“成果擴(kuò)大”：解題教學(xué)的一種追求——由一次習(xí)題講評(píng)課說(shuō)起

☉廣東省博羅縣福田中學(xué) 劉伯勛

“成果擴(kuò)大”：解題教學(xué)的一種追求
——由一次習(xí)題講評(píng)課說(shuō)起

☉廣東省博羅縣福田中學(xué) 劉伯勛

解題教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有十分重要的位置，追求解題教學(xué)的效益最大化，一直是廣大教師心中向往的目標(biāo).本文從一次習(xí)題課的教學(xué)片斷說(shuō)起，闡釋在解題教學(xué)中對(duì)“成果擴(kuò)大”的追求和思考.

一、一次習(xí)題課的教學(xué)片斷

以下是七年級(jí)學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和及推論后一次習(xí)題課上的教學(xué)片斷.

例1 如圖1，在△ABC中，CP平分∠ACB，BP是△ABC的外角∠ABE的平分線，

試分析∠P與∠A的大小關(guān)系.

不少同學(xué)都感到很驚訝.

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

這樣一說(shuō)，部分同學(xué)表示能聽(tīng)懂，但還是有些學(xué)生感覺(jué)云里霧里，表示不是很清楚，于是在筆者幫助下，把生1表達(dá)的過(guò)程重新板書(shū)如下.

由△BCP外角的性質(zhì)，得到∠P=∠PBE-∠PCB.

由△ABC外角的性質(zhì)，得到∠A=∠ABE-∠ACB.

這樣一來(lái)，更多的同學(xué)懂了.

師：同學(xué)們，現(xiàn)在老師再把問(wèn)題變式如下.

變式1：如圖2，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，探究∠BOC與∠A的關(guān)系.

師：你怎么這么熟練？

生2：我以前練習(xí)過(guò)這樣一類問(wèn)題：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE、BD是∠A、∠B的平分線，求∠APB的度數(shù).

師：很好，你剛才的解題經(jīng)驗(yàn)中，說(shuō)出了一種重要的求解策略，即從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)、歸納法，而且積累了一種特殊圖形及其性質(zhì).現(xiàn)在讓我們?cè)佟皬膬?nèi)到外”，探究一下三角形兩個(gè)外角平分線的夾角有怎樣的性質(zhì).

變式2：如圖4，在△ABC中，BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分線，試求∠BPC與∠A的大小關(guān)系.

學(xué)生經(jīng)過(guò)2分鐘的獨(dú)立思考.

師：正確！原來(lái)三角形的兩個(gè)角平分線的夾角與“第三個(gè)角”都存在一種規(guī)律！我們?cè)谇懊嬖f(shuō)三角形的三條內(nèi)角平分線會(huì)交于一點(diǎn)，屬于一種數(shù)學(xué)上的奇異美現(xiàn)象，我想，上面三種“兩角平分線”夾角的規(guī)律也是一種奇異美吧！

二、解題教學(xué)應(yīng)該追求“成果擴(kuò)大”

解題教學(xué)中追求“成果擴(kuò)大”能幫助學(xué)生“舉一反三”、“做一題，會(huì)一類，通一片”，就“眼前利益”來(lái)看，能幫助學(xué)生提高解題能力、應(yīng)試能力.此外，追求并傳遞“成果擴(kuò)大”，正是踐行下述觀點(diǎn)的體現(xiàn)，波利亞在名著《怎樣解題》中說(shuō)“一個(gè)好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒(méi)有任何問(wèn)題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做.經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平”.以下即圍繞解題教學(xué)中追求“成果擴(kuò)大”闡釋相關(guān)思考.

