寓“過程教育”于“二元一次方程”教學(xué)探索及點(diǎn)評(píng)

☉浙江省象山縣象山港書院 王 偉

☉浙江省象山縣教育局教科研中心 鄔云德

寓“過程教育”于“二元一次方程”教學(xué)探索及點(diǎn)評(píng)

☉浙江省象山縣象山港書院 王 偉

☉浙江省象山縣教育局教科研中心 鄔云德

一、引言

“過程教育”是指旨在滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展需要的關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果形成與應(yīng)用的過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與思維方法的教育.“二元一次方程”是浙教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第2章第1節(jié)的課題.盡管“二元一次方程”的有關(guān)內(nèi)容教師比較熟悉，但從“過程教育”要求來看，大多數(shù)教師對(duì)“二元一次方程”的教學(xué)存在偏差.寓“過程教育”于“二元一次方程”的教學(xué)怎樣操作？筆者采用研究性變革實(shí)踐的方式進(jìn)行了探索.初步的理論求證與實(shí)踐驗(yàn)證表明，探索中形成的操作方法符合“過程教育”的精神實(shí)質(zhì)并具有普遍適用性.本文簡(jiǎn)錄其教學(xué)過程并進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，供讀者參考、研究.

二、教學(xué)過程簡(jiǎn)錄與點(diǎn)評(píng)

環(huán)節(jié)1：參與產(chǎn)生并感悟二元一次方程的活動(dòng)——明確研究對(duì)象

首先，教師指出：我們知道，現(xiàn)實(shí)生活中許多數(shù)量相等關(guān)系的問題可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程的問題.一元一次方程夠用了嗎？請(qǐng)大家根據(jù)下列問題中的條件分別列出方程.

（1）小杰買了單價(jià)分別為2元和1.2元的賀卡若干張，花了10.8元，問：這兩種賀卡各買了多少張？

若設(shè)單價(jià)2元的賀卡買了x張，單價(jià)1.2元的賀卡買了y張，則可列出方程：_________.

（2）小紅到郵局寄掛號(hào)信，需要郵資3元8角.小紅有面額為6角和8角的郵票若干張，問：這兩種面額的郵票各需多少張？

若設(shè)需要面額為6角的郵票x張，面額為8角的郵票y張，則可列出方程：_________.

（3）在高速公路上，一輛轎車行駛2小時(shí)的路程比一輛卡車行駛3小時(shí)的路程還多20千米，問：轎車和卡車的速度分別是多少？

若設(shè)轎車的速度為a千米/時(shí)，卡車的速度為b千米/時(shí)，則可列出方程：_________.

其次，教師組織學(xué)生交互反饋，并在反饋交流的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生反思：①上述列出的方程與一元一次方程有何差異？②你對(duì)這類新形式的方程有何感觸？

最后，教師進(jìn)行總結(jié)性講解：上述事例說明現(xiàn)實(shí)生活中也有許多數(shù)量相等關(guān)系的問題其數(shù)學(xué)化結(jié)果不是一元一次方程，而是上述形式的方程.既然這種形式的方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，就有研究這種新形式方程的特征及其解法的必要.這節(jié)課的研究對(duì)象就是這種新形式的方程.（揭示課題）

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)入性教學(xué)旨在建立新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.這里借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)例和轉(zhuǎn)化思想來產(chǎn)生二元一次方程，并通過比較二元一次方程與一元一次方程的差異及交流對(duì)二元一次方程的感觸來感悟二元一次方程的現(xiàn)實(shí)存在性和研究二元一次方程的必要性.這體現(xiàn)了“過程教育”，能滿足學(xué)生發(fā)展列方程技能和激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的需要.

環(huán)節(jié)2：參與定義二元一次方程的活動(dòng)——形成二元一次方程的概念

首先，教師要求學(xué)生觀察并歸納所列方程“2x+1.2y= 10.8，0.6x+0.8y=3.8，2a=3b+20”的共同特點(diǎn)并進(jìn)行合作交流.（提示：可從未知數(shù)的個(gè)數(shù)、表示未知數(shù)的字母的次數(shù)、代數(shù)式的類型、整理后方程的形式等多個(gè)視角進(jìn)行觀察）

生1：它們都含有兩個(gè)未知數(shù).

師：對(duì)！你是從未知數(shù)的個(gè)數(shù)角度來歸納.

生2：它們含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次.

