分析問題的現場執行力，才能讓學生深刻并真正地體會到思維的合理性與操作的認同感.

如本題普遍是采取如下解法1：

S1：設出點P坐標；——（節點①）

S2：分別得到PC、PD的方程，進而得點E、F坐標；——（節點②）

S3：計算（表示）AE、EF、BF；——（節點③）

S4：驗證三者關系

若按照上述流程按部就班講下去，學生可能聽懂了，但讓學生自己獨立去做卻又出現問題，原因就在于教師沒有對上述操作過程中的若干細節進行現場分析與調整，并對方法進行改善與改進.實際上，對上述過程我們可以引導學生分別對節點①、②、③進行分析：

節點①的分析：設點P的方式有哪些？怎么設比較好？

節點②的分析：計算PC方程時是否可以通過類比迅速獲得？進而迅速獲得F點坐標？（②中兩個操作具體同構的特征，可以從操作的一致性上進行辨析.）

節點③的分析：計算AE的過程與BF的過程是否可以通過再次類比獲得？

通過上述的現場分析，充分暴露了師生在處理問題過程中若干思維細節，并對這些細節進行合適的再處理，學生在操作過程中發生了“操作的需求——操作的認可”的心理活動，并激發了學生進一步的思考——是否可以進一步優化？一旦有了這樣的意識，下面的操作便應運而生：

反思：上述操作中引起運算繁雜的主要原因在哪？

通過回顧上述操作流程，不難發現引起運算繁瑣的原因是在求E，F坐標的運算上，這一運算連鎖反應導致了很多運算的出現，可否回避這一運算發生嗎？進而形成解法2：

S1：設出P，E，F三點坐標；

S2：分別由P、E、D三點共線和P、F、C三點共線，通過斜率或向量得到點F與P、C的坐標關系和點E與P、D的坐標關系；

S3：計算（表示）AE、EF、BF；

S4：驗證三者關系.

引導學生預估這一算法的運算長度，并對上述兩種解法進行比較：解法2是否比解法1得到改善與改進？進步在哪里？是否還可以進一步優化等.如此對已有的操作設計進行必要的剖析與比較，能使學生產生進一步優化思維對象的意識，并對每一次優化的過程進行比較與調控，真正讓思維走向細節達到提升.

二、用范式引領思維的發生，促進數學探索意識的形成

正如前文所述，當前解析幾何解題教學的癥結在于對思維對象的形式固化，即思維的認知呈現出封閉的或狹窄的傾向，問題出在課堂教學中教學視野的狹窄與封閉，只有課堂中將思維的訓練向四面八方打開，才有可能引發學生的思維熱情，才有可能培養學生進行數學探究的意識與能力.當然，打開思維必須有一定規范的思維范式作指引，學生通過思維范式的引領加以一定量的理解與實施，逐步地會形成數學探索的意識.

如解答完本題中，我們可以讓學生從兩個基本方向展開探究：

方向1：是否可以逆向看問題？

——若AE，EF，FB成等比數列，則k=2嗎？

實質上，該問題是將原問題表達中常量置換為變量，通過條件解方程即可獲解，具體如下：

過點P作AD、BC的垂線，垂足為G、H，由三角形相似知識（三組相似）分別表示出AE、EF、BF，僅僅是將其中的AD長度用kb代換，然后通過已有信息EF2=AE·BF運算即可.

逆向探究是進行數學探究常用的范式，是尋求數學命題具有邏輯依據的“逆向”表征，通過原問題與逆向問題的雙向研究，真正找到理解問題本質的通道.

方向2：是否可以進一步看問題？

——矩形ABCD，AB=2a，AD=2b，E、F是邊AB上兩點，且AE，EF，FB成等比數列，直線DE、CF交于點P，點P的軌跡是什么？

很明顯地這一問題就是結合方向1進一步拓展地看問題，其操作的思路與上述一致：

設出P點坐標，運用相似知識分別表示出AE、EF、BF，根據已有信息EF2=AE·BF，將得到含有點P坐標的式子進行操作（相乘并化簡）便可獲得點P的軌跡方程.

拓展探究是進行解析幾何解題教學時一種重要的“范式”，通常是對原問題中已有信息進行合理或合適的重組、整合、變換等操作，使得在已有操作中進行問題本質探求的新的操作活動.不難看出，經過“拓展探究”可使學生對問題的理解和認識更開闊更靈活，更為重要的是教給了學生如何進行思維或對思維對象進行新的表征的途徑，真正地打開了學生思維向四處伸展的枷鎖，激發了學生探求的方向與動力.

1.丁益民.從一道高考填空題談思維［J］.中學數學（上），2010（6）.

2.丁益民.從一道高三模擬題談解析幾何解題教學［J］.中學數學教學參考（上），2013（7）.