1.“成果擴(kuò)大”的前提是教學(xué)預(yù)設(shè)

凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.追求“成果擴(kuò)大”的解題教學(xué)，首先要做的是充分的教學(xué)預(yù)設(shè).若教者對(duì)待教數(shù)學(xué)問(wèn)題還未有充分思考、預(yù)設(shè)，那么在解題教學(xué)時(shí)過(guò)分期待“成果擴(kuò)大”的精彩生成往往會(huì)落空.上述案例中，教師能在學(xué)生獲得一種發(fā)現(xiàn)后，及時(shí)給出不同變式，促成“成果擴(kuò)大”，顯然這些變式的即時(shí)出現(xiàn)，其實(shí)在于教師在上課之前對(duì)這類問(wèn)題（三角形“兩角平分線”夾角問(wèn)題）已了然于胸，預(yù)設(shè)之功顯現(xiàn)于此.此外，由于“成果擴(kuò)大”內(nèi)涵和外延非常豐富，教學(xué)預(yù)設(shè)就顯得更為重要.以下即展開(kāi)說(shuō)明對(duì)解題教學(xué)中追求“成果擴(kuò)大”的更多認(rèn)識(shí).

2.“成果擴(kuò)大”的本質(zhì)是變式教學(xué)

我們知道，變式教學(xué)是有中國(guó)特點(diǎn)的“雙基”特色.本文倡導(dǎo)在解題教學(xué)中追求“成果擴(kuò)大”，本質(zhì)上就是倡導(dǎo)變式教學(xué).而變式教學(xué)的目的在于幫助和促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、積累模式，并善于對(duì)模式進(jìn)行變式理解.在上述教學(xué)片斷中，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷變式與探究后，積累了三角形“兩個(gè)角平分線”夾角的規(guī)律問(wèn)題，這其實(shí)是陜西師大羅增儒教授倡導(dǎo)的“模式識(shí)別”策略，上述的探究和小結(jié)其實(shí)就是發(fā)現(xiàn)和積累模式圖形與性質(zhì)（也有資料上稱“基本圖形及性質(zhì)”），這樣在此后的作業(yè)或考試中，面對(duì)這類模式圖形就可以快速打開(kāi)思路，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的快速突破.實(shí)際上，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，這樣的變式探究及一般性規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是十分重要的，只有多進(jìn)行這樣的一題多變的訓(xùn)練和反思，才能走出題海，更本質(zhì)地學(xué)習(xí)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)解題能力！

3.“成果擴(kuò)大”的追求是回顧反思

我們知道，數(shù)學(xué)解題并不僅僅是追求答案的獲取，還需要在“求出解答后繼續(xù)前進(jìn)”（舍費(fèi)爾德語(yǔ)）.在這里，簡(jiǎn)單提及新加坡著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家李秉彝先生關(guān)于“答案、過(guò)程、表達(dá)”三者關(guān)系的論述：“首先，為什么答案是重要的？假如你在造一棟住宅，竣工后，房子塌了，你愿意因?yàn)閮H僅是過(guò)程正確而向建筑商支付報(bào)酬嗎？其次，為什么過(guò)程是重要的？你可以在過(guò)程做錯(cuò)的情況下，得到正確的答案，但我不肯定你下次還會(huì)那么幸運(yùn).第三，為什么表達(dá)是重要的？如果你說(shuō)得很好，你可以通過(guò)一扇門(mén)，我是說(shuō)，你可以把所要表達(dá)的意思傳遞給門(mén)后的那個(gè)人，如果你寫(xiě)得很好，你至少可以通過(guò)三扇門(mén)，我是說(shuō)，你可以把所要表達(dá)的意思傳遞給你老板的老板的老板.只有完美的表達(dá)才可以傳遞得更遠(yuǎn).”這樣來(lái)看，如上述案例所見(jiàn)，在學(xué)生獲得例1的解答后，并沒(méi)有結(jié)束該題的學(xué)習(xí)，而是連續(xù)變式兩次，在師生的對(duì)話中豐富了這一類問(wèn)題.進(jìn)一步，還在點(diǎn)評(píng)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同例、習(xí)題的求解，發(fā)現(xiàn)并感受結(jié)論的“奇異美”，這一系列的跟進(jìn)措施都是“成果擴(kuò)大”.