師：對(duì)！你是從未知數(shù)的次數(shù)角度來歸納.

生3：等號(hào)左右兩邊都是整式.

師：不錯(cuò)！你是從代數(shù)式的類型角度來歸納.

生4：它們都是等式.

師：是的！你是從等號(hào)左右兩邊數(shù)量關(guān)系角度來歸納.

生5：它們都不是算式.

師：好！你借用算式的概念來歸納.

生6：它們都可以寫成：ax+by=c（a、b、c是已知數(shù)，且a≠0，b≠0）的形式.

師：好極了！你有較強(qiáng)的符號(hào)表示意識(shí).

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：①獲得二元一次方程的概念經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想有哪些？②你認(rèn)為還要研究什么？教師在傾聽學(xué)生觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)性講解.獲得二元一次方程的概念的步驟是：從實(shí)際問題情境中抽象出若干特定的二元一次方程→觀察并歸納特定二元一次方程的共同特征→用文字語言定義和用符號(hào)語言表示.其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想有：轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、符號(hào)表示思想等.像研究一元一次方程一樣，我們還應(yīng)該研究其解法和在實(shí)際中的應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：概念教學(xué)不但要關(guān)注概念本身，也要關(guān)注概念的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.這里把獲得二元一次方程的概念的步驟和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想列入了課程內(nèi)容.教學(xué)中采用了價(jià)值引導(dǎo)下的先“放”后“收”的方法.這樣學(xué)生經(jīng)歷了有價(jià)值的認(rèn)知過程，特別是歸納二元一次方程的特點(diǎn)和概念形成后的反思，體現(xiàn)了“過程教育”.目前概念教學(xué)普遍存在概念形成過程短暫并且反思過程缺失的現(xiàn)象，導(dǎo)致不能落實(shí)“過程性”目標(biāo).

環(huán)節(jié)3：探索解有代表性的二元一次方程——生成解二元一次方程的方法

首先，教師出示問題：怎樣解二元一次方程3x+2y=10？

其次，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷下列過程.

（1）方程3x+2y=10與一元一次方程有何區(qū)別與聯(lián)系？

（2）若把方程3x+2y=10中的一個(gè)未知數(shù)看成是字母系數(shù)，則方程3x+2y=10是不是一元一次方程？

（3）若把方程3x+2y=10中的x看成字母系數(shù)，則怎樣用含x的代數(shù)式來表示y？

（4）當(dāng)x=-2、0、3時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值是什么？寫出方程3x+ 2y=10的三個(gè)解.

再次，教師引導(dǎo)學(xué)生反思.

（1）二元一次方程3x+2y=10有多少個(gè)解？

（2）用含y的代數(shù)式來表示x，可以嗎？

（3）解二元一次方程3x+2y=10經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

（4）一般地，怎樣解二元一次方程ax+by=c（a≠0，b≠0）？

（5）解二元一次方程3x+2y=10的基本思想是什么？

最后，教師在傾聽學(xué)生觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上總結(jié)解二元一次方程的基本思想與方法.（1）解二元一次方程的基本思想是化歸（把一個(gè)未知數(shù)看成是字母系數(shù)，化二元一次方程為一元一次方程）.（2）解二元一次方程的方法是：①用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來表示另一個(gè)未知數(shù)；②給定一個(gè)未知數(shù)的值，求對(duì)應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值；③寫出所有二元一次方程的解.一般地，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.

點(diǎn)評(píng)：方法教學(xué)不但要關(guān)注解決具體問題的方法，也要關(guān)注解決具體問題的方法的抽象概括的過程以實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo).這里通過解具體二元一次方程來認(rèn)識(shí)解抽象二元一次方程的方法.教學(xué)中采用了教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的先“放”后“收”的方法.這樣學(xué)生經(jīng)歷了解二元一次方程的實(shí)質(zhì)性思維過程，特別是化歸的過程和問題解決后的反思過程，體現(xiàn)了“過程教育”.目前方法教學(xué)也存在探索過程短暫并且反思過程缺失的現(xiàn)象，導(dǎo)致不能落實(shí)“過程性”目標(biāo)，并且部分教師不明確教學(xué)內(nèi)容與課程內(nèi)容的區(qū)別（解二元一次方程的方法是課程內(nèi)容，解具體二元一次方程是教學(xué)內(nèi)容）.

