從近五年江蘇卷看解析幾何的復習

☉江蘇省靖江市第一高級中學 展國培

從近五年江蘇卷看解析幾何的復習

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解析幾何是高中數學的主干知識，也是高考必考內容，約占總分值（160分）的16%左右.但在每年的高考中學生的答題情況卻不理想.怎樣提高解析幾何的教學效果，使之成為高考中的得分點？筆者結合教學實踐和近五年江蘇卷的解析幾何試題談一些個人看法，供參考.

一、課程標準、考試說明及考點歸類

時間（年） 知識點 考試說明 課程標準2008小題：①直線斜率②求直線方程③橢圓離心率大題：求三點的圓，圓過定點2009 2010 2011小題：①橢圓離心率大題：直線與圓位置關系小題：①雙曲線焦半徑②直線與圓位置關系大題：求軌跡、兩直線交點及橢圓與直線的交點小題：①兩點之間距離②直線與圓的位置關系大題：兩直線的位置關系、點到直線的距離、直線與橢圓的交點2012小題：①雙曲線的離心率；②兩圓的位置關系；大題：橢圓方程、直線與橢圓相交、兩點之間距離A級：空間直角坐標系、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質.B級：直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關系、兩點間的距離、點到直線的距離、直線與圓、圓與圓的位置關系、橢圓的標準方程與幾何性質.C級：直線方程、圓的標準方程與一般方程.說明：對知識的考查要求依次分了解、理解、掌握三個層次（分別用A、B、C表示）.了解水平：空間直角坐標系、拋物線、雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程、圓錐曲線的簡單應用.理解水平：直線的傾斜角和斜率的概念，掌握直線斜率的計算公式；兩直線位置關系；判斷直線與圓、圓與圓的位置關系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.遷移水平：探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數的關系；探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式；探索并掌握圓的標準方程與一般方程.

二、教學建議

1.必須重視概念復習

高三數學的概念復習方式主要有兩種：一是采用“導學案”的形式，教師提前一天將概念羅列好并以講義的形式印發下去，學生對照書本完成（特別是文科生）；二是有些輔導資料上有現成的知識點，師生課堂上一問一答，共同完成.筆者認為這兩種方式都有問題.簡單的羅列對優等生來講無新鮮感，沒有刺激，因此是無效的；對學困生來講，高一、高二時就稀里糊涂，這樣的復習方式對他毫無幫助，仍是漿糊一瓶.“一問一答”的形式，學生的參與度不夠，沒有被叫答的學生無所事事、心不在焉.筆者近幾年遵循“問題驅動”的原則，將概念內容以“問題鏈”的形式讓學生思考，從而促使學生主動建構知識網絡，收到了一定效果.

例1 直線的斜率與方程.

問題：已知直線l過點P（1，2），且與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點.請你添加一個條件，使這條直線確定.（至少三個不同條件）

設計意圖：直線是最簡單、最基本的圖形，也是第一次比較全面地運用解析幾何的基本思想和方法研究的基本圖形.直線的傾斜角和斜率又是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示.直線的斜率是對直線的位置進行定量研究的基礎，也是研究直線與其他曲線位置關系的關鍵.因此，在高三復習時要幫助學生很好地理解這兩個概念.

該問題可以從直線的幾何特征與代數特征出發，添加等量關系列方程，或不等關系求最值.比如，等量關系可以是給出直線的斜率、另外一點的坐標、線段AB的長度、點到直線的距離、△AOB的面積、周長等；不等關系可以是線段AB最短、△AOB的面積、周長的最值、P—→A·P—→B最大等.既涉及直線的斜率、兩點間的距離、點到直線的距離、直線方程的幾種形式、基本不等式等基礎知識，又涉及數與形、等與不等的轉化，函數與方程思想等基本技能的應用，該問題具有一定的開放性和探究性，同時可以培養學生提出問題的能力.

在此基礎上，教師留十分鐘的時間讓學生思考如下問題：

問題1：平面內，過一點可以作幾條直線？

問題2：添加什么條件可以使直線唯一確定？

問題3：用什么來描述直線的方向？怎樣描述？

問題4：你能敘述直線傾斜角的概念嗎？與x軸平行的直線傾斜角是多少？與x軸垂直的直線傾斜角呢？直線的傾斜角有范圍嗎？

問題5：直線的斜率與傾斜角有什么關系？

問題6：已知直線l過點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），則它的斜率是_________.

