題平常 意無限——一道不等式試題的簡捷通法、規(guī)律探尋

☉浙江省衢州第二中學(xué) 傅建紅

題平常 意無限
——一道不等式試題的簡捷通法、規(guī)律探尋

☉浙江省衢州第二中學(xué) 傅建紅

題目1：已知不等式3x+4≤a（x+y）對(duì)一切正數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為______.

題目2：已知不等式x+≤a（x+2y）對(duì)一切正數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為______.

一、常規(guī)解法

點(diǎn)評(píng)：上述兩種方法是解決二元最值問題的常規(guī)手段，其基本策略是“二元?dú)w一”：即首先將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)（利用變形和換元），然后用函數(shù)法或?qū)?shù)法求其最值.單從方法角度而言，上述解法無可厚非.然而對(duì)一個(gè)填空題來說，似“笨重”有余，“輕靈”不足，有小題大做之嫌.

二、本題另解

三、另解剖析

四、本題變式

五、規(guī)律探尋

不難發(fā)現(xiàn)，題目1及其變式中的基本函數(shù)可概括為如下四種形式：

由此可見，函數(shù)f（x，y）是可能沒有最值的（不是待定系數(shù)法不行，而是函數(shù)本身不存在最值），而題目及上述變式僅是滿足了條件“Δ≥0且求出的m，n為正”時(shí)的特例而已.

六、教學(xué)啟示

以上通過對(duì)題目1的層層剖析、抽絲剝繭，逐漸掀起了試題的“蓋頭”，破譯了其中蘊(yùn)含的“神秘玄機(jī)”——原來此題借不等式恒成立問題為背景，考查基本不等式在函數(shù)（二元齊次分式）最值問題中的應(yīng)用.但題目立意之深，背景之妙，讓人感覺不露痕跡，不易識(shí)破.為什么看似平常卻又無可奈何？為什么不能在第一時(shí)間想到基本不等式？究其原因是我們未能識(shí)破問題背后蘊(yùn)含的玄機(jī)——函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征及基本不等式的運(yùn)用環(huán)境，尤其是對(duì)基本不等式放縮時(shí)的配湊技巧把握不夠.那么，針對(duì)這一現(xiàn)象，作為主導(dǎo)者的教師，應(yīng)如何應(yīng)對(duì)？美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“探索是數(shù)學(xué)的生命線”；《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）也曾指出：“要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維淹沒在形式化的海洋中”.這意味著教師要把實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)問題“教學(xué)法化”——讓數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)能夠被學(xué)生觸及并逐步理解.因此，筆者以為，教師在平時(shí)的教學(xué)過程中（尤其是在高三的復(fù)習(xí)階段），要引領(lǐng)學(xué)生借練習(xí)、試卷中出現(xiàn)的類似于題目1這樣具有探究價(jià)值的試題為載體，進(jìn)行“借題發(fā)揮”多方演繹，充分挖掘問題本質(zhì).具體地說就是與學(xué)生一起對(duì)試題進(jìn)行深入地剖析、引申、類比，讓學(xué)生“親歷”知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全部過程（而不是直接將結(jié)果告訴他們——使“火熱的思考”變成“冰冷的美麗”）.在此過程中，教師要舍得花時(shí)間，切忌淺嘗輒止、就題論題.本案中，若以此模式組織教學(xué)，以問題驅(qū)動(dòng)課堂，則不僅可讓學(xué)生看清問題的本質(zhì)，洞察題型的變化，而且還可給學(xué)生營造一片自由探索的天空——使學(xué)生的思維能圍繞這一問題縱橫馳騁，更可貴的是學(xué)生可以借助變式進(jìn)行自我命題，并將這種自我探究的模式和意識(shí)移植到其他問題中.這種教學(xué)模式看似浪費(fèi)時(shí)間，實(shí)則觸及了思維的靈魂，因此，它必將從根本上改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)，喚醒其潛在的學(xué)習(xí)熱情與欲望，同時(shí)也將為我們的教學(xué)打造出睿智、豐盈而高效的課堂.因?yàn)椋徒虒W(xué)的藝術(shù)性而言，“授漁”永遠(yuǎn)高于“授魚”.

總之，此題看似平凡，意蘊(yùn)不凡，可謂題平常而意無限.

1.傅建紅.借試題“發(fā)揮” 以問題“驅(qū)動(dòng)”——高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)有效教學(xué)的嘗試與探索［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（10）.