賞析以“四個面都是直角三角形的三棱錐”為載體的立體幾何命題

☉福建省龍巖市第一中學 胡寅年

賞析以“四個面都是直角三角形的三棱錐”為載體的立體幾何命題

☉福建省龍巖市第一中學 胡寅年

引例 已知矩形ABCD，AB=1，BC=.將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中（ ）.

A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對任意位置，三直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

這是2012年浙江卷選擇題最后一題，難度不小，旨在考查學生空間想象能力和分析問題的能力.

如圖1，在硬紙板構成的三棱錐B-ACD中，AB=DC=1，AD=BC=，BD=，顯然△ABD與△BCD都是直角三角形.當AC的長度恰好為1時，容易證明△ABD，△ACD也都是直角三角形，由此得到三棱錐B-ACD四個面都是直角三角形，于是BA⊥平面ACD，所以AB⊥CD.

有趣的是，以“四個面都是直角三角形的三棱錐”為載體的立幾題，2013年又在多個省市高考試卷中出現.如：

遼寧卷第18題、浙江卷第20題、湖北卷第19題、安徽卷第19題等.

為什么有關“四個面都是直角三角形的三棱錐”問題受到高考命題專家的如此青睞？道理十分明白：這類題①既源于課本，又高于課本；②基本圖形是最簡單的幾何體之一——三棱錐；③覆蓋立體幾何中點、線、面的各種位置關系，以及各種角的計算，又突出了“垂直關系”這個主旋律，還能涉及平幾、代數、三角的大量知識.因此，“四個面都是直角三角形的三棱錐”是探究空間線線、線面、面面垂直關系的一個十分重要的基本圖形.

一、知識要點

如圖2，在三棱錐S-ABC中，只要滿足下列條件之一：

①SA、AB、BC兩兩互相垂直；

②SA⊥平面ABC，且AB⊥BC；

③SA⊥平面ABC，且SB⊥BC；

④SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平面SBC.

則它的四個面都是直角三角形.

顯然，四個面都是直角三角形的三棱錐，具有非常豐富的線線、線面、面面垂直關系，比如：

①異面垂直（一組）：SA⊥BC.

②線面垂直（兩組）：SA⊥平面ABC，CB⊥平面SAB.

③面面垂直（三組）：平面SAB⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.

進一步，若點A在SB、SC上的射影分別為N、M（如圖3），則三棱錐S-ANM的四個面也都是直角三角形.

此外，設∠SBA=θ1，∠ABC=θ2，∠SBC=θ，∠SCA=φ.則又有下列面角之間的關系：

以上結論請讀者自己進行證明.

二、例題解析

例1（遼寧卷第18題）如圖4，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點.

（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.

分析：本題考查空間中面面垂直的證明和面面所成角問題，考查考生的空間想象能力與推理論證能力.本題的直觀圖形把幾何體放到圓中證明算得上有一定新意，但試題總體難度不高.第一問，面面垂直的證明轉化為證明線面垂直，而線面垂直是線線、線面、面面垂直關系的樞紐與核心.第二問，空間面面所成角問題，一般情況宜優先考慮建立空間直角坐標系求解，當然也可利用定義直接找到角來求解.然而由于本題的圖形中沒有“墻角”結構存在，學生可能會因坐標系選得不當而導致計算比較麻煩，進而導致整個二面角的計算錯誤.

明顯地，上述解法源于對“四個面都是直角三角形的三棱錐”，豐富的線面垂直關系的深入思考.

解法2：空間向量法，請讀者自己完成，并與綜合幾何方法進行對比.

例2（浙江卷第20題）如圖6，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2.M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.

（1）證明：PQ∥面BDC；

（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小.

分析：本題考查空間點、線、面位置關系，考查二面角的計算，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.第一問，空間線面平行關系的證明，突出的是轉化思想的運用，難度不大.第二問，又是以“四個面都是直角三角形的三棱錐”作為載體，考查學生對空間線面垂直關系的掌握程度.將三棱錐M-DCB分離出來，容易看出，問題的情景與遼寧卷差別不大，建構二面角的平面角也如出一轍，然而由于浙江卷注重考查學生的逆向思維能力，難度增大了一些.本題若運用綜合幾何法去處理，思路反而更加自然.