問題7：直線的傾斜角越大，斜率越大嗎？你能說出傾斜角與斜率之間的變化規律嗎？

問題8：已知直線l過點P（x0，y0），且斜率為k，你能寫出直線l的方程嗎？若斜率不存在呢？

注意：直線的點斜式方程的適用條件.

問題9：一次函數y=kx+b的圖像是什么？其中字母k和b的幾何意義是什么？它的單調性與字母k有怎樣的聯系？

注意：直線的兩點式方程的適用條件.

問題12：前面四種特殊形式的直線方程都是關于x，y的二元一次方程.那么，關于x，y的二元一次方程Ax+By+ C=0（A，B不全為0）都表示直線嗎？

注意：求直線方程時，結果要寫成一般式.

設計意圖：直線方程是我省數學科《考試說明》中八個C級考點之一，是高考必考內容.直線的斜率又是核心概念之一.對于核心概念的復習教師必須舍得花時間.學生的預習往往是將課本上的相關概念抄到學案上，毫無效果.以問題鏈的形式促使學生去思考，確保每一位學生都能參與，都能得到不同程度的發展.問題鏈設置的落腳點都是學生易錯處.

建議：學生的很多錯誤主要是概念不清導致的.雖然新課程一再強調要讓學生經歷知識的產生、發展過程，然而在高一、高二新授課時“一個定義、三項注意、大量例習題訓練”的概念教學模式仍充斥我們的課堂.如果我們在高三復習時不注意到這一點，那么怎能讓學生將“模糊的清晰起來、雜亂的連結起來”呢？少講一、兩道題，多留點時間給學生思考、感悟、體驗、運用.“把時間留給學生”不只是我們在寫論文時的口號，而是我們必須踐行的教學理念.

2.抓好三基訓練

高考中的解析幾何小題都是圍繞“基礎知識、基本方法、基本技能”設計的，一般是基礎題和中檔題，應當是學生的得分點.近五年江蘇卷關于直線的考查主要體現在線性規劃、直線與其他曲線的位置關系等方面.如：

例4（2011年）在平面直角坐標系xOy中，已知點P是函數f（x）=ex（x＞0）的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是_____________.

將直線與其他函數曲線結合在一起，考查學生對導數、求函數最值等知識的掌握情況是江蘇卷的一個特點，也體現知識交匯處命題的原則.

從2010年起解析幾何把直線與圓位置關系的考查從大題遷至小題中.如：

例5（2010年第9題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是__________.

例7（2012年第12題）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值為___________.

建議：這些題要求學生能在動與靜的兩元素（點和線）之間進行轉化，考查學生對直線與圓位置關系的掌握，思維層次高，解題策略需要不斷的優化，具有較高的區分度.因此在高三一輪復習時要做到“細、實”，對知識點的復習要細化，訓練要實在.如圓的方程，直線與圓的各種位置關系，特別是直線與圓相交時的弦長問題，切線方程、切線長、切點弦問題、過圓外一點的兩切線的夾角，與向量結合的問題等都要訓練到位.立足于一節課解決一類問題，勿貪多.

由于江蘇對直線與圓錐曲線的位置有諸多限制，因此小題考查主要圍繞圓錐曲線的定義、基本量之間的關系展開.考查定義的有：

考查基本量（主要涉及離心率）的有：

建議：在高三一輪復習時，處理好圓錐曲線的定義、基本量a，b，c，e與準線之間的關系、過焦點的弦長問題、焦點三角形，特別要重視關于離心率的范圍問題（江蘇還沒考），如何建立不等關系是學生的難點，也是易錯點.要讓學生自己思考、多積累解題經驗.教材中關于圓錐曲線中的一些常見關系式或結論要求學生必須掌握，有助于縮短思維長度、提高解題速度，節約解題時間.由于初中對平面幾何的要求降低了，不少學生缺乏從幾何特征分析問題的能力，在高三復習時要引起注意.