4.“成果擴(kuò)大”需要處理與“必要優(yōu)化”的關(guān)系

如上述案例展示所見(jiàn)，解題教學(xué)中的“成果擴(kuò)大”追求了一題多變.此外，“一題多解”也是“成果擴(kuò)大”的一種常見(jiàn)形式.無(wú)論是解題教學(xué)中的“一題多變”或“一題多解”，都要注意一個(gè)“度”.

首先，一題多變往哪個(gè)方向變？指向何方？這里不妨再鏈接筆者近期從教材上一道習(xí)題出發(fā)，預(yù)設(shè)的一道“五角星”（人教版八年級(jí)上冊(cè)教材第82頁(yè)第3題改編）的開(kāi)放式問(wèn)題.

例2 如圖5，五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形.

（1）填空∠AMB=_______°；

（2）連接AB，求∠MAB的度數(shù)；

（3）請(qǐng)過(guò)點(diǎn)M畫(huà)出五角星的一條對(duì)稱軸（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；

（4）請(qǐng)?jiān)冢?）的圖形上，再設(shè)計(jì)一個(gè)求角度的問(wèn)題.

教學(xué)故事講述：前兩問(wèn)是封閉式設(shè)問(wèn)，后面增加的兩問(wèn)，就是讓同學(xué)們看看，經(jīng)典如五角星，還有怎樣的設(shè)問(wèn)方式.第三問(wèn)在作對(duì)稱軸時(shí)，雖然要求是尺規(guī)作圖，不同的學(xué)生有不同的方法，有些認(rèn)識(shí)很深刻的學(xué)生，直接連接兩個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)M和相對(duì)的“五角星”一個(gè)頂點(diǎn)）即可.而第四問(wèn)學(xué)生設(shè)計(jì)的問(wèn)題也豐富多樣，其中一個(gè)學(xué)生設(shè)計(jì)一問(wèn)：設(shè)∠A與∠B的平分線交于O，求∠AOB的度數(shù).值得一說(shuō)的是，這個(gè)問(wèn)題的求解方法有很多，比如利用三角形內(nèi)外角性質(zhì)，或者走外接圓、圓心角的路徑.可見(jiàn)一道精心預(yù)設(shè)的開(kāi)放式問(wèn)題，經(jīng)過(guò)師生的共同努力，精彩生成，就有了很有價(jià)值的“成果擴(kuò)大”.

其次，關(guān)于一題多解與解法優(yōu)化的思考.如鄭毓信教授所說(shuō)，積極倡導(dǎo)解題方法的多樣化與“思維的必要優(yōu)化”，不應(yīng)當(dāng)看成是直接相沖突的.相反，很好的處理解法多樣與思維的必要優(yōu)化之間的辯證關(guān)系，正是教學(xué)藝術(shù)性的體現(xiàn).這方面的一個(gè)有意義的思考，可以參見(jiàn)劉東升老師在《“通性通法”與“技巧解法”之思》一文中對(duì)解法多樣的如下觀點(diǎn)：恰當(dāng)?shù)慕夥ǘ鄻踊菓?yīng)該堅(jiān)持的問(wèn)題解決取向、恰當(dāng)?shù)乃急嬗兄凇巴ㄐ酝ǚā迸c“技巧解法”的理解、恰當(dāng)?shù)睦斫狻凹记山夥ā迸c“特殊解題技巧”的關(guān)系.事實(shí)上，這也正是廣大教師同行作為專業(yè)人士需要修煉的基本功之一——“善于優(yōu)化”.

三、寫(xiě)在最后

解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有十分重要的位置.長(zhǎng)久以來(lái)，“講題、變式、練習(xí)、講評(píng)、再練習(xí)”似乎成了不少同行“教死書(shū)”的一種模式，但這并不代表就該如此.怎樣改進(jìn)？怎樣把一些熟悉的問(wèn)題經(jīng)過(guò)我們的重組、預(yù)設(shè)，促成學(xué)生自然而然的“成果擴(kuò)大”？希望我們一線教師都能在這些方面做出努力.

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