（1）證明：如圖7，取MD的中點F，又M是AD中點，所以AF=3FD.因為P是BM中點，所以PF∥BD，又因為AQ=3QC，且AF=3FD，所以QF∥BD，所以面PQF∥面BDC，由于PQ?面BDC，所以PQ∥面BDC.

思考：1.“四個面都是直角三角形的三棱錐”為線線垂直、線面垂直、面面垂直關系的（如下）相互轉化提供了豐富素材.

2.分離出來的三棱錐M-DCB，有四組線面垂直關系，①MD⊥底面DBC；②BC⊥平面MDC；③CG⊥平面MBD；④MB⊥平面GHC，其中通過“平面MBD⊥平面BCD”得到的第三組線面垂直關系“CG⊥平面MBD”，是解決第（2）小題的關鍵所在.

3.“三棱錐C-GBH”本質上是“四個面都是直角三角形的三棱錐”的一個變式圖形，發現它對學生的空間想象能力也是一次很好的鍛煉.

例3（湖北卷第19題）如圖8，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點.

（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明；

分析：本題考查空間線面位置關系的判斷與證明，考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等基本知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.第一問，空間線面平行關系的判斷與證明，考查轉化與化歸思想的運用.第二問，根據三種角的概念在圖中找出（或作出）三個角，用相關線段表示出三個角的正弦值，計算后可得出結論.

（1）直線l∥平面PAC，理由如下：

如圖9，連接EF，由三角形的中位線定理，得EF∥AC→EF∥平面ABC→EF∥l→l∥平面PAC.

（2）連接BD，由（1）l即為BD，因為AB是圓O的直徑，所以BD⊥BC.

容易看出，本題的第（2）問，本質上就是考查“四個面都是直角三角形的三棱錐”面角之間的內在關系.

例4（安徽卷第19題）如圖10，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°.AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.

（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；

（2）求cos∠COD.

分析：本題考查空間線面位置關系，以及線線、線面角的求解等基礎知識和基本技能，考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.本題與湖北卷19題有異曲同工之妙，第一小題源于必修2的一道復習題，考查學生對線面平行的性質與判定定理的理解程度，思路很寬，方法多種多樣.第二小題考查基本圖形的基本計算，本質上又是考查學生對“四個面都是直角三角形的三棱錐”面角之間關系是否真正掌握.

（1）設平面PAB∩平面PCD=l，AB∥CD→AB∥平面PCD→AB∥l→l∥圓錐底面.

（2）如圖11，設G為CD的中點，容易證明CD⊥面POG，從而面POG⊥面PCD，于是三棱錐P-OCG的四個面都是直角三角形，所以∠OPG為OP與平面PCD所成的角，又∠PCO為母線PC與底面ODG所成的角，將三棱錐P-OCG分離出來，則此小題轉化為了“在三棱錐P-OCG中，已知PO⊥平面CGO，面POG⊥面PCG，∠OPG=60°，∠PCO=22.5°，求∠COG”的計算問題.

思考：自從引入了空間向量，立體幾何的學習的確容易了許多.無論是線線、線面、面面等位置關系的判斷，還是夾角、距離等數量關系的計算，乃至多種多樣的探索性問題，都可以轉化為向量來解決，并且可歸結為一系列模式化的解題程序.但是需要注意的是，向量方法并不是萬能的，比如今年安徽卷第19題就不太適合向量方法，據《中小學數學》報道，此題安徽全省平均分2.2分，難度系數0.17，遠低于命題預期.因此，立體幾何教學（尤其是高三總復習）中，教師一定要引導學生對綜合幾何法、空間向量法進行卓有成效的整合，解題時宜揚長避短、相互融合，以發揮各自的優勢，不可（也沒有必要）厚此薄彼.

從以上的討論中可以看出，“四個面都是直角三角形的三棱錐”的確是探究空間線線垂直、線面垂直、面面垂直關系，展開空間想象的重要載體，而垂直關系的相互轉化、二面角的計算問題、面角關系的靈活運用，是其中的三個主要問題，它們往往又以發現、構建此基本圖形作為突破口.