應用題教學：用力在何處——由一節研討課說起

☉江蘇省連云港市連云區東港中學新校區 劉 倩

應用題教學：用力在何處
——由一節研討課說起

☉江蘇省連云港市連云區東港中學新校區 劉 倩

眾所周知，數學來源于生活又服務于生活.初中階段的情境應用問題是教學的重點和難點，本文結合最近聽過的一節《二元一次方程組的應用》研討課談談對應用題教學的思考，與同行研討.

一、《二元一次方程組的應用》研討課片斷

片斷一：開課階段

今天上課前老師要送給大家一句話：

要么去旅行，要么讀書，身體和靈魂總要有一個在路上……

今天老師也想帶著大家去旅行，想讓大家通過去過的不同地方感受現在經濟社會中不同領域所存在的數學學問.

那是什么學問呢？請看課題：增收節支，請導游先解釋一下.

（播放視頻，講解增收節支的含義）

好，明確了此次旅行的目的之后，我們現在就要做些準備了，馬上進入熱身練習.

熱身練習

學生獨立完成熱身練習（標出每題的等量關系）：

（1）某工廠去年的總收入是50萬元，今年的總收入比去年增加20%，則今年的總收入是__________萬元；

（2）若該廠去年的總支出為10萬元，今年的總支出比去年減少了x%，則今年的總支出是__________萬元；

（3）若該廠今年的總收入為x萬元，總支出為y萬元，則今年的利潤為150萬元，那么可得方程_____________.

（教師下去巡查，批改組長的練習，之后組長批改小組其他成員，全部做完后小組交流）

師：好，我們旅行的準備已經做好，現在我們開始第一站：連云港開發區某工廠.這個工廠的老板在糾結一道數學問題，看看我們大家能不能幫助他解決呢，可是有禮物的哦.

片斷二：例題教學

例題 某工廠去年的利潤（總收入-總支出）為200萬元，今年的總收入比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，則去年的總產值和總支出各是多少萬元？

呈現例題后，老師請一個學生讀了一下題目，就迫不急待地開始指導

師：同學們有沒有發現這個問題中蘊含的數量關系比較多，首先看這個問題中要求的量有兩個，因此我們可以設兩個未知數，設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，題目中，涉及的量不過是這樣三類：總收入、總支出、利潤，我們是否可以用一種形式將這些數量清晰地表示出來呢？

眾生：列表.

（教師很高興，播放PPT上準備好的表格）

師：把題目中涉及的三類量填到表格的最上面，下面的分別填入去年和今年.

設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，填入表格中：

總產值/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元去年 x y今年

根據上表，可以列出方組_________，

解得_____________.

（學生合作得很好，師生很快就完成了這個例題的解答）

片斷三：變式追問

師：若條件不變，求今年的總產值、總支出各是多少萬元？

如果設今年的總產值為x萬元，總支出為y萬元.

請同學們完成下表：

總產值/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元去年 200今年 780

根據上表，可以列出方組______________，

（學生動手解這個方程組，發現解法很煩瑣）

師：有沒有其他的方法，使列出的方程組比較簡潔？

經過思考，有學生提出可以間接設未知數，如設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，計算方便.

片斷四：跟蹤練習

（1）一、二班共有100名學生，他們的體育達標率（達到標準的百分率）為81%，如果一班學生的體育達標率為87.%，二班的達標率為75%，那么一、二班的學生數各是多少？

（2）醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配制營養品，每克甲原料含0.5個單位蛋白質和1個單位鐵質，每克乙原料含0.7個單位蛋白質和0.4個單位鐵質，若病人每餐需要35個單位蛋白質和40個單位鐵質，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？

說明：第1道題在獨立練習5分鐘后，有一半學生解出；第2道題在10分鐘后僅有兩個學生答出，接著由于時間原因，老師將PPT上準備好的表格展示出來.

解：設每餐需甲、乙兩種原料各x、y克，則有下表：

甲原料各x克乙原料各y克所配制營養品其中所含營養品其中所含鐵質

二、應用題教學：用力在何處

以下由上文中的教學案例出發，具體說說對應用題教學的相關思考.