這是我校2012屆高三考前模擬題，學生得分率幾乎是0.本題綜合性較強，涉及橢圓的基本量之間的關系、點到直線的距離、直線與圓的位置關系等知識點，考查了基本運算能力和推理論證能力.學生的思維障礙主要在：（1）“△ABC是銳角三角形”這一條件不會用，不少學生用余弦定理或向量的數量積，增大了計算量；（2）忽略“圓與y軸相交于B、C兩點”這個條件，從而導致錯解；（3）少數文科生不會求點A的坐標.

高三復習中一要關注基礎，二要研究一些經典的解析幾何題面（如阿波羅，雙定點等）.三要訓練與線性規劃的綜合題，鍛煉好學生處理多元變量的能力和意志.

3.將計算能力的培養落到實處

解析幾何歷來讓學生“愛恨交織”.說“愛”主要是思維沒有函數和數列復雜，說“恨”主要是計算量太大.如何切實培養學生的計算能力是我們一線教師不能回避的問題.當學生遭遇到不可回避的繁雜運算時，教師千萬不要為了多講一道題就包辦代替，課堂上必須留時間給學生算，而且教育學生一定要有將計算進行到底的決心和勇氣.同時要培養學生的求簡意識，通過合理設元、整體代換、直覺猜想、合情推理等手段，分析圖形的幾何特征，從而達到簡化運算的目的.

（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離；（3）對任意的k＞0，求證：PA⊥PB.

從學生的解答情況看，本題16分，滿分率不到10%，全省均分在7～8分之間，但前面兩小題有20%的學生能得全分.令人詫異的是第（3）問沒有預期的好，錯誤的原因是學生的計算能力不強，在計算的過程中缺乏簡化意識，導致越算越繁.［1］

解法1：設點P（x1，y1），則點A（-x1，-y1）、點C（x1，0）.

因此PA⊥PB.

解法2：設點P（x1，y1），B（x2，y2），則點A（-x1，-y1）、點C（x1，0）.

（ⅱ）求證：PF1+PF2是定值.

這里僅對第（2）問的第（ⅰ）題給出一種解法.

由第（1）問知，F（1-1，0）.延長AF1交橢圓于點C，

由橢圓的對稱性可知，BF2=CF1.

顯然借助直線的參數方程可以簡化運算.為什么考場上理科學生想不到呢？

建議：“參數方程與極坐標”是選修內容，我省放在附加模塊考查.筆者認為，在高三復習時不能將它孤立起來，而應有機地嵌入解析幾何的必修模塊.

解析幾何的本質是用代數方法研究幾何問題，其核心思想是坐標法思想.因此教學中要始終關注學生對坐標法思想的體驗、感受與運用.由于圓中問題的幾何味要重于解析味，江蘇省從2010年起將考查“直線與圓”變為考查“直線與橢圓”，內容無外乎求軌跡方程與標準方程、直線與橢圓關系（解二次方程組），且涉及探究內容（定點，定值，共線等）.雖然刻意回避韋達定理、弦長公式等知識點，但在試卷上我們或隱或現地能看到它們的影子，這也是引起爭議之處.是否會融合圓與橢圓甚至拋物線，以此為載體出現創新型解幾題，可以存疑，不排除明年考圓的可能性.但是理科類不能忽視附加模塊中的拋物線是B級要求.

4.回歸課本是正道

目前，高考復習資料泛濫，良莠不齊.筆者認為最好的復習資料就是教材.課本是教師的上課之本，是學生的學習之本，更是高考命題之本.課本是經過資深專家們千錘百煉而成，經過了數年來的教學實踐的證明.因此在高三復習時千萬不要舍本求末.回歸課本不是簡單閱讀課本或將課本上的例習題重做一遍，而是要認真研讀課本，讀出思想方法、讀出拓展創新、讀出對數學的欣賞、讀出知識網絡交接處的閃光點等，充分挖掘課本中例習題的潛在功能，比如：習題的一題多解與多提一解；類比探究與逆向探究；強化、弱化條件；一般化的結論等.每年大量出現的源于課本的高考試題還不足以讓我們清醒嗎？

1.何曉敏，顧丹丹.2011年高考數學江蘇卷解析幾何試題剖析［J］.數學通報，2011（11）.