環(huán)節(jié)4：參與嘗試有關(guān)知識(shí)應(yīng)用的活動(dòng)——合作解答有代表性的問題

題1：根據(jù)題意列出方程.

①買5 kg蘋果和3 kg梨共需23.6元，分別求蘋果和梨的單價(jià).若設(shè)蘋果的單價(jià)為每千克x元，梨的單價(jià)為每千克y元，則可列出方程：_________.

②七年級(jí)一班男生人數(shù)的2倍比女生人數(shù)大7，求男生、女生的人數(shù).若設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為y，則可列出方程：_________.

先要求學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)，再組織學(xué)生交互反饋，然后教師追問：列方程的關(guān)鍵是什么？

題2：下列各式是二元一次方程的是（ ）.

先要求學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)，再請(qǐng)個(gè)別學(xué)生回答，然后教師追問：判斷的依據(jù)是什么？

題3：下列各組數(shù)不是方程2a=3b+20的解的是（ ）.

先要求學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)，再組織學(xué)生交互反饋，然后教師追問：判斷的依據(jù)是什么？

題4：已知二元一次方程2x+3y=2.

（1）用含y的代數(shù)式表示x.

（2）根據(jù)給出的y值，求出對(duì)應(yīng)的x的值，填入表內(nèi).

y 0 2 -2 2 3 1 ……x

（3）寫出方程的五個(gè)解.

先要求學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)，再請(qǐng)個(gè)別學(xué)生回答，然后教師再次強(qiáng)調(diào)解二元一次方程的步驟.

題5：為了倡導(dǎo)“節(jié)能環(huán)保，低碳出行”，寧波市政府推行寧波市公共自行車便民服務(wù)，首期在海曙區(qū)投放了800輛公共自行車，在人口密集的公共場(chǎng)所網(wǎng)點(diǎn)平均投放25輛，在居民區(qū)網(wǎng)點(diǎn)平均投放20輛.

（1）若設(shè)公共場(chǎng)所網(wǎng)點(diǎn)有x個(gè)，居民區(qū)網(wǎng)點(diǎn)有y個(gè)，則可列出方程：_________.

（2）若用含x的代數(shù)式表示y，則y＝_________.x的取值范圍是什么？

（3）求符合條件的所有x與對(duì)應(yīng)的y值.

教師先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解題過程，再總結(jié)用二元一次方程解決實(shí)際問題的方法.

點(diǎn)評(píng)：例題教學(xué)旨在鞏固所學(xué)知識(shí)和發(fā)展智慧技能.這里選擇五個(gè)有代表性的問題來引導(dǎo)學(xué)生再認(rèn)列二元一次方程和二元一次方程的概念及其解法，并把解題的依據(jù)和用二元一次方程解決實(shí)際問題的思想方法列入了課程內(nèi)容.教學(xué)中采用了有代表性問題引導(dǎo)下的先“放”后“收”的方法.這樣有助于學(xué)生理解與練習(xí)和諧，特別是教師的追問與解題之后的總結(jié)，體現(xiàn)了“過程教育”.目前例題教學(xué)也普遍存在解題之前分析過程短暫和解題之后反思過程缺失的現(xiàn)象，導(dǎo)致不能滿足學(xué)生感悟解題的策略、方法和技巧的需要.

環(huán)節(jié)5：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）什么叫二元一次方程？列二元一次方程的基本步驟是什么？

（2）解二元一次方程的基本思想是什么？解二元一次方程的基本步驟是什么？

（3）用二元一次方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是什么？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師邊傾聽、邊評(píng)價(jià).

第三，教師總結(jié)本節(jié)課的研究方法.（1）獲得二元一次方程概念的步驟：①在生活情境中產(chǎn)生若干具體的二元一次方程；②觀察并歸納具體二元一次方程的共同特點(diǎn)；③用文字語言定義和用符號(hào)語言表示二元一次方程.（2）解二元一次方程的研究方法：①用化歸思想合作研討具體二元一次方程的解法；②反思解具體二元一次方程的過程，抽象概括出解二元一次方程的方法；③運(yùn)用“生成的方法”嘗試解有代表性的二元一次方程.