1.應用題教學，要引導學生讀取信息

我們都知道，波利亞在名著《怎樣解題》［1］的“一段對話”下，反復問“我應該從哪兒開始？”當我們向學生講解應用問題的求解時，這個“我應該從哪兒開始”是很關鍵的.就應用題教學來說，首先引導學生認真讀取情境中的信息是十分重要的，比較情境問題中有哪些數據？有哪些關鍵詞句？有哪些是提供等量關系（或不等關系）的句子？有哪些是提供要設元的信息？這些追問，對于應用問題的進一步求解都是重要的.在這個意義上看，上文案例中，教者設計了一組“潛伏訓練”讓學生先體驗、熱身了情境問題的一些等量關系，這是有積極意義的，對于進一步開展例題教學是有幫助的.但是，在例題呈現后，僅僅讓一個學生讀了一下題目，教者就迫不及待地開展“專業指導”，置學生的獨立思考于不顧，牽引著學生跟著自己思維走，并“順利”地導出表格分析法.筆者以為，這種順利的過程，恰恰忽略了引導學生自己讀取應用問題信息的必要環節，不利于學生解題能力的培養.可行的操作是，學生讀題后，安排學生獨立思考2分鐘后，請學生回答你讀出了什么信息？有哪些數據信息？這些數據之間有何關系？你覺得怎樣把這些關系簡明地表示出來等設問后，自然地引導出表格分析法.

2.應用題教學，要幫助學生分析信息

當學生能從背景豐富的問題情境中解讀出、讀取全信息（數據或重要詞句）后，進一步分析、梳理信息是很關健的.比如上文提及的列表法就是一種很有意義的分析、梳理信息的方法，這也是執教者預設該課時的主要目標之一，即向學生傳遞表格分析法.但是從課堂教學情況來看，教者偏重了“教表格法”，淡化了讓學生自主地發現表格.所以在后來“片斷四”中兩個練習鞏固時，學生對第2道應用題的求解在規定時間內仍然沒有找到好的分析方法，所以教師又只能將準備好的PPT展示一下，讓學生再次模仿、聽講，又一次忽略引導學生自主分析、發現表格的方法.順便指出，信息分析、梳理的方法除了表格法以外，針對不同的問題情境或類型，還有很多不同的法，比如圖示法（線段圖、維因圖、思維導圖等）、直接構建等量關系等.

3.應用題教學，要注重培養學生的建模思想

4.應用題教學，要培養學生的檢驗意識

多年的應用題教學經驗告訴我們，不少學生在求解應用問題時往往只注意列方程或不等式，然后就是求出方程的解（不等式解集），給出答語，就匆忙結束.有些學生設的未知數非常“簡潔”：沒有單位，沒有說清楚這個未知數“所指”，這樣做就給后續解出方程的解后不知道回代未知數進行檢驗，出錯風險自然會增大.所以，在應用題教學中，我們需要培養學生的檢驗意識.這里有這樣一些關于檢驗的認識，第一，檢驗所求解是否是所列方程或不等式的解（特別是，分式方程的解需要有驗根的步驟）；第二，求出的解是否符合所設的未知數在問題背景中的實際意義（即應用題的解往往要“雙重檢驗”）；第三，檢驗意識還是倡導學生一種“求出答案并繼續前進”（舍費爾德語）的反思追求.當然，在這里，筆者還想簡要提及李秉彝先生關于“答案、過程、表達”三者關系的論述，值得我們關注：首先，為什么答案是重要的？假如你在造一棟住宅，竣工后，房子塌了，你愿意因為僅僅是過程正確而向建筑商支付報酬嗎？其次，為什么過程是重要的？你可以在過程做錯的情況下，得到正確的答案，但我不肯定你下次還會那么幸運.第三，為什么表達是重要的？如果你說得很好，你可以通過一扇門，我是說，你可以把所要表達的意思傳遞給門后的那個人，如果你寫得很好，你至少可以通過三扇門，我是說，你可以把所要表達的意思傳遞給你老板的老板的老板.只有完美的表達才可以傳遞得更遠.

三、寫在最后

應用題的解題教學是初中階段的重點和難點，上文只是結合一次聽課案例闡釋了一些初步思考，并不一定準確，更不一定正確，期待更多同行從案例研究的方向展開研討.

1.波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

2.鄭毓信.善于優化［J］.人民教育，2008（20）.

3.唐劍嵐.數學多元表征學習的認知模型及教學研究［D］.南京：南京師范大學，2008.

4.李善良.理清核心主線，優化教學過程［J］.中學數學月刊，2011（10）.

5.劉東升.對時育物，有效追問——淺論初中數學課堂教學中的追問藝術［J］.中學數學教學參考（中），2012（4）.

6.羅增儒.數學的領悟［M］.鄭州：河南科學技術出版社，1997.

7.史寧中.數學的抽象［J］.東北師大學報（哲學社會科學版），2008（5）.FH