由一道抽獎問題總覽概率全貌

☉江蘇省海安縣立發(fā)中學(xué) 丁佐宏

由一道抽獎問題總覽概率全貌

☉江蘇省海安縣立發(fā)中學(xué) 丁佐宏

從近幾年高考命題來看，概率創(chuàng)新題層出不窮.例如2013年北京理空氣質(zhì)量問題；2013年江西理以平面幾何為載體，2013年陜西理投票問題…….從位置來看都是解答題前三道大題中的第2或第3道，可見命題人至多是將其列為中等題型.但由于背景創(chuàng)新層出不窮，使考生有應(yīng)接不暇之感.備考中只要我們相應(yīng)的概率模型，將其本質(zhì)進行透徹研究，即可以不變應(yīng)萬變，下面以一道抽獎問題為例總覽概率問題全貌.

題目：某商場因店慶臨近特舉行抽獎活動，店慶日在店內(nèi)消費的顧客均可憑消費票據(jù)參加抽獎.抽獎箱內(nèi)共有四種小球，分別標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”四個字，顧客每抽獎一次，操作流程為任意取出一個小球并記錄小球上的漢字，然后將小球放回抽獎箱繼續(xù)取出小球記錄漢字，重復(fù)上述操作至多四次；如取出的小球上標(biāo)有“隆”字，則抽獎環(huán)節(jié)結(jié)束，不再重復(fù)取球至四次.獎勵的規(guī)則為：一等獎獲得者需取到“生”“意”“興”“隆”四個字的小球，且取球順序與詞組順序固定相同；二等獎獲得者需取到“生”“意”“興”“隆”四個字的小球，取球順序不限；三等獎獲得者需取到“生”“意”“興”三個字的小球.

（1）求某人抽獎一次獲得二等獎的概率；

（2）甲、乙兩人參與抽獎，則兩人均獲得一等獎的概率；

（3）求某人抽獎一次，中獎的概率；

（4）求某人抽獎三次，恰有二次中獎的概率；

（5）設(shè)摸球次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

一、中獎概率的求解看計數(shù)原理及排列組合的運用

解：（1）設(shè)“摸到二等獎”為事件A.

點評：此問為有序問題，故在計算相應(yīng)事件數(shù)時應(yīng)采用排列方式.

二、由同時中獎看獨立事件同時發(fā)生

解∶（2）設(shè)“某人摸到一等獎”為事件B，則

點評：甲、乙兩人均中一等獎相互獨立，獨立事件同時發(fā)生用乘法計算.

三、由中獎結(jié)果的互斥看概率的加法

解∶（3）某人抽獎一次，中獎的結(jié)果可能為一等獎、二等獎、三等獎，且中一等獎、二等獎或三等獎為互斥事件，互斥事件至少有一個發(fā)生的概率用加法求解.

設(shè)獲得三等獎為事件C，其包含的情況有：“生，意，興”三個球外加“生”、“意”、“興”三種情況.

故某人抽獎一次，中獎的結(jié)果可能為一等獎、二等獎或三等獎的概率為：

點評：如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，那么事件A或B發(fā)生的概率為二者之和P（A+B）=P（A）+P（B）；同理，如事件A，B，C，…，X互斥，那么這些事件發(fā)生的概率同樣為各事件發(fā)生概率之和，P（A+B+C+…+X）=P（A）+P（B）+ P（C）+…+P（X）.

題目變式：某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，規(guī)則為每位顧客消費滿100元可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次（如圖所示），轉(zhuǎn)盤指針停留區(qū)域的數(shù)字為返券金額.指針可能停在轉(zhuǎn)盤的任何位置，停在A、B、C三個區(qū)域返券金額分別為60元、30元、0元.顧客轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)為實際消費金額/100的整數(shù)倍，累計返券金額為每次轉(zhuǎn)盤返券金額之和.某顧客消費220元，他參與轉(zhuǎn)盤活動獲得的返券金額為X（元），求其分布列與數(shù)學(xué)期望.

由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次.隨機變量X的可能值為0，30，60，90，120.

所以，隨機變量X的分布列為：

30 60 90 120 1 P0 X1 43 5 1 8 1 9 1 3 6

四、由中獎次數(shù)看事件的對立

點評：在一次抽獎過程中，中獎與不中獎不可能同時發(fā)生，所以這兩個事件也是互斥事件.但中獎和不中獎必然會發(fā)生其中一種情況，可將其視為對立事件，即二者發(fā)生其一的概率為100%，如事件A的對立事件為，那么P（A）+P）=1.

由此可以看出，互斥事件未必為對立事件，但對立事件必為互斥事件，可將互斥作為對立事件的必要不充分條件，對立作為互斥事件的充分不必要條件.

五、由摸球次數(shù)引出離散型隨機變量概率分布

故取球次數(shù)ξ的分布列為：

ξ1234 P1 4 3 1 6 9 6 4 27 64

點評：將隨機變量的取值及其概率用分布列形式寫出后，還需要進行檢驗來確保分布列正確，檢驗公式為：（1）pi≥0（i=1，2，…）；（2）p1+p2+p3+…+pn=1.數(shù)學(xué)期望：E（ξ）=x1p1+x2p2+…+xnpn.ξ的數(shù)學(xué)期望是ξ各種取值的平均數(shù)，如ξ的不同值概率相等就是簡單平均數(shù)，若ξ的不同值概率不全相等就是加權(quán)平均數(shù).

綜上所述，所謂概率學(xué)，就是對事物發(fā)生的可能性進行研究的一門科學(xué)，我們在生活和工作學(xué)習(xí)中必然會遇見各種各樣的“事件”，這些事件的發(fā)生有一定的規(guī)律可供我們掌握，通過學(xué)習(xí)概率學(xué)知識，有助于我們盡可能的避免有害事件的發(fā)生，提高有益事件的發(fā)生概率，從而提高妥善應(yīng)對不同事件的能力.在學(xué)習(xí)過程中，命題形式各有不同、千變?nèi)f化，但問題本質(zhì)相同，正所謂萬變不離其宗，我們在解題訓(xùn)練過程中一定要注意基礎(chǔ)知識的扎實掌握和解題技巧的靈活運用，便可以有效的提高實際解題能力.除文中所述的解題思路和技巧外，我們還可以運用分類討論等數(shù)學(xué)思想，不斷拓寬解題思路，從而不斷提高數(shù)學(xué)知識的運用能力.

1.陳忠懷.骰子賭博揭開概率統(tǒng)計之謎［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2011（8）.

2.悅?cè)鹁?離散型隨機變量分布列問題的尋解歷程［J］.高中數(shù)理化，2013（7）.

3.徐君華.創(chuàng)設(shè)概率背景 凸顯命題立意［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（8）.