點(diǎn)評(píng)：課堂總結(jié)旨在再認(rèn)研究?jī)?nèi)容和研究方法及進(jìn)一步感受研究的意義.這里采用“問題清單”引導(dǎo)下的交流合作基礎(chǔ)上的教師總結(jié)的方式——既有知識(shí)回顧的作用，也有深化認(rèn)識(shí)的作用；既能增強(qiáng)學(xué)生的反思意識(shí)，也能發(fā)展學(xué)生的語言表達(dá)能力.這種價(jià)值引導(dǎo)下的先“放”后“收”的課堂總結(jié)方法，如果組織得好，能起到跨越式的作用.

三、總評(píng)

之所以這節(jié)課體現(xiàn)了“過程教育”，是因?yàn)檫@節(jié)課的課程內(nèi)容、教學(xué)結(jié)構(gòu)和教學(xué)操作符合“過程教育”的精神實(shí)質(zhì).

1.課程內(nèi)容符合“過程教育”要求

“過程教育”蘊(yùn)含著：“數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成與應(yīng)用的過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想”.按這個(gè)觀點(diǎn)確定課程內(nèi)容是落實(shí)“過程教育”的前提.“二元一次方程”的課程內(nèi)容體現(xiàn)了這個(gè)觀點(diǎn)，其主要內(nèi)容有：從“生活現(xiàn)實(shí)”中抽象出二元一次方程的過程和蘊(yùn)含的列方程步驟與轉(zhuǎn)化思想；二元一次方程的概念（包括名稱、定義、屬性、示例）、二元一次方程的一般形式、二元一次方程解的概念，及獲得二元一次方程的概念的步驟（在“生活現(xiàn)實(shí)”中產(chǎn)生二元一次方程→觀察并歸納二元一次方程的特點(diǎn)→用文字語言定義和用符號(hào)語言表示）和蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、數(shù)學(xué)表示思想等；解二元一次方程的方法和蘊(yùn)含的化歸思想與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.教學(xué)結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了“過程教育”思想

“過程教育”暗示著：教學(xué)結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)是邏輯連貫的，并且要符合數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律和教育的規(guī)律.按這個(gè)觀點(diǎn)構(gòu)建教學(xué)結(jié)構(gòu)是落實(shí)“過程教育”的關(guān)鍵.“二元一次方程”的教學(xué)結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了這個(gè)觀點(diǎn)，其教學(xué)結(jié)構(gòu)可用如下框圖表示.

二元一次方程的現(xiàn)實(shí)存在性①產(chǎn)生若干特定的二元一次方程二元一次方程的本質(zhì)特征研究二元一次方程的必要性②定義與表示二元一次方程獲得概念的步驟和蘊(yùn)含的思想解二元一次方程的基本思想③探索解二元一次方程解二元一次方程的基本步驟解題的策略、方法和技巧④合作解答有代表性的問題解決實(shí)際問題的關(guān)鍵反思與回顧研究的內(nèi)容⑤合作進(jìn)行反思與總結(jié)反思與回顧研究的方法

這個(gè)“自然、簡(jiǎn)單、動(dòng)態(tài)、和諧”的數(shù)學(xué)教育過程，能滿足學(xué)生經(jīng)歷完整數(shù)學(xué)思考過程的需要，對(duì)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知與情感的變化與發(fā)展有積極的影響.

3.教學(xué)操作滿足“過程教育”需要

“過程教育”意味著：教學(xué)載體要有助于實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、要符合“最近發(fā)展區(qū)理論”要求、要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、載體的情境能滿足學(xué)生豐富生活常識(shí)的需要及背景材料具有教育意義.教學(xué)方法不僅包括準(zhǔn)確、清晰、富有啟發(fā)性的講解，也包括有助于學(xué)生經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維過程的價(jià)值引導(dǎo).按這個(gè)觀點(diǎn)選擇教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法是落實(shí)“過程教育”的基本保障.“二元一次方程”的教學(xué)操作體現(xiàn)了這個(gè)觀點(diǎn).例如，二元一次方程概念的教學(xué)：先借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)例和轉(zhuǎn)化思想來產(chǎn)生方程；再在觀察并歸納所列方程的共同特征的基礎(chǔ)上對(duì)這類方程下定義；然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程進(jìn)行反思以揭示獲得二元一次方程的概念的步驟和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

總之，過程教育需要“結(jié)果”與“過程”和諧、“主體”與“主導(dǎo)”并重、“自主”與“合作”協(xié)調(diào)、“探究”與“接受”同在.而這節(jié)課的教學(xué)操作方法較好地體現(xiàn)了這些辯證關(guān)系，能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)·七年級(jí)·下冊(cè